中考数学知识点总结完整版

第一讲数与式第1课时实数的有关概念考点一、实数的概念及分类（3分）正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数（）、开方开不尽的数负无理数凡能写成q(p,q为整数且p0)形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称p分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；不是有理数；考点二、实数的倒数、相反数和绝对值（3分）2、数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3、相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)相反数的和为0a+b=0a、b互为相反数.4、绝对值：正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；a(a0)(2)绝对值可表示为：a0(a0)绝对值的问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 经常分类讨论；a(a0)5、倒数若ab=1a、b互为倒数；若ab=-1a、b互为负倒数。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。a11a考点三、平方根、算数平方根和立方根（3—10分）6、平方根①如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。正数a的平方根记做“a”。②算术平方根正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”。正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。a22a；注意a的双重非负性：a0a0a，a7、立方根如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根（或a的三次方根）。一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。注意：3a3a，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。考点四、近似数（3—6分）8、近似数1、近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.2、有效数字一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。第2课时实数的运算与大小考点一、实数的运算（做题的基础，分值相当大）1、有理数加法法则：1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；3）一个数与0相加，仍得这个数.2、有理数乘法法则：1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；2）任何数同零相乘都得零；3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.3、有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，即a无意义.04、实数的运算律①加法交换律：abba②加法结合律：(ab)ca(bc)③乘法交换律：abba④乘法结合律：(ab)ca(bc)⑤乘法对加法的分配律a(bc)abac5、乘方的定义：1）求相同因式积的运算，叫做乘方；2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；6、有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n为正奇数时:(-a)n=-an或(a-b)n=-(b-a)n,当nnnnn为正偶数时:(-a)=a或(a-b)=(b-a).7、科学记数法把一个数写做a10n的形式，其中1a10，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。8、实数的运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。考点二、实数大小的比较（3分）9、实数大小的比较⑴数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。⑵实数大小比较的几种常用方法①数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。②求差比较：设a、b是实数，ab0ab,ab0ab,ab0ab③求商比较法：设a、b是两正实数，a1ab;a1a;a1ab;bbbb④绝对值比较法：设a、b是两负实数，则abab。⑤平方法：设a、b是两负实数，则a2b2ab。第3课时整式考点一、整式的有关概念（3分）1、代数式用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。2、单项式只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如41a2b，这种表示13a2b。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数3就是错误的，应写成。如5a3b2c是63次单项式。考点二、多项式（11分）3、多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。单项式和多项式统称整式。用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。注意：（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。（2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入。4、同类项：所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。合并同类项时，只把它们的系数相加，字母和字母的指数不变。5、去括号法则：（1）括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号一起去掉，括号里各项都不变号。（2）括号前是“﹣”，把括号和它前面的“﹣”号一起去掉，括号里各项都变号。6、整式的运算法则①整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。②整式的乘法：am?anamn(m,n都是正整数)mnamn(m,n都是正整数)（a）(ab)nanbn(n都是正整数)(ab)(ab)a2b2(ab)2a22abb2(ab)2a22abb2a2b2(ab)22ab(ab)2(ab)24ab(ab)(a2abb2)a3b3(ab)(a2abb2)a3b3单项式乘以多项式：m(abc)mambmc多项式乘以多项式：(mn)(ab)mambnanb③整式的除法：amanamn(,都是正整数,a0)mn单项式除以单项式：(ab)mambm【注意】（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。（2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。（6）a01(a0);ap1(a0,p为正整数)ap7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。第4课时因式分解（11分）1、因式分解（整式乘法的逆变形）把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。2、因式分解的常用方法1）提公因式法：abaca(bc)（2）运用公式法：a2b2(ab)(ab)a22abb2(ab)2a22abb2(ab)2（3）分组分解法：acadbcbda(cd)b(cd)(ab)(cd)4）十字相乘法：a2(pq)apq(ap)(aq)3、因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。第5课时分式（8~10分）1、分式的概念形如A的式子，其中A、B是整式，B中含有未知数且B不等于0的整式叫做分式。B2、分式有意义的条件：分母不等于03、分式的性质（1）分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。2）分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。4、约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分。公因式：系数（各项系数的最大公约数）字母及式子（相同字母和式子的最低次幂）5、通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。最简公分母：系数（各个分母的系数的最小公倍数）字母及式子（所有字母和式子的最高次幂）6、分式的四则运算：①同分母分式加减法则：同分母的分式相加减,分母不变，把分子相加减.用字母表示为：ababccc②异分母分式加减法则：异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：bdbcadacac③分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：bdbdacac④分式的除法法则:两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.bdbcbcacadad第6课时二次根式（初中数学基础，分值很大）1、二次根式式子a(a0)叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。2、最简二次根式若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数不含分母。化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。3、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。4、二次根式的性质（1）(a)2a(a0)a(a0)（2）a2aa(a0)（3）aba?b(a0,b0)（4）aa(a0,b0)bb5、二次根式混合运算二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。第二讲方程与不等式第7课时一元一次方程（6分）1、等式：用等号“=”来表示相等关系的式子叫等式。2、等式的性质1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。3、方程：含有未知数的等式叫做方程。4、方程的解:能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。5、一元一次方程:只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程axb（0x为未知数，a0）叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b是常数项。6、一元一次方程解法的一般步骤：①整理方程②去分母③去括号④移项⑤合并同类项⑥系数化为1（检验方程的解）.7、列方程解应用题的一般步骤：审、找、设、列、解、验、答！第8课时二元一次方程（8~10分）1、二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次。方程，一般形式是ax+by=c(a≠0,b≠0)。2、二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。3、二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解。4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组。5、消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。①代入消元：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。②加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。6、三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。7、三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。第9课时一元二次方程考点一、一元二次方程（6分）1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式ax2bxc0(a0)，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。考点二、一元二次方程的解法（10分）1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如(xa)2b的一元二次方程。根据平方根的定义可知，xa是b的平方根，当b0时，xab，ab，当b<0时，方程没有实数根。2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式a22abb2(ab)2，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有x22bxb2(xb)2。（见教材）3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程ax2bxc0(a0)的求根公式：bb24ac2x2a(b4ac0)4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。考点三、一元二次方程根的判别式（3分）根的判别式一元二次方程ax2bxc0(a0)中，b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的判别式，通常用“”来表示，即b24ac考点四、一元二次方程根与系数的关系（3分）如果方程ax2bxc0(a0)的两个实数根是x1，x2，那么x1x2b，x1x2c。也就是说，对aa于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。考点五、一元二次方程的应用（8分）特别注意：检验方程的每一个解是否符合实际意义。第10课时分式方程（8分）1、分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程。2、分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是：1）去分母，方程两边都乘以最简公分母2）解所得的整式方程3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。3、分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。4、分式方程的应用注意检验：（1）检验所求的解是否是所列分式方程的解；（2）检验所求的解是否符合实际问题。第11课时一元一次不等式考点一、不等式的概念（3分）1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。2、不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。求不等式的解集的过程，叫做解不等式。3、用数轴表示不等式的方法考点二、不等式基本性质（3~5分）、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 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型：考点三、一元一次不等式（6~8分）1、一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。2、一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步骤：1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为13、列方程解应用题的一般步骤：审、找、设、列、解、验、答！第12课时一元一次不等式组（8分）1、一元一次不等式组的概念①几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。②几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。③求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。④当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。2、一元一次不等式组的解法1）分别求出不等式组中各个不等式的解集2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。3、确定不等式组的解集：①数轴法；②口诀法：两个大于取较大；两个小于取较小；大小小大中间找；大大小小解不了。第三讲函数第13课时平面直角坐标系与函数考点一、平面直角坐标系（3分）、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。2、点的坐标的概念点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当ab时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。考点二、不同位置的点的坐标的特征（3分）1、各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限x0,y0点P(x,y)在第三象限x0,y02、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在第二象限x0,y0点P(x,y)在第四象限x0,y0点P(x,y)在x轴上y0，x为任意实数点P(x,y)在y轴上x0，y为任意实数点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征点P与点p’关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：1）点P(x,y)到x轴的距离等于2）点P(x,y)到y轴的距离等于yx（3）点P(x,y)到原点的距离等于x2y2考点三、函数及其相关概念（3~8分）1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。3、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。（2）列表法把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。4、由函数解析式画其图像的一般步骤1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。第14课时一次函数（3~10分）一、正比例函数1、形如ykx（k为常数，k0）的函数。叫做x的正比例函数。2、性质①其图象是经过原点(0,0)的一条直线。②当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限,y随x的增大而增大，当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限,y随x的增大而减小，二、一次函数1、形如ykxb（k，b是常数，k0）的函数。叫做x的一次函数。2、一般地，一次函数ykxb有下列性质：①其图象是经过原点(0,)的一条直线。b②当k>0时，,y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小，③图象经过的象限（分四种情况讨论）④图象与x轴的交点为(b,0)，与y轴的交点为(0,b)k⑤直线l1:yk1xb1，直线l2:yk2xb21ol1//l2k1k2；2ol1与l2相较于y轴（0，b）b1b2b；正比例函数和一次函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式ykx（k0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式ykxb（k0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。第15课时一次函数的应用略第16课时反比例函数考点反比例函数（3~10分）、反比例函数的概念一般地，函数yk（k是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成ykx1的形式。x自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。2、反比例函数的性质反比例函数k(k0)xk的符号k>0k<0图像①x的取值范围是x0，y的取值范围是y0；性质②当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随x的增大而减小。①x的取值范围是x0，y的取值范围是y0；②当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，y随x的增大而增大。3、反比例函数解析式的确定确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数k中，只有一个待定系数，因此只需要一对对x应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。5、反比例函数中反比例系数的几何意义过反比例函数yk(k0)的图象上任意一点向横轴（或纵轴）作垂线段，该点与垂足及原点组成的三角x形的面积等于1k.2k(k过反比例函数y0)的图象上任意一点向坐标轴作垂线段，两垂线段与坐标轴围成矩形的面积等于xk.第17课时二次函数的图像与性质考点一、二次函数的概念和图像（3~8分）、二次函数的概念一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数。yax2bxc(a,b,c是常数，a0)叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像b二次函数的图像是一条关于x对称的曲线，这条曲线叫抛物线。2a抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。3、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线yax2bxc与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。考点二、二次函数的解析式（10~16分）二次函数的解析式有三种形式：①一般式：yax2bxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.②顶点式：yaxh2k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。③交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：yaxx1xx2考点三、二次函数的最值（10分）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当xb时，2ay最值4acb2。4a如果自变量的取值范围是x1xx2，那么，首先要看bx1xx2内，若在是否在自变量取值范围2a此范围内，则当x=b时，y最值4acb2；若不在此范围内，则需要考虑函数在x1xx2范围内的增减2a4a性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当xx2时，y最大ax22bx2c，当xx1时，y最小ax12bx1c；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当xx1时，y最大ax12bx1c，当xx2时，y最小ax22bx2c。考点四、二次函数的性质（6~14分）、二次函数的性质二次函数函数yax2bxc(a,b,c是常数，a0)a>0a<0yy图像0x0x（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是x=bb，bb，2a，顶点坐标是（（2）对称轴是x=，顶点坐标是（2a2a2a4acb24acb24a）；4a）；（3）在对称轴的左侧，即当x<b（3）在对称轴的左侧，即当x<b时，y随x时，y随x2a2a性质的增大而减小；在对称轴的右侧，即当的增大而增大；在对称轴的右侧，即当b时，y随x的增大而增大，简记左减b时，y随x的增大而减小，简记左x>x>2a2a右增；增右减；（4）抛物线有最低点，当x=b（4）抛物线有最高点，当x=b时，y有最小时，y有最2a2a值，y最小值4acb24acb24a大值，y最大值4a2、二次函数yax2bxc(a,b,c是常数，a0)中，a、b、c的含义：a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上a<0时，抛物线开口向下bb与对称轴有关：对称轴为x=2ac表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）3、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。因此一元二次方程中的b24ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。当>0时，图像与x轴有两个交点；当=0时，图像与x轴有一个交点；当<0时，图像与x轴没有交点。补充：1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）y如图：点A坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2）22则AB间的距离，即线段AB的长度为x1x2y1y2A0xB2、函数平移规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）左加右减、上加下减第18课时二次函数的应用（1）.定义：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数。2）.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同。②平行于y轴（或重合）的直线记作xh.特别地，y轴记作直线x0。（3）.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标yax2x0（y轴）（0,0）yax2k当a0时x0（y轴）(0,k)yaxh2开口向上xh(h,0)yaxh2k当a0时xh(h,k)开口向下yax2bxcxbb4acb2(，)2a2a4a（4）.求抛物线的顶点、对称轴的方法24acb2b4acb2①公式法：yax2bxcbax4a，∴顶点是（，4a），对称轴是直线2a2ab。2a②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为yaxh2k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线xh。③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。x1x2若已知抛物线上两点(x1,y)、(x2,y)（及y值相同），则对称轴方程可以表示为：x2（5）.抛物线yax2bxc中，a,b,c的作用①a决定开口方向及开口大小，这与yax2中的a完全一样。②b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线。xb，故：①b0时，对称轴为y轴；②b0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；③b2aa0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧。a③c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置。当x0时，yc，∴抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点（0，c）：①c0，抛物线经过原点;②c0,与y轴交于正半轴；③c0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则b0。第a四讲三角形第19课时线段，角，相交线和平行线考点一、直线、射线和线段（3分）、几何图形从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。2、点、线、面、体1）几何图形的组成点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。面：包围着体的是面，分为平面和曲面。体：几何体也简称体。2）点动成线，线动成面，面动成体。3、直线的概念一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的。4、射线的概念直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。5、线段的概念直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。这两个点叫做线段的端点。6、点、直线、射线和线段的表示在几何里，我们常用字母表示图形。一个点可以用一个大写字母表示。一条直线可以用一个小写字母表示。一条射线可以用端点和射线上另一点来表示。一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示。注意：1）表示点、直线、射线、线段时，都要在字母前面注明点、直线、射线、线段。2）直线和射线无长度，线段有长度。3）直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点。4）点和直线的位置关系有线面两种：①点在直线上，或者说直线经过这个点。②点在直线外，或者说直线不经过这个点。7、直线的性质（1）直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线。它可以简单地说成：过两点有且只有一条直线。2）过一点的直线有无数条。3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。4）直线上有无穷多个点。5）两条不同的直线至多有一个公共点。8、线段的性质1）线段公理：所有连接两点的线中，线段最短。也可简单说成：两点之间线段最短。2）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。3）线段的中点到两端点的距离相等。4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。9、线段垂直平分线的性质定理及逆定理垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。考点二、角（3分）1、角的相关概念有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。当角的两边在一条直线上时，组成的角叫做平角。平角的一半叫做直角；小于直角的角叫做锐角；大于直角且小于平角的角叫做钝角。如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角。如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角。2、角的表示角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示，具体的有一下四种表示方法：①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C等。④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。3、角的度量角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n度记作“n°”。把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1’”。把1’的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1””。1°=60’=60”4、角的性质1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。2）角的大小可以度量，可以比较3）角可以参与运算。5、角的平分线及其性质一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。角的平分线有下面的性质定理：1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。考点三、相交线（3分）1、相交线中的角两条直线相交，可以得到四个角，我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角。我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做临补角。临补角互补，对顶角相等。直线AB，CD与EF相交（或者说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截），构成八个角。其中∠1与∠5这两个角分别在AB，CD的上方，并且在EF的同侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角；∠3与∠5这两个角都在AB，CD之间，并且在EF的异侧，像这样位置的两个角叫做内错角；∠3与∠6在直线AB，CD之间，并侧在EF的同侧，像这样位置的两个角叫做同旁内角。2、垂线两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。考点四、平行线（3~8分）1、平行线的概念在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥”表示，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”。同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。注意：（1）平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。（2）当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。2、平行线公理及其推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。3、平行线的判定平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。简称：同位角相等，两直线平行。平行线的两条判定定理：1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。简称：内错角相等，两直线平行。2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。简称：同旁内角互补，两直线平行。补充平行线的判定方法：1）平行于同一条直线的两直线平行。2）垂直于同一条直线的两直线平行。3）平行线的定义。4、平行线的性质1）两直线平行，同位角相等。2）两直线平行，内错角相等。3）两直线平行，同旁内角互补。第20课时三角形的基本概念和性质考点一、三角形（3~8分）、三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。2、三角形中的主要线段1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。3、三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。4、三角形的特性与表示三角形有下面三个特性：1）三角形有三条线段2）三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形（3）首尾顺次相接三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”。5、三角形的分类三角形按边的关系分类如下：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形三角形按角的关系分类如下：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。6、三角形的三边关系定理及推论1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。推论：三角形的两边之差小于第三边。2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。③证明线段不等关系。7、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。推论：①直角三角形的两个锐角互余。②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。8、三角形的面积三角形的面积=1×底×高29、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。2）要会区别三角形中线与中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行。数量关系：可以证明线段的倍分关系。常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。第21课时等腰三角形考点、等腰三角形（8~10分）、等腰三角形的性质1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。2）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则b