新高考理科数学考前三十天集训——计算题专训（九）

新高考理科数学考前三十天集训——计算题专训（九）新高考理科数学考前三十天集训计算题专训（九）17．设数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn3an1．（1）求数列{an}的通项公式；n（2）设bn，求数列{bn}的前n项和Tn．an【答案】（1）由2Sn3an1······①，2Sn13an11······②，n≥2an①－②得2an3an3an1，∴3，an1又当n1时，2S13a11，即a11，（符合题意）n1∴an是首项为1，公比为3的等比数列，∴an3．n123n（2）由（1）得：bnn1，∴Tn012Ln1······③，33333112n1nTn12L...

新高考理科数学考前三十天集训计算题专训（九）17．设数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn3an1．（1）求数列{an}的通项公式；n（2）设bn，求数列{bn}的前n项和Tn．an【答案】（1）由2Sn3an1······①，2Sn13an11······②，n≥2an①－②得2an3an3an1，∴3，an1又当n1时，2S13a11，即a11，（符合题意）n1∴an是首项为1，公比为3的等比数列，∴an3．n123n（2）由（1）得：bnn1，∴Tn012Ln1······③，33333112n1nTn12Ln1n······④，333331121111n3nn32n3③－④得：TnL012n1n1nn33333313223396n9∴Tn．443n18．某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次（指针停在任一位置的可能性相等），并获得相应金额的返券．若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．（1）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；（2）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X（元）．求随机变量X的分布列和数学期望．1【答案】设指针落在A、B、C区域分别记为事件A、B、C．则PA，611PB，PC，32（1）消费128元的顾客，只能转一次，若返券金额不低于30元，则指针落在A111或B区域，其概率PPAPB，6321即消费128元顾客返券金额不低于30元概率是．2（2）该顾客可转动转盘2次．随机变量X的可能值为0，30，60，90，120．111111PX0；PX302；22423311115PX602；263318111111PX902；PX120；3696636所以，随机变量X的分布列为：P030609012011511X431893611511其数学期望EX030609012040．431893619．在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB3，AD22，ABC45，P点在底面ABCD内的射影E在线段AB上，且PE2，BE2EA，F为AD的中点，M在线段CD上，且CMCD．2（1）当时，证明：平面PFM平面PAB；325（2）当平面PAM与平面ABCD所成二面角的正弦值为时，求四棱锥5PABCM的体积．【答案】（1）证明：连接EC，作AN∥EC交CD于点N，则四边形AECN为平行四边形，CNAE1，在△BCE中，BE2，BC22，ABC45，由余弦定理得EC2．所以BE2EC2BC2，从而有BEEC．在△AND中，F,M分别是AD,DN的中点，则FM∥AN，FM∥EC，因为ABEC，所以FMAB．由PE平面ABCD，FM平面ABCD，得PEFM，又FMAB，PEIABE，得FM平面PAB，又FM平面PFM，所以平面PFM平面PAB．（2）以E为坐标原点，EB,EC,EP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A1,0,0，P0,0,2，C0,2,0，D3,2,0，uuuruuuuruuuruuurAP1,0,2，AMACCD13,2,0．urr平面ABCD的一个法向量为m0,0,1．设平面PAM的法向量为nx,y,z，uuurruuuurrx2z0r由APn0，AMn0，得，令x2，得n2,31,1．13x2y0urrurrmn15由题意可得，cosm,nurr，2mn5315118解得，所以四棱锥PABCM的体积VPABCMS梯形ABCMPE．33320．已知点P在圆C:x2y24上，而Q为P在x轴上的投影，且点N满足uuuruuurPNNQ，设动点N的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）若A，B是曲线E上两点，且|AB|2，O为坐标原点，求△AOB的面积的最大值．22【答案】（1）设Pxp,yp，∴xpyp4，∵PQx轴，所以Q(xp,0)，2uuuruuurxpx22x2又设N(x,y)，由PNNQ有代入xy4有y1．yp2y42x2即曲线E的方程为y1．4（2）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线AB方程为：ykxt，x24y24联立得(4k21)x28ktx4(t21)0，ykxt8kt4(t21)故x1x22，x1x22，14k14k22222由4AB(1k)(x2x1)(1k)[(x2x1)4x1x2]，得2222(4k1)t(4k1)2，4(k1)2|t|1|t|14k故原点O到直线AB的距离d，∴S2d，令u2，1k221k21k1114k23则S2u2u(u2)21，又∵u41,4，441k21k2u22当时，Smax1．当斜率不存在时，△AOB不存在，综合上述可得△AOB面积的最大值为1．21．设函数fxlnxkx1．（1）研究函数fx的极值点；（2）当k0时，若对任意的x0，恒有fx≤0，求k的取值范围；ln22ln32lnn22n2n1（3）证明：LnN,n≥2．2232n22(n1)【答案】（1）∵fxlnxkx1，∴fx的定义域为0,，11kxfxk，xx当k≤0时，fx0，fx在0,上无极值点，1当k0时，令fx=0，∴x0,，fx、fx随x的变化情况如下表：k111x(0,)(,)kkkfx＋0－fx↗极大值↘1从上表可以看出：当k0时fx有唯一的极大值点x；k1（2）当k0时在x处取得极大值也是最大值，要使fx≤0恒成立，k11只需fln≤0，∴k≥1，即k的取值范围为1,；kk（3）令k1，由（2）知，lnxx1≤0，∴lnx≤x1，∵nN,n≥2，2222lnnn11∴lnn≤n1，∴≤1，n2n2n2222ln2ln3lnn11111122L2≤1212L12n122L223n23n23n111n1L2334nn1111111n1L2334nn1112n2n1n1，∴结论成立．2n12n1

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