高考数学同角三角函数的基本关系与诱导公式练习题（含答案）

1．已知cosα＝k，k∈R，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则sin(π＋α)＝(　　)A．－eq\r(1－k2)　　　　　B.eq\r(1－k2)[来源:学科网ZXXK]C．±eq\r(1－k2)D．－k【答案】A【解析】由cosα＝k，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))得sinα＝eq\r(1－k2)，∴sin(π＋α)＝－sinα＝－eq\r(1－k2).2．已知α为锐角，且tan(π－α)＋3＝0，则sinα的值是(　　)A.eq\f(1,3)B.eq\f(3\r(10),10)C.eq\f(3\r(7),7)D.eq\f(3\r(5),3)[来源:学+科+网Z+X+X+K]【答案】B3．已知tanα＝－eq\f(3,5)，则sin2α＝(　　)A.eq\f(15,17)B．－eq\f(15,17)C．－eq\f(8,17)D.eq\f(8,17)【答案】B【解析】sin2α＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα,tan2α＋1)＝eq\f(2×（－\f(3,5)）,（－\f(3,5)）2＋1)＝－eq\f(15,17).[来源:学科网ZXXK]4．已知α和β的终边关于直线y＝x对称，且β＝－eq\f(π,3)，则sinα等于(　　)A．－eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)【答案】D[来源:Zxxk.Com]【解析】因为α和β的终边关于直线y＝x对称，所以α＋β＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．又β＝－eq\f(π,3)，所以α＝2kπ＋eq\f(5π,6)(k∈Z)，即得sinα＝eq\f(1,2).学#科网[来源:学科网]5．已知sin(π－α)＝log4eq\f(1,2)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，则tan(2π－α)的值为(　　)[来源:学科网]A．－eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(3),3)C．±eq\f(\r(3),3)D.eq\r(3)【答案】B6．若θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，sin2θ＝eq\f(3,4)，则sinθ的值是(　　)A.eq\f(\r(7)－1,4)B.eq\f(\r(2),4)C.eq\f(\r(7)＋1,4)D.eq\f(\r(7),4)【答案】C【解析】由θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，知sinθ＋cosθ＞0，sinθ－cosθ＞0.又(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝eq\f(7,4)，(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝eq\f(1,4)，∴sinθ＋cosθ＝eq\f(\r(7),2)，且sinθ－cosθ＝eq\f(1,2)，从而sinθ＝eq\f(\r(7)＋1,4).7．下列各数中与sin2019°的值最接近的是(　　)A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2)D．－eq\f(\r(3),2)【答案】C【解析】2019°＝5×360°＋180°＋39°，∴sin2019°＝－sin39°和－sin30°接近．选C.8．已知sin(π＋θ)＝－eq\r(3)cos(2π－θ)，|θ|＜eq\f(π,2)，则θ等于(　　)A．－eq\f(π,6)B．－eq\f(π,3)C.eq\f(π,6)D.eq\f(π,3)【答案】D【解析】∵sin(π＋θ)＝－eq\r(3)cos(2π－θ)，∴－sinθ＝－eq\r(3)cosθ，∴tanθ＝eq\r(3).∵|θ|＜eq\f(π,2)，∴θ＝eq\f(π,3).9．已知tan(α－π)＝eq\f(3,4)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝(　　)A.eq\f(4,5)B．－eq\f(4,5)C.eq\f(3,5)D．－eq\f(3,5)【答案】B10．已知f(α)＝eq\f(sinπ－αcos2π－α,cos－π－αtanα)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,3)))的值为(　　)A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,3)C．－eq\f(1,2)D.eq\f(1,3)【答案】C11．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)))＝eq\f(1,3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(7π,12)))的值为(　　)A.eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C．－eq\f(2\r(2),3)D.eq\f(2\r(2),3)【答案】B【解析】coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(7π,12)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α＋\f(π,12)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)))＝－eq\f(1,3).选B.学#科网12．已知tanx＝2，则sin2x＋1的值为(　　)A．0B.eq\f(9,5)C.eq\f(4,3)D.eq\f(5,3)【答案】B【解析】sin2x＋1＝eq\f(2sin2x＋cos2x,sin2x＋cos2x)＝eq\f(2tan2x＋1,tan2x＋1)＝eq\f(9,5).故选B.[来源:Z。xx。k.Com]13．已知eq\f(1＋sinα,cosα)＝－eq\f(1,2)，则eq\f(cosα,sinα－1)的值是(　　)[来源:Zxxk.Com]A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．2D．－2【答案】A【解析】因为1－sin2α＝cos2α，cosα≠0,1－sinα≠0，所以(1＋sinα)(1－sinα)＝cosαcosα，所以eq\f(1＋sinα,cosα)＝eq\f(cosα,1－sinα)，所以eq\f(cosα,1－sinα)＝－eq\f(1,2)，即eq\f(cosα,sinα－1)＝eq\f(1,2).故选A.14．若A，B是锐角△ABC的两个内角，则点P(cosB－sinA，sinB－cosA)在(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B15．若θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，sinθcosθ＝eq\f(3\r(7),16)，则sinθ＝(　　)A.eq\f(3,5)B.eq\f(4,5)C.eq\f(\r(7),4)D.eq\f(3,4)【答案】D【解析】∵sinθcosθ＝eq\f(3\r(7),16)，∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝eq\f(8＋3\r(7),8)，(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝eq\f(8－3\r(7),8)，∵θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，∴sinθ＋cosθ＝eq\f(3＋\r(7),4)　①，sinθ－cosθ＝eq\f(3－\r(7),4)　②，联立①②得，sinθ＝eq\f(3,4).16．已知cos(75°＋α)＝eq\f(5,13)，α是第三象限角，则sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值为________．【答案】－eq\f(17,13)【解析】因为cos(75°＋α)＝eq\f(5,13)>0，α是第三象限角，所以75°＋α是第四象限角，sin(75°＋α)＝－eq\r(1－cos275°＋α)＝－eq\f(12,13).所以sin(195°－α)＋cos(α－15°)＝sin[180°＋(15°－α)]＋cos(15°－α)＝－sin(15°－α)＋cos(15°－α)＝－sin[90°－(75°＋α)]＋cos[90°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＋sin(75°＋α)＝－eq\f(5,13)－eq\f(12,13)＝－eq\f(17,13).17．已知角α的终边上一点P(3a,4a)(a<0)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(540°－α))的值是________．【答案】eq\f(3,5)【解析】cos(540°－α)＝cos(180°－α)＝－cosα.因为a<0，所以r＝－5a，所以cosα＝－eq\f(3,5)，所以cos(540°－α)＝－cosα＝eq\f(3,5).[来源:Zxxk.Com]18．已知sinθ＋cosθ＝eq\f(7,13)，θ∈(0，π)，则tanθ＝________.【答案】－eq\f(12,5)19．sineq\f(4π,3)·coseq\f(5π,6)·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,3)))的值是________．【答案】－eq\f(3\r(3),4)【解析】原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)))·taneq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1())－π－eq\f(π,3)eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1())＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－sin\f(π,3)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos\f(π,6)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－tan\f(π,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×(－eq\r(3))＝－eq\f(3\r(3),4).20．直线2x－y＋1＝0的倾斜角为θ，则eq\f(1,sin2θ－cos2θ)的值为________．【答案】eq\f(5,3)学#科网【解析】由题意可知，tanθ＝2，则eq\f(1,sin2θ－cos2θ)＝eq\f(sin2θ＋cos2θ,sin2－cos2θ)＝eq\f(tan2θ＋1,tan2θ－1)＝eq\f(5,3).21．已知θ为锐角，且sin(θ－eq\f(π,4))＝eq\f(\r(2),10)，则tan2θ＝________．【答案】－eq\f(24,7)【解析】由已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),10)得sinθ－cosθ＝eq\f(1,5)，再由θ为锐角且sin2θ＋cos2θ＝1，得sinθ＝eq\f(4,5)，cosθ＝eq\f(3,5)，所以tanθ＝eq\f(4,3)，tan2θ＝eq\f(2tanθ,1－tan2θ)＝eq\f(2×\f(4,3),1－\f(16,9))＝－eq\f(24,7).22．已知sin(3π＋α)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))，求下列各式的值：(1)eq\f(sinα－4cosα,5sinα＋2cosα)；(2)sin2α＋sin2α.[来源:学§科§网]23．已知f(α)＝eq\f(sinπ－αcos2π－αcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α＋\f(3π,2))),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))sin－π－α).(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,2)))＝eq\f(1,5)，求f(α)的值．解　(1)f(α)＝eq\f(sinπ－αcos2π－αcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α＋\f(3π,2))),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))sin－π－α)＝eq\f(sinαcosα－sinα,sinαsinα)＝－cosα.(2)因为α是第三象限角，且coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,2)))＝－sinα＝eq\f(1,5)，sinα＝－eq\f(1,5).所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))2)＝－eq\f(2\r(6),5).所以f(α)＝－cosα＝eq\f(2\r(6),5).