重难点35二次函数性质综合题第171天原点对称双变号1.福建宁德市模拟改编)在平面直角坐标系中,二次函数的图象经过点,点,交轴于点.(1)求满足的关系式;(2)若拋物线上始终存在不重合的两点在的左边关于原点对称,(1)求的取值范围;(2)若点三点到直线的距离相等,求扡物线的解析式.1.解:由点M、N的纵坐标相同,得拋物线的对称轴为直线,整理,得;(2)=1\*GB3①设点,则点,将点的坐标代人抛物线
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达式得消去,得,,故的取值范围是;=2\*GB3②由(1)得,故,代人拋物线的解析式,得,如解图(1),当点在直线的两侧时,过点分别作直线的垂线,垂足分别为点,设与的交点为,,,,,即点是的中点,点与点重合,而直线不过原点,故这种情况不存在;证明了个寂寞,不行,肯定还有其他情況.如解图(2),当点在直线的同侧时,过点A、O分别作直线的垂线,垂足分别为点M、N,设直线交轴于点,则点,点,点是OA的中点,同理可得AAS),即点A、O到直线的距离相等,而A,P,Q三点到直线距离相等,过点作直线的平行线,分别交抛物线于点P、Q直线PQ可以看作由直线平移得到的,故直线PQ的表达式为,联立,得,两点关于原点对称，,解得,第172天横纵坐标等不等2.已知拋物线,直线,直线.(1)当时,若直线经过此抛物线的顶点,则的值为_______；(2)将此拋物线夹在与之间的部分(含交点)图象记为,若,(1)判断此抛物线的顶点是否在图象上,并说明理由;(2)判断图象上是否存在这样的两点:和,其中,并说明理由.2.解:(1)-2;(2)(1)此拋物线的顶点不在图象上,理由:,拋物线顶点为,当时,对于直线,对于直线,即顶点在的下方,拋物线的顶点不在图俆上;(2)不存在,理由如下:设直线与拋物线交于A,B两点,且,令,解得,且对于直线随的增大而增大,,此时,设直线与拋物线交于C,D两点,且,令,整理,得,则,且对于随的增大而增大,,此时,又,又,即,画出草图如解图,拋物线的对称轴为直线,即点在拋物线对称轴左侧,则在拋物线对称轴的右侧,必存在点的对称点,其中拋物线开口向上,当时,随的增大而椷小,抛物线的顶点在的下方,故点也在抛物线对称轴左侧,设是抛物线上A,C两点之间的任意一点,则有,,又在拋物线上必存在其对称点,其中,即抛物线上A,C两点之间的任意点的对称点都在点下方,同理,拋物线上B,D两点之间的部分所有点的对称点都在点上方,图象上不存在这样的两点和,其中.第173天交点问题透实质3.已知二次函数,其中为常数.(1)若该二次函数的图象与轴有两个交点,则的取值范围是_______._(2)若,是否存在过点的直线与抛物线交于点,与轴交于点,使得点关于点对称?若存在,求直线的解析式;若不存在,请说明理由;(3)若该二次函数与直线的图象交于两点,则变化时,线段的长度是否发生变化?若不变,请求出的长;若变化,请说明理由.3.解:(1);(2)存在,设,则.只要路是对的,就不怕路远.当时,二次函数的解析式为.设直线的解析式为,令,整理,得.,,解得或.当时,方程无解,此时直线与拋物线无交点,不合题意,舍去.直线的解析式为;(3)MN的长度不变,金钱损失了还能挽回,选择一旦错了就失分了!设,由消去,得,,,,的长度不变,.第174天判断三点会共线4.福建福州市校级模拟改编)抛物线的顶点为,拋物线的顶点为,其中,挽物线与相交于点.(1)是否存在,使拋物线和抛物线都在轴的下方,若存在,求出的值或范围,若不存在,请说明理由;(2)设点的纵坐标为,求的取值范围;(3)若点,求证:点三点共线.4.解:不存在,理由如下:若拋物线在轴下方,则方程无解.解得.由题意可得的坐标为,若拋物线在轴下方,则.解得.综上所述,不存在;(2)联立消去,得.解得.,把代人,得点的坐标为,，(3)证明:拋物线,抛物线,,设直线解析式为,将点,点代人得:(1)-(2)得,,,,,把代人(1),得,直线解析式为,当时,,在直线上,即点三点共线.第175天函数最值再讨论5.已知,二次函数,直线的解析式为(1)已知二次函数的图象恒过一定点,求定点的坐标;(2)证明:二次函数的图象与直线必有两个交点;(3)若二次函数的图象经过点,且对于任意实数,不等式都成立.当时,二次函数的最小值为求直线的解析式.5.（1）令,得.当时,.该定点的坐标是;(2)证明:联立消去,得,则方程有两个不相等的实数根.抛物线与直线必有两个交点;(3)解:依题意可知.即,解得或.,,此时拋物线的解析式为,对称轴为直线.(1)若,当时,随增大而减小.当时,最小,,,解得(舍去),,当时,直线的解析式为.(2)若,即,解得(舍去);(3)若,即,当时,随增大而增大,当时,最小,,,解得(舍去),当时,.综上所述,直线的解析式是或解法二:拋物线经过点对于任意实数,不等式都成立,拋物线与直线-4没有交点或者只有1个交点,方程无解或者有两个相等的实数根.综上所述,.整理,得解得或.综合强化训练351.已知拋物线经过点.(1)求拋物线的解析式;(2)若点均在该化物线上,且,求的取值范围;(3)若点为拋物线上的动点,点,则以线段为直径的圆截直线所得弦的长是否为定值?若是,求出它的值;若不是,请说明理由.1.解:(1)抛物线的解析式为;抛物线的对称轴为直线,又点均在该抛物线上,且义无反顾相信了,你是否也能相信小鹿呢?设,则,抛物线开口向上,且对称轴为直线,当时,随增大而减小,即.(3)以线段为直径的圆截直线所得弦的长为定值,如解图,设直线与交于点（点在点左侧),连接,过点作于点.设,则,.设线段的中点,则，，由勾股定理,得,(负值已舍).以线段为直径的圆截直线所得弦的长为定值，其值为
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