《金融数学》(第二版)练习题(修订版)

孟生旺《金融数学》（第二版）练习题(2011.1.10修订)第1章利息度量1.1现在投资$600，以单利计息，2年后可以获得$150的利息。如果以相同的复利利率投资$2000，试确定在3年后的累积值。1.2在第1月末支付314元的现值与第18月末支付271元的现值之和，等于在第T月末支付1004元的现值。年实际利率为5%。求T。1.3在零时刻，投资者A在其账户存入X，按每半年复利一次的年名义利率i计息。同时，投资者Ｂ在另一个账户存入2X，按利率i（单利）来计息。假设两人在第八年的后六个月中将得到相等的利息，求i。1.4一项投资以δ的利息力累积，27.72年后将翻番。金额为1的投资以每两年复利一次的名义利率δ累积n年，累积值将成为7.04。求n。1.5如果年名义贴现率为6%，每四年贴现一次，试确定$100在两年末的累积值。1.6如果i()m=0.1844144，d()m=0.1802608，试确定m。1.7基金A以每月复利一次的名义利率12%累积。基金B以δt=t/6的利息力累积。在零时刻，分别存入1到两个基金中。请问何时两个基金的金额1将相等。1.8基金A以δt=abt+的利息力累积。基金B以δt=g+ht的利息力累积。基金A与基金B在零时刻和n时刻相等。已知ag>>0，hb>>0。求n。11.9在零时刻将100存入一个基金。该基金在头两年以每个季度贴现一次的名义贴现率δ支付利息。从t=2开始，利息按照δt=的利息力支付。1+t在t=5时，存款的累积值为260。求δ。1.10在基金A中，资金1的累积函数为t+1，t>0；在基金B中，资金1的累积函数为1+t2。请问在何时，两笔资金的利息力相等。21.11已知利息力为δt=。第三年末支付300元的现值与在第六年末支付600元的现值之和，等于第二年末支付200元的现值与在第五年末支付X1+t元的现值。求X。t31.12已知利息力为δ=。请求a−1(3)。t1001.13资金A以10%的单利累积，资金B以5%的单贴现率累积。请问在何时，两笔资金的利息力相等。1.14某基金的累积函数为二次多项式，如果向该基金投资1年，在上半年的名义利率为5%（每半年复利一次），全年的实际利率为7%，试确定δ0.5。t21.15某投资者在时刻零向某基金存入100，在时刻3又存入X。此基金按利息力δ=累积利息，其中t>0。从时刻3到时刻6得到的全部利息为X，t100求X。1.16一位投资者在时刻零投资1000，按照以下利息力计息：2⎪⎧0.02tt，0≤≤3δt=⎨⎩⎪0.045，t>3求前4年每季度复利一次的年名义利率。1.17已知每半年复利一次的年名义利率为7.5%，求下列两项的和：(1)利息力；(2)每季度贴现一次的年名义贴现率。⎧kt,0<≤t5⎪1.18假设利息力为δt=⎨1，期初存入单位1在第10年末将会累积到2.7183。试求k。kt2,5<≤t10⎩⎪2511.19已知利息力为δ=，一笔金额为1的投资从t=0开始的前n年赚取的总利息是8。试求n。t2+t1.201996年1月1日，某投资者向一个基金存入1000，该基金在t时刻的利息力为0.1(t−1)2，求1998年1月1日的累积值。1.21投资者A今天在一项基金中存入10，5年后存入30，已知此项基金按单利11%计息；投资者B将进行同样数额的两笔存款，但是在n年后存入10，在2n年后存入30，已知此项基金按复利9.15%计息。在第10年末，两基金的累积值相等。求n。21.22已知利息力为δ=，2≤t≤10。请计算在此时间区间的任意一年内，与相应利息力等价的每半年贴现一次的年名义贴现率。tt−1第2章等额年金2.1某人想用分期付款的方式购买一辆现价为10万元的汽车，如果他首期支付一笔款项后，在今后的5年内每月末付款2000元即可付清车款。假设每月复利一次的年名义利率为8%，试计算他在首期付款的金额为多少。32.2某人将在10年后退休。他打算从现在开始每年初向一种基金存入2000元，如果基金的收益率为6%，试计算他在退休时可以积存多少退休金。2.3某人从2000年3月1日起，每月末可以领取200元，2010年5月末是最后一次领取。如果每月复利一次的年名义利率为6%，试计算：（1）年金的现值；（2）年金的终值；（3）年金在2005年12月31日的值。2.4某人在今后的20年内，每年初向一基金存入10000元。从第30年开始，每年末可以领取一笔退休金。该基金的收益率为6%。（1）如果限期领取20年，每次可以领取多少？（2）如果无限期地领下去（当他死亡后，由其继承人领取），每次可以领取多少？2.5某人留下了10万元的遗产，遗嘱规定，该笔遗产前5年的利息收入由其长子领取，第二个5年的利息由其次子领取，从第11年开始，剩余遗产全部归第三个儿子。如果年实际利率为8%，试计算三个儿子在该笔遗产中分别占多大份额？2.6如果年实际利率为i，那么一笔在36年内每年末支付4000元的年金，与另一笔在18年内每年末支付5000元的年金将有相等的现值。试计算1000元的投资在年实际利率为i时，经过多长时间可以翻番。2.7借款人原MATCH_ word word文档格式规范word作业纸小票打印word模板word简历模板免费word简历 _1715200870303_0在每月末偿付1000元，用5年的时间还清贷款。每月复利一次的年名义利率为12%。如果他现在希望一次性支付60000元还清贷款，他应该在何时偿还？2.8投资者每月初往基金存入一笔款项，5年后可以积存到60000元。如果前2年每次存入1000元，后3年每次存入500元。试计算每月复利一次的名义利率。2.9投资者每年末向一基金存入2000元，如果在前2年的投资按6%的年实际利率计算，在后两年的投资按5%的年实际利率计算，投资者在第4年末可以积存多少价值？2.10一项10年期的年金，在前5年的每季度末付款1000元，后5年的每季度末付款2000元。如果年实际利率为5%，试计算该项年金的现值。2.11一项每3年末支付1元的永续年金，其现值为125/91，试确定年实际利率是多少？2.12某人将一笔遗产（每年末可以领取的永续年金）捐赠给了四家慈善机构A，B，C和D。在前n年，每次领取的款项由A、B、C三家平均分享，n年以后，剩余部分均由D领取。试确定当(1+i)n为多少时，A、B、C、D四家在该遗产中享有的现值相等。假设年实际利率为8%。2.13一项永续年金在每月初付款1元，如果每年结转四次利息的年名义利率为4%，试计算该项年金的现值。42.14一项永续年金在每月初付款1000元，另一项永续年金在每季度末付款3020元。当年实际利率为多少时，这两项年金具有相同的现值。批注:第二版书稿中有错2.15假设一笔10000元的贷款，计划从第5年开始在每年末偿还1000元，直至还清为止。如果年实际利率为5%，并要求将不足1000元的一次非正规付款提前在前一年末支付，试计算最后一次付款的时间和金额。2.16一项年金从2000年1月1日开始，每月末支付100元，支付60次；这项年金的价值等价于在第K月末支付一笔6000元的款项。每月复利一次的名义利率为12%。求k。2.17如果，，试将d表示为x和y的函数。axn=ay2n=2.18一位受益人获得了一笔人寿保险金，如果用这笔收入去购买一项10年期的期末付年金，每年末的付款为$1538；如果购买20年期的期末付年金，则每年末的付款为$1072。两者的年实际利率均为i，求i。2.19建立一个基金，在前两年每季度之初存入100，其后两年每季度之初存入200，若基金的名义利率为12%，每月复利一次。请计算第四年末的累积值为多少？2.20每半年复利一次的名义利率为i，每两年末支付1元的永续年金的现值是5.89。试计算利率i。2.21某人以年实际利率4%借款100元，并承诺分30次付清，后二十次的付款是前十次的2倍。在第十年末，他可以选择一次性付清全部剩余款项X，这会使借款人在十年间获得的年实际利率为4.5%，求X。2.22投资者在t=0和t=10时分别向一项基金投资12，这项基金以年实际利率i计息。利息在年末支付，并以0.75i的年实际利率进行再投资。在t=20时，再投资利息的累积值为64，求i。12.23如果利息力为常数δ=，求a的表达式。1+tn512.24给定利息力δ=，0≤t≤5，请计算s。10.5+t582.25已知atd100=。请计算a∫0t10。3a(2)2a(2)45s(2)2.26如果n|=2n|=1|，试计算i是多少？2.27当t为多少时，在时刻t支付1元相当于将这1元在时刻0与1之间连续支付？==2.28已知an4，sn12，求利息力。2.29证明下列关系式：（1）=+maaavmn+mn（2）=++msmn+sism(1)n（3）=+−n<1。sss（８）23nn+−=n1sssnnn226⎛⎞d（９）⎜⎟aia−+=()1⎝⎠nnδ−1第3章变额年金j3.1某投资者在三十年内，每年年末向银行投资1。银行在每年末以年利率j支付利息。投资者所得利息立即被再投资，再投资利率为年实际利率。这2些利息在三十年之间的积累值为72.88。求j。3.2某人希望购买一项年金，该项年金在第一年末的付款为1000元，以后每年增加100元，总的付款次数为10次。如果年实际利率为5%，这项年金的现价应该是多少？3.3一项永续年金在第一年末支付1，第二年末支付2。这样增加下去直至第n年末支付n，然后一直维持每年支付n，试确定此项年金的现值。3.4一项永续年金在第四年初支付2，第六年初支付4，第八年初支付6，第十年初支付8，年实际利率为10%，计算其现值X。3.5在年实际利率为i时下列两项年金的现值均为X：年金A在每年末支付55，支付20年；年金B支付30年期，其中前10年每年末支付30，中间10年每年末支付60，最后10年每年末支付90。求X。3.6一项9年期年金的一系列付款为1,2,3,4,5,4,3,2,1，第一次支付在第二年末，当年实际利率为i时该年金的现值为22。一项10期年金的一系列付款为1,2,3,4,5,5,4,3,2,1,第一次支付在第一年末，计算该年金在年实际利率i下的现值。3.7一项年金在第一年末付款1元，以后每年增加1元，直至第n年。从第n+1年开始，每年递减1元，直至最后一年付款1元。试计算该项年金的现值是多少？3.8一项年金在第一年末的付款为1000元，以后每年增长10%，总的付款次数为10次。如果年实际利率为5%，这项年金的现值是多少？73.9一项期末付年金，每半年的付款为800，750，700，…，350，(2)。若，试写出此年金的现值表达式（用A表示）。i=0.16aA100.08=3.10一项永续年金，第5年和第6年末的付款为1，第7年和第8年末的付款为2，第9年和第10年末的付款为3，如此下去。计算其现值。3.11一项永续年金，从今日开始每6个月付款一次。第1次付款1，以后每次均比前次增加3%。若年实际利率为8%，试确定此项年金的现值。3.12一项永续年金，每四年末付款一次。第一次付款在第四年末，付款额为1。接下来的每一次付款都比上一次多5。请计算这项永续年金的现值，已知v4=0.75。3.13小张在第一年的每个季度初存款1，第二年的每季度初存款2，以此类推，第八年的每季度初存款8。假设年实际利率为8%。在最后一笔存款之后的一个季度末，小张取出这项存款用于购买一项每年末均支付X的永续年金。计算X。3.14小张选择如下方式获得他的20年期退休金：从现在开始一个月后每月领取2000，月度退休金每年增加3%，每月复利一次的年名义利率为6%。计算该项退休金的现值。3.15每年初向基金中投入一笔资金，持续10年。前5次投资金额均为1000，从第6次开始以后每年递增5%。若基金的实际利率为8%，试确定第10年末的积累值。3.16投资者在时刻1收到400元，时刻2收到450元，时刻3收到500元，依此类推，直到最后一次收到900元，假设每个时期的实际利率为5％，请计算这些付款在时刻零的现值和在时刻12的终值。3.17一个现金流的付款如下：现在支付1000元，1年后支付1070元，2年后支付1140元，3年后支付1210元，依此类推，直到最后一次支付1700元。假设年实际利率为8％，试计算这个现金流在时刻零的现值和在第11年末的终值。3.18小张在第1年末收到500元，在第2年末收到480元，在第3年末收到460元，依此类推，直到最后一次收到400元，假设年实际利率为6％，试计算这个现金流在第1年初的现值和在第20年末的终值。3.19一个现金流如下：现在支付50元，此后每年比上一年减少10元直到第4年末，然后每年的付款又比前一年增加10元，直到第8年末。假设年实际利率为9％，试计算这个现金流在时刻零的现值。83.20小张需要在第10年末筹集到80000元，因此他现在投资X元，在1年末投资X－500元，在第2年末投资X－1000元，直到第9年末投资X－4500元，假设年实际利率为6％，试计算X的值。3.21某银行有一项特殊业务，如果现在存入银行X元，银行将在第5年末返还3000元，在第6年末返还2900元，在第7年末返还2800元，依此类推，最后一次返还在第15年末。假设年实际利率为6％，试计算X的值。3.22假设在第5年末投资200元，在第6年末投资400元，在第7年末投资600元，依此类推，最后一次投资发生在第15年末。年实际利率为5％，试计算这些投资在第20年末的终值。3.23一项连续支付的年金，第1年连续支付100元，第2年连续支付110元，第3年连续支付120元，依此类推，直到第10年连续支付190元。假设年实际利率为4％，试计算此年金在第10年的终值。3.24有一项连续年金，第1年连续支付100元，此后每一年比前一年减少5元，直到最后一次支付65元，假设年实际利率为7％，试计算此项年金在第10年的终值。3.25小张现在25岁，他希望在他65岁到90岁之间每年领取养老金，第一次是在他65岁生日时领取15000元，之后领取的金额每年比前一年增加3％，假设年实际利率为5％，试计算小张现在要投资多少钱才能满足他的养老金领取需求。3.26一项10年期连续年金，在时刻t的支付率为，假设利息力为，试求此项年金在时刻零的现值。ρt=43t+δt=0.03+0.04t3.27一个现金流从时刻5到时刻10连续付款，在时刻t的支付率为2，时刻零到时刻5的利息力为，时刻5到时刻10ρt=1.2tt+2δt=0.004t+0.01的利息力为2，试计算此现金流在时刻零的现值。δt=+0.0006tt0.0013.28小张从第1年到第7年每年末投资Z元，年实际利率为3％，然后又将每年末的利息进行再投资，再投资利率为5％。在第7年末的终值为X元。小王从第1年到第14年每年末投资Z元，年实际利率为2％，然后又将每年末的利息进行再投资，再投资利率为3.5%。他在第14年末的终值为Y。试计算Y/X。3.29一项期末付永续年金，前5年的付款均为20元，从第6年开始，付款每年比上一年增长k%。假设年实际利率为9％，此项永续年金的现值为3359元，试计算k的值。3.30一项连续年金，其在时刻t的支付率为9k+tk，其中010≤t≤，利息力为1，在10年后，此项年金的价值25000元，试计算k的值。δ=t9+t3.31一项15年期的年金，在第1年末给付300元，第2年末给付280元，第3年末给付260元，直到给付金额减少到160元，然后每年的给付金额保持160元不变，直到15年末，假设年实际利率为5％，试计算此项年金在时刻零的现值。第4章收益率4.1某项目的初始投资为50000元，并将产生如下净现金流入：第1年末15000元，第2年末40000元，第3年末10000元。求该项目的收益率。4.2投资者将10000元存入一家银行，期限为10年，年利率为5%。如果在五年半之内取款，银行将扣除取款额的6%作为罚金。投资者分别在第4、5、6、7年末取款k。10年末，这笔存款的余额为10000元。求k。4.3一个投资账户的有关信息如下：时间2006.1.12006.5.12006.9.12007.1.1余额(投入或支取之前)50000750009000067000投入15000支取25000请计算该账户的币值加权收益率和时间加权收益率之差。4.4两项基金的有关信息如下：基金X日期投入支取投入/支取之前的基金余额2003.1.150000102003.3.1550002003.5.124000500002003.11.136000773102003.12.3143100基金Y日期投入支取投入/支取之前的基金余额2003.1.1100,0002003.7.115,000105,0002003.12.31F基金Y在2003年的时间加权收益率等于基金X在2003年的币值加权收益率。求F。4.5某人2006年1月1日在一个账户投资了100元。该年的其他投资信息如下：2006.4.192006.10.30投入之前的余额90110投入金额XX假设该账户在2007年1月1日的余额为120元。该账户在2006年的币值加权收益率是0%，时间加权收益率是y。计算y。4.61月1日，一个投资账户的余额为100元。4月1日，余额上升为120元，又存入D。10月1日，余额为100，又取出50元。第2年的1月1日，账户余额为65元。假设该账户的时间加权收益率为0%，请计算币值加权收益率。4.72008年1月1日，某投资者向基金投入1000元，第二笔投资发生在2008年7月1日，直至2009年1月1日，基金的账面余额为2000元。已知该基金在过去一年的时间加权收益率为10%，币值加权收益率为9%，求投资者在2009年前六个月获得的年实际收益率。删除的内容:20074.8某账户在1月1日的账面余额为75元，12月31日的账面余额为130元。每月末存入该账户的资金为10元，并分别在2月28日，6月30日，10月15日和10月31日从账户中取走了5元、25元、8元和35元。求该账户在这一年中的币值加权收益率。4.9某投资者于1月1日在一个账户中投资50元，下表为该投资账户一年中的余额变化：日期投资前的余额新增投资额3月15日4020116月1日808010月1日175756月30日，账面余额为157.50元，12月31日，账面余额为X。如果把前六个月的时间加权收益率用年实际收益率表示，则其等于全年的时间加权收益率。求X。4.10某投资基金在年初的余额为20000元。在每季度末，收到一笔新增投资1000元。在这些现金流发生之后的基金价值为23000，24800，25000及25100元。请计算该基金的时间加权收益率。4.11一个投资者购买了一项5年期的金融产品，该产品满足下述条件：(1)该投资者在5年内的每年初可以获得1000元；(2)这些款项将按年利率4%计息，并在每年末，所获利息又以3%的年利率进行再投资。如果该投资者需要获得4%的年收益率，请计算该投资者应该支付的购买价格。4.12某投资者在20年内每年初向银行存入500元，银行以i%的年利率在每年末支付利息。这些利息以(/2)%i的年利率进行再投资。整个投资在20年中的年实际收益率为8%。请计算i。4.13投资者A以年利率10%投资1000元，期限为10年。每年末支付利息，利息以年利率i进行再投资。10年末，利息的积累值为1500元。投资者B在20年的每年末投资150元，年利率为12%。每年末支付利息，利息以年利率i进行再投资。求20年后B的利息积累值。4.14某投资者的初始投资为12，10年末又投资12，这些投资以年实际利率i计息。利息按年度支付，并以0.75i的年实际利率进行再投资。在20年末，再投资利息的积累值为64元，求i。4.15某投资人分别在1999年,2000年和2001年的年初投资了1000元。请根据下表的数据计算该投资者在2001日历年度所获得的利息。原始投资的投资年度利率投资组合利率投资组合利率的yyy+2日历年度日历年度yi1i2iy+219999.00%10.00%11.00%200120007.00%8.00%20015.00%4.16假设市场的无风险利率为5%，债券A的面值为1000元，期限为一年，违约概率为1%，如果发行人希望按面值发售债券，试计算该债券的息票率至少应为多少？如果投资者要求购买该债券的期望收益等于8%的无风险利率所产生的收益，试计算息票率应为多少？12第5章债务偿还5.1一笔贷款在n年内分期偿还，每年末的偿还金额为X元，n>5，且已知：（1）第一期付款的利息金额为604.00元。（2）第三期付款的利息金额为593.75元。（3）第五期付款的利息金额为582.45元。试计算X。5.2一笔35年期的贷款以等额分期方式偿还，每年末偿还一次。第8次分期付款的利息金额为135元。第22次分期付款的利息金额为108元。请计算第29次分期付款的利息金额。5.3一笔10000元的30年期贷款，年实际利率为5%，以等额分期方式偿还，每年末偿还一次。试求分期付款中利息金额最接近于付款金额三分之一的年份。5.4一笔10年期的贷款，在每年末偿还R元。已知：（1）在头3年中，偿还的本金金额总和为290.35。（2）在最后3年中，偿还的本金金额总和为408.55。请计算在整个偿还期内，支付的利息金额为多少。5.5按年实际利率i偿还一笔1000元的贷款。已知：（1）在第6年末偿还第一笔款项。（2）然后每年末等额偿还一次，在第15年末可以偿清这笔贷款（即一共偿还10次）。（3）在第10年末的付款结束后，未偿还本金余额为908.91。试计算第5年末的未偿还本金余额。135.6一笔20000元的贷款，期限为4年，年实际利率为8%。借款人必须在每年末偿还1600元的利息，并建立一笔偿债基金用于清偿贷款本金，偿债基金的利率与贷款利率相同。试计算下列各项：（1）借款人第2年末向偿债基金的储蓄额；（2）偿债基金在第2年末的余额；（3）第2年末的贷款净额。5.7假设偿债基金的年实际利率为7%，重新计算5.6题的有关结果。5.8有两笔贷款的本金均为20000元，期限均为4年，但偿还方式不同。第一笔贷款采用偿债基金方式，贷款利率为8%，偿债基金利率为7%。第二笔贷款采用等额分期偿还方式。试计算当第二笔贷款的利率为多少时，两笔贷款对借款人而言是等价的。5.9一笔10年期的贷款在每年末偿还一次，年贷款利率为5%。第一次的付款为200元，后来的每笔付款均比前一年多10元。请计算第5次付款的利息是多少。5.10一笔125000元的30年期贷款在每月末偿还一次，每年的月偿还金额相等。每一年的月偿还额较前一年高出2%。第一年的月偿还额为R元，年实际利率为5%，求R。5.11银行有一笔10000元的20年期贷款，该笔贷款在每年末偿还1000元。如果银行把每次的偿还额立即按5%的实际利率进行再投资，试确定银行在这20年的实际年收益率。5.12一笔金额为A的n年期贷款，在每年末偿还1，年利率为i。若所有分期付款的本金部分的现值之和为P。求的表达式。()Ian5.13某人有一笔55000的抵押贷款，每月末需偿还500.38，共需偿还n年。每月复利一次的年名义利率为i。借款人因故没有偿还第一期付款，但其余各笔均按时偿还了。由于没有偿还第一期付款，故在第n年末还欠3077.94。试计算利率i。5.14某人自2000年1月1日起以年实际利率5%偿还一笔20000元的30年期贷款，每年末偿还一次。该人自2010年1月1日起又以年实际利率7%偿还另一笔10000元的20年期贷款，也在每年末偿还一次。试计算在2010年偿还的两笔贷款的本金之和。5.15一笔50000的贷款分10次按年偿还。第一笔付款X在贷款后6个月末支付，以后每隔一年偿还一次，每次的偿还金额均为2X。假设前4.5年的年实际利率是5%，随后变为3%。试计算X。145.16一笔1000元的贷款将以每月复利一次的名义利率12%计息，在6个月内的每月末分期偿还。前三次每次支付X，后三次每次支付3X。试求第三次支付的本金金额与第五次支付的利息金额。5.17一笔1000000元的30年期贷款将按月等额偿还，每月末偿还一次，每月复利一次的名义利率为X%。在第69期的还款额中，利息金额占94.473%,在第70期的还款额中，利息金额占94.418%。试求X。5.18一笔1000元的30年期贷款按年分期偿还，每年末偿还一次，年实际利率为8%。前10期的偿还金额均等于应付利息，第11至20期的偿还金额等于应付利息的两倍，后10期的偿还金额等于X。试求X的值。5.19一笔15年期的贷款，年还款额为1000元，年实际利率为5%。在第5次还款之后调整了偿还方式。调整后，第6次偿还800元，第7次偿还（800+K）元，以后每次付款比前一次均增加K，还款期不变。求调整后的最后一次偿还额。5.20两笔金额相等的30年期贷款，均以8%的利率按年分期偿还，每年末偿还一次。贷款L将等额分期偿还。贷款N每期偿还的本金金额相等，同时根据未偿还本金余额支付相应的利息。在第t年末，贷款L的偿还额首次超过贷款N，求t。5.21一笔8000元的10年期贷款按年偿还，每年末偿还一次，年利率为7％。偿还4次以后，借款人要求分4次偿还剩余的债务。新的偿还方式使贷款人在整个8年期获得了8%的年收益率。试确定调整偿还方式以后，借款人增加了多少付款。5.22一笔100000元的30年期贷款，偿还方式满足下述条件：（1）第一年末偿还X元。（2）后来的19年，每年末的偿还金额要比上一年增加100元。在最后十年，各年的偿还额保持在前一年的水平不变。（3）年实际利率为5%。求X。5.23某人从银行获得一笔贷款，期限为4年，年实际利率为8%。借款人用偿债基金方法偿还，每年末支付的总金额（包括当期的利息和向偿债基金的储蓄两部分）依次为2000元，3000元，4000元，5000元，偿债基金的年实际利率为7%。试计算贷款本金为多少？5.24一笔10000元的贷款，期限为5年，年实际利率为8%。借款人必须在每年末向贷款人支付当年的利息800元，并每隔半年向偿债基金储蓄一次。该偿债基金每年结转4次利息的年名义利率为6%，试计算下列各项：15（1）借款人第2年末向偿债基金的储蓄额；（2）偿债基金在第2年末的余额；（3）第2年末的贷款净额。第6章债券和股票6.1债券的面值为1000元，年息票率为5%，期限为5年，到期按面值偿还。假设现行的市场年利率为6%，试计算下列各项：（1）债券的价格（2）第二年末的账面值（3）第二年的利息收入6.2债券的面值为1000元，息票率为6%，期限为5年，到期按面值偿还。投资者所要求的收益率为8%，试计算债券在购买9个月后的价格和账面值。6.3债券的面值为1000元，期限为5年，到期按面值偿还，年息票率为6%。如果发行价格为950元，试计算该债券的收益率。6.4假设6.3题中的息票收入只能按5%的利率投资，试重新计算该债券的收益率。6.5一种面值为100的100年期债券，到期按面值偿还。已知该债券第一个十年的年息票率为10%，第二个十年的息票率为9%，第三个十年的息票率为8%，…，最后一个十年的息票率为1%。如果年收益率为5%时，求该债券的购买价格。6.6一种在年末分红的股票，当年的利润为J，利润在今后的每一年内都会以10%的速度增长，在接下来的五年内没有分红，五年后将每年利润的50%分红，如果实际收益率为21%，请计算投资者的理论购买价格。166.7一家公司利润的季度增长率为2%，每季度该公司打算拿出利润的30%作为股票的分红。在某个季度初，一个投资者购买了此公司的股票以获得10%的年收益率（每半年复利一次）。该股票的第一次分红是在该季度末，分红金额为3.00。请计算该股票的理论价格。6.8一种n年期附有8%年度息票率的债券，面值为1000。此债券在第三年末的账面值为1099.84，在第五年末的账面值为1082.27。求此债券的价格。6.9已知下述债券有相同的收益率且面值均为1000：（1）一种10年期债券，年息票率为8%，每半年支付一次息票，债券的折价为X（2）一种10年期债券，年息票率为9%，每半年支付一次息票，债券的溢价为Y（3）一种10年期债券，年息票率为10%，每半年支付一次息票，债券的溢价为2X请计算Y的值。6.10一个卖空的投资者以每股10的价钱出售500股股票。一年后，每股的价钱降到7.50，此时该投资者补进500股该股票。假设交易保证金为50%，保证金的利率为5%。该股票在每季度每股分红0.1。请计算该投资者卖空的收益率。6.11某投资者在年初购买了两种债券。债券X是14年期的债券，面值为1000，年息票率为10%，年收益率为8%。债券Y是14年期的债券，面值为F，年息票率为6%，购买价格为P，年收益率也为8%。在第六年，债券X的账面调整值等于债券Y的账面调整值（注：这里的账面调整值是指年初账面值和年末账面值之差的绝对值），请计算P的值。6.12在2002年1月1日购买了一支普通股票，它将在2011年12月31日之前每年末分红15，从2012年开始，分红每年增加K%，K<6。在年收益率为8%时的理论购买价为200.90，求K的值。6.13一项面值为1000元的债券，年息票率为8％，每半年支付一次息票，到期偿还1100元。以价格P购买此债券将产生6％的年收益率（每半年复利一次）。偿还值的现值为190，求价格P。6.14三种债券有同样到期偿还值和到期时间。第一种债券的年息票为40，以价格P出售；第二种债券的年息票为30，以价格Q出售；第三种债券的年息票为80。所有的价格计算都基于相同的收益率，并且所有的息票具有相同的支付频率。求第三种债券的价格。176.15一项10年期债券的面值为1000元，年息票率为r，每年末支付一次息票，偿还值为1100。如果以价格P出售，将产生4％的年实际收益率；如果以价格（P−81.49）出售，将产生5%的年实际收益率;；如果以价格X出售，将产生r的年实际收益率。请计算X。6.16债券的面值为10000元，年息票率为6％，每半年末支付一次息票。债券在到期前2年零4个月被出售。售价将使购买者获得4％的年名义收益率（每半年复利一次）。请确定理论方法和半理论方法计算的债券价格差异。6.17债券的期限为20年，面值为1000元，在每年末支付息票，到期偿还1050。如果以价格P出售可以产生8%的年实际收益率。第一次支付的息票为50，以后每次支付的息票比上一次增长3％。求价格P。6.18投资者购买了一个面值为1000元的10年期债券，息票率为8％，每半年末支付一次息票。如果债券在到期时按面值偿还，将产生7％的名义收益率（每半年复利一次）。如果债券在第5年末被赎回，为了保证产生相同的收益率，最小的赎回值为X。求X。第7章远期、期货和互换7.1假定X公司的股票是60元并且不派发股利，年实际利率是10%。请画出该股票多头的回收图和盈亏图。并请验证如果1年后的股票价格是66元，则盈亏为零。7.2应用7.1题的信息，画出该股票空头的回收图和盈亏图。请验证当一年后的价格是66元时，盈亏为零。7.3假定A公司的股票今天是105元，并且预期每季度派发股利1.70元，第一次是在3个月以后，最后一次恰在交割股票前。无风险连续复利利率是1.5%。如果要求现在支付远期合约的价格，请计算该股票一年期的远期价格（即预付远期的价格）是多少？7.4如果股票的价格是105元，每日复利一次的年名义收益率是2%，日股利是多少？如果我们在年初持有一单位股票，假设股利收益全部再投资于该股票，年末将会持有多少单位的股票？如果想在年末持有一单位股票，那么在年初我们应该投资多少？7.5股票的价格是70元，连续复利率是6%。（1）如果股利为零，6个月期的远期价格是多少？（2）如果1年期的远期价格是72元，年度的连续股利18收益率是多少？7.6X公司股票的现货价格是105元，无风险连续复利利率是6%，该股票在未来一年没有分红。针对下列两种情况，你将如何进行套利？（1）假定你观察到6个月的远期价格是115元。（2）假定你观察到6个月的远期价格是107元。7.7如果1年期和2年期的远期石油价格分别为23美元/桶和24美元/桶，且1年期和2年期的即期利率分别是5%和5.5%。则2年期的互换价格是多少？7.8如果1年期、2年期和3年期的石油远期价格分别是每桶22美元、23美元和24美元。即期利率分别为：1年期5%，2年期5.5%，3年期6%。请计算：（1）3年期的互换价格是多少？（2）开始于一年后的一个2年期的互换价格是多少？7.9考虑7.8中3年期的石油互换。如果一个交易商支付固定价格并收到浮动价格。在这个仓位中，什么样的石油远期合约将对石油价格风险套保？请验证锁定的净现金流的现值为零。7.10在7.9题中，如果作为固定价格的支付者，在第一次互换结算后相对于远期价格多支付了多少？第二次互换结算后累积多支付了多少？第三次后呢？第8章期权8.1假定一份1年期的远期合约，价格是60元。1年后当股票价格分别是50元、55元、60元、65元和70元时的回收各是多少？（2）假定买进一份1年期的执行价格是60元的看涨期权，如果1年后标的资产具有和上面同样的价格时，该看涨期权的回收是多少？8.2（1）假定在远期价格是60元时做空一份远期，那么1年后当股票价格分别是50元、55元、60元、65元和70元时的回收各是多少？（2）假定买进一份1年期的执行价格是60元的看跌期权，如果1年后标的资产具有和上面同样的价格，该看跌期权的回收是多少？8.3假定X公司的股票不派发股利且现在的价格是60元。1年后交割的远期价格是63元。如果买进股票或远期合约都没有什么好处，那么1年期的实19际利率是多少？8.4假定股票的当前价格是105元，年实际利率为6%。请计算并画出以下期权的回收图和盈亏图：(1)期权费为8.57元，执行价格为100元的看涨期权。(2)期权费为5.67元，执行价格为105元的看涨期权。(3)期权费为3.53元，执行价格为110元的看涨期权。8.5假定股票的当前价格是105元，年实际利率为6%。请计算并画出以下期权的回收图和盈亏图：(1)期权费为0.98元，执行价格为100元的看跌期权。(2)期权费为2.71元，执行价格为105元的看跌期权。(3)期权费为5.20元，执行价格为110元的看跌期权。8.6以100元买进A公司股票，同时买进一个执行价格为105元的1年期的看跌期权，看跌期权的期权费为7.20元，实际年利率是5%。试计算此仓位的回收和盈亏。8.7以105元做空A公司的股票，并卖出一个执行价格为105元的1年期的看跌期权，该期权的期权费为7.20元，实际年利率是5%。试计算此仓位回收和盈亏。8.8年实际利率是5%，A公司股票的1年期的远期价格是105元，1年后到期的股票的期权费如下表：执行价格看涨期权看跌期权9510.450.931008.113.351057.207.201105.129.881153.6013.12假定以100元买进A公司的股票，并买进一个执行价格为95元的看跌期权，构造这个仓位的回收表和盈亏表。请验证：用90.48元购买零息债券，并买进一个执行价格为95元的看涨期权，可以得到与前述仓位相同的回收和盈亏。8.9应用8.8题的有关数据。假定以100元做空A公司的股票，并买进一个执行价格为95元的看涨期权，请构造这个仓位的回收和盈亏表。请验证：借入90.48元，并买进一个执行价格为95元的看跌期权，可以得到与前述仓位相同的回收和盈亏。208.10应用8.8题的有关数据。假定以100元做空A公司的股票，并买进一个执行价格为105元的看涨期权，请构造这个仓位的回收表和盈亏表。请验证：借入100元，并买进一个执行价格为105元的看跌期权，可以得到与前述仓位相同的回收和盈亏。8.11应用8.8题的有关数据。请验证下面两笔交易具有相同的盈亏和回收：（1）以100元买进A股票；（2）买进一个执行价格为95元的A股票的看涨期权，卖出一个执行价格为95元的看跌期权，并贷出90.48元。8.12应用8.8题的有关数据。请验证下面两笔交易具有相同的盈亏和回收：（1）以100元做空A股票；（2）卖出一个执行价格为105元的A股票的看涨期权，买进一个执行价格为105元的看跌期权，并借入100元。8.13应用8.8题的有关数据。假定1年期的看涨期权的期权费是9.31元，在相同执行价格上的看跌期权的期权费是1.69元，试求这个执行价格是多少？8.14应用8.8题的有关数据。买进一个执行价格为95元的股票看涨期权，并卖出一个执行价格为100元的股票看涨期权，请构造该投资策略的回收图和盈亏图。请验证：买进一个执行价格为95元的股票看跌期权和卖出一个执行价格为100元的看跌期权可以得到相同的盈亏。看涨期权和看跌期权的差价组合的回收之差是如何产生的？8.15应用8.8题的有关数据。买进一个执行价格为105元的股票看涨期权，并卖出一个执行价格为95元的股票看涨期权，请构造该投资策略的回收图和盈亏图。请验证：买进一个执行价格为105元的股票看跌期权和卖出一个执行价格为95元的看跌期权可以得到相同的盈亏。这些仓位的初始成本之差是多少？8.16应用8.8题的有关数据。假定买进一个执行价格为95元的看跌期权和卖出一个执行价格为105元的看涨期权。画出这个仓位的盈亏图。净期权费是多少？如果要在保持看跌期权的执行价格为95元时构造一个零成本的衣领，应该如何改变看涨期权的执行价格？8.17应用8.8题的有关数据。如果投资100元在A股票上，买进一个执行价格为95元的看跌期权并卖出一个执行价格为115元的看涨期权。画出这个仓位的盈亏图。如何变化可以实现一个零成本衣领？8.18应用8.8题的有关数据。计算并画出下列仓位的盈亏图：（1）执行价格为105元的A股票跨式；（2）签出执行价格为95元的A股票跨式；（3）同时执行（1）和（2）交易。218.19应用8.8题的有关数据。买进一个执行价格为95元的看涨期权和卖出一个执行价格为100元的看涨期权，卖出一个执行价格为95元的看跌期权和买进一个执行价格为100元的看跌期权。（1）验证这一系列交易不存在A股的价格风险；（2）这个仓位的初始交易成本是多少？（3）1年后该仓位的价值是多少？8.20应用8.8题的有关数据。计算下列比率差价组合的盈亏：（1）买进一个执行价格为95元的看涨期权，卖出两个执行价格为105元的看涨期权。（2）买进两个执行价格为95元的看涨期权，卖出三个执行价格为105元的看涨期权。（3）买进n个执行价格为95元的看涨期权和卖出m个执行价格为105元的看涨期权，使得该仓位的期权费为零，这时n/m满足什么条件？8.21应用8.8题的有关数据。计算并分别画出下列交易的盈亏图：（1）买进一个95元的看涨期权，卖出两个100元的看涨期权，买进105元的看涨期权。（2）买进一个95元的看跌期权，卖出两个100元的看跌期权，买进105元的看跌期权。（3）买进股票，买进95元的看跌期权，卖出两个100元的看涨期权，买进105元的看涨期权，其中股票的价格是90.47元。从盈亏图中可以看出上述交易组合是哪种衍生产品？8.22假设股票没有红利支付，股票的现价为50元，该股票欧式看跌期权的执行价格为50元，有效期为3个月，无风险年收益率为10％，年波动率为30％。请计算该股票欧式看跌期权的价格。8.23在8.24题中，如果股票在两个月后预期支付的红利为1.5元，请重新计算该股票欧式看跌期权的价格。8.24一个无红利股票的欧式看跌期权，有效期为3个月，目前的股票价格和执行价格均为50美元，无风险年利率为10％，波动率为每年30％，请按时间间隔为一个月来构造二叉树模型，为期权定价。8.25一个两个月期基于某股票指数的欧式看涨期权，执行价格为500，目前的指数为495，无风险年利率为10％，指数红利率为每年4％，波动率为每年25％。构造一个四步（每步为半个月）的二叉树树图，为期权定价。22第9章利率风险9.1假设n年期债券的年名义息票率等于年名义收益率，均为y()m，请证明该债券的马考勒久期为()m。MacD=an9.2某15年期的零息债券到期支付1000，该债券每月复利一次的年名义收益率为12%。试计算该债券的修正久期。9.3假设年实际收益率为10%，试计算5年期零息债券的修正久期。9.4已知年息票率为5％的10年期债券的年实际收益率为6％，试计算该债券的修正久期。9.5已知年息票率为6%的四年期债券的实际收益率为3%，试计算该债券的修正久期。9.6某20年期的零息债券到期支付1000，该债券的年名义收益率为12%，每年复利2次。试计算该债券的修正久期。9.7某2年期债券年息票率为10%，每半年付息一次，债券到期后按面值偿还。该债券的年名义收益率为12%，每年复利2次，试计算该债券的修正久期。9.8某30年期债券年息票率为8%，每半年付息一次，债券到期后按面值偿还。该债券的年名义收益率为8%，每年复利2次。试计算该债券的修正久期。9.9已知当收益率为8%时，某20年期债券的价格为125.31。当收益率下降为7.75%时，该债券的价格将上升至127.64。当收益率上升至8.25%时，该债券的价格将降为122.95。试计算该债券的有效久期。9.10已知某10年期债券的价格为75.98，年息票率为6%，收益率为8%，马考勒久期为8.517。试计算当收益率下降为7.85%时该债券的价格。9.11某5年期债券年息票率为8.0%，每半年付息一次。已知现在的收益率为7.0%时，债券的价格为104.876。当收益率上升50个基点时，该债券的价格将下降为100.214.。当收益率下降50个基点时，该债券的价格将上升为109.573。试计算该债券的有效久期和有效凸度。239.12利用习题9.11计算得到的有效久期和有效凸度，试估计当收益率上升100个基点时债券的新价格。9.13一项永续年金在每年年末支付1，年实际收益率为6%，试计算该永续年金的价格、修正久期和凸度。9.14某10年期债券的修正久期为8.67，凸度为43.51。试估计当债券价格上升50个基点时，债券价格变化的百分比。9.15某保险公司已确认在10年末将有一笔15000元的债务支出，为了偿还这笔负债，该公司计划将3473.95元投资于5年期的零息债券，将3473.95元投资于15年期的零息债券。所有债券和负债的年实际收益率均为8%。请问该公司的投资策略是否能达到免疫的目的。9.16某保险公司已确认在5年末将有一笔20000的债务支出，为了偿还这笔负债，该公司可供选择的投资 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只有购买4年期零息债券和10年期零息债券。所有债券和负债的年实际收益率均为10%。为了达到免疫的目的，该公司应如何分配在这两种债券上的投资？9.17公司未来负债的现金流如下表所示：年度12345负债的现金流179467441443144824可供该公司投资的资产如下：（1）年息票率为5％的1年期债券；（2）年息票率为10％的2年期债券；（3）年息票率为4％的4年期债券；（4）年息票率为3％的5年期债券；每种债券的面值均为100元，年实际收益率为5％。如果该公司打算通过现金流匹配策略管理利率风险，请计算应该如何购买这三种债券？24第10章利率的期限结构10.1假设各债券的面值均为100元，收益率与息票率如下表所示，请计算各债券的价格。到期日年息票率实际年收益率111.00%8.00%25.00%9.00%315.00%10.00%10.2给定以下各年的即期利率。请计算年息票率为10%，面值为100元的3年期债券的价格。时间实际年即期利率15.000%26.000%38.000%10.3根据题10.1的收益率曲线，计算1年、2年和3年期的年即期利率。10.4根据题10.3计算的即期利率，请计算可应用于第1、2、3年的远期利率f0、f1、f2。10.5假设5年期的即期利率为r5=8%，请根据下表的收益率曲线，计算每年支付40元的5年期期初付年金的现值。到期日年息票率年实际收益率15.000%4%27.000%5%38.000%5.5%46.000%6%510.000%7%10.6给定以下远期利率表。求年息票率为10%，面值为100元的3年期债券的价格。tft07%2515%210%10.7由下表所示的平价收益率曲线，计算可应用于第1、2、3年的远期利率f012,,ff。到期日年息票率实际的年收益率14.000%5.000%26.000%7.000%38.000%9.000%10.8根据下表给定的远期利率，请计算1年、2年和3年期的即期利率。tft06.000%15.000%210.000%10.9下表是3个支付年息票债券的收益率，年息票率未知。请计算1年期、2年期和3年期的即期利率。到期日年息票率实际年收益率1x20%2y20%3z20%10.10利用题10.9的信息，计算可应用于第1，2，3年的远期利率f0、f1、f2。10.11支付年息票债券的价格如下表所示，请计算年息票率为15%，面值为100元的3年期债券的价格。到期日年息票率100元面值债券的价格110.000%10625.000%9539.000%10210.12假设5个零息票债券的价格如下表所示，请确定适用于3到4年的实际年远期利率f3的值。26到期日每100元面值债券的价格19629138247556510.13假设1年期的即期利率为5%。适用于1到2年的远期利率f1为7%。支付年息票的3年期的平价债券的实际年收益率为8%。求3年期的即期利率。10.14年息票率为6%的2年期债券的实际年收益率为10%，其面值为100元。1年期的即期利率为7.0%，2年期的即期利率为9.0%。请确定一个投资策略，使得通过买入或卖出1个该2年期债券获得无风险的套利收益。10.15年息票率为12%的1年期债券的实际年收益率为12%。年息票率为10%的2年期债券的实际年收益率为15%。各债券的面值均为100元。（1）请计算2年期的即期利率r2。（2）某投资者希望按（1）中计算的即期利率r2投资1000元，投资期限为两年。假设投资者无法找到愿意接受该笔投资的机构，请问如何通过买入或卖出上述1年期和2年期的债券实现投资者的目标收益。10.16假设题10.15中的投资者找到了愿意接受1000元两年期投资的机构，且该机构愿意为这项两年期投资支付20%的利率。由题10.15计算的2年期即期利率，投资者意识到存在套利机会。投资者找不到一个机构愿意按题10.15计算的2年期即期利率提供贷款，但可以买入或卖出前述的1年期和2年期债券。请确定一个投资策略，使得投资者可以获得35元的套利收益。27