上海复旦附中2020年自招真题数学试卷(含答案)

2020年复旦附中自招 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 1.已知a、b、c是一个三角形的三边，则a4b4c42a2b22b2c22c2a2的值是（）A.恒正B.恒负C.可正可负D.非负解：选Ba4b4c42a2b22b2c22c2a2(a2b2c2)24b2c2(a2b2c22bc)(a2b2c22bc)[a2(bc)2][a2(bc)2](abc)(abc)(abc)(abc)∵a、b、c是一个三角形的三边，∴abc0，abc0，abc0，abc0，∴(abc)(abc)(abc)(abc)02.设m，n是正整数，满足mnmn，给出以下四个结论：①m，n都不等于1；②m，n都不等于2；③m，n都大于1；④m，n至少有一个等于1，其中正确的结论是（）A.①B.②C.③D.④解：选D由mnmn得m1n11若m，n均大于1，则m11,n11,m1n11，矛盾，∴m，n至少有一个等于1。3.已知关于x的方程2xaxa有一个根为1，则实数a的值为（）151515A.B.C.D.以上答案都不正确222解：选A将x1代入，得a2a1，15两边平方，得a2a10，a，215当a时，x1不是原方程的根，舍215∴a24.已知a，b，c是不完全相等的任意实数，若xa2bc，yab2c，z2abc，则关于x，y，z的值，下列说法正确的是（）A.都大于0B.至少有一个大于0C.都小于0D.至多有一个大于0解：选Bxyz0，若x，y，z均小于0，则xyz0，矛盾；故至少有一个大于0。5.已知a，b，c不全为无理数，则关于三个数ab，bc，ca，下列说法错误的是（）A.可能均为有理数B.可能均为无理数C.可能恰有一个为有理数D.可能恰有两个为有理数解：选D若a,b,c均为有理数，A正确；若a2，b3，c0，B正确；若a2，b2，c0，C正确;(xy)(x2y)06.关于x，y的方程组的实数解有（）(xy2)2(2xy1)20A.1组B.2组C.3组D.4组解：选A由①得xy0或x2y0，由②得xy20且2xy10，x1∴只有一组解。y17.为了得到 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 y3x2的图像，可以将函数y3x26x1的图像（）A.先关于x轴对称，再向右平移1个单位，最后向上平移4个单位B.先关于x轴对称，再向右平移1个单位，最后向下平移4个单位C.先关于y轴对称，再向右平移1个单位，最后向上平移4个单位D.先关于y轴对称，再向右平移1个单位，最后向下平移4个单位解：选A由于两个函数二次项系数为相反数，故先关于x轴对称，得到y3x26x1，即y3x124，再向右平移1个单位，最后向上平移4个单位，得到y3x2。ababab8.若关于x的方程x2ba有四个实数解，则化简的结果是（）abababA.2B.0C.2D.4ybo2x解：选C画出yx2b和ya的函数图像，∵有四个交点，∴0ab，ababab∴11112ababab 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 二：∵x2ba，∴x2ba或x2ba，∴x2ab或x2ba，∵原方程有四个实数解，∴a0，ab0，ba0，∴b0，∴原式111129.如果方程(x1)(x22xm)0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是（）333A.0m1B.mC.m1D.m1444解：选C设x22xm0的两根为x，x，12xx112则xx11203解得m1。410.用同样大小的一种正多边形平铺整个平面（没有重叠），有几种正多边形可以铺满整个平面而不留缝隙？（）A.2种B.3种C.4种D.5种解：选B关键是看正多边形的内角和，如果围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角之和恰是一个周角，则可以铺满整个平面而不留缝隙，只有正三角形、正四边形和正六边形可以。11.已知对于满足：ab3，bc4的实数a,b,c，均有2abck恒成立，则实数k的最小值为（）A.7B.8C.9D.10解：选Dacabbcabbc72abcabac10，所以k最小是1012.设f(x)x4x3x2x1，则关于f(x)的性质，正确的一项为（）A.对任意实数x，f(x)总是大于0B.对任意实数x，f(x)总是小于0C.当x0时，f(x)0D.以上均不对解：选Af(x)x4x3x2x1(x1)2(x2x1)x2恒大于013.已知实数a,b,c满足ab0，且abc0，抛物线yax2bxc0在x轴上截得线段长度为l，则l的取值范围为（）A.0l1B.0l2C.2l3D.3l4解：选Cb24acxx(xx)24xx121212a2∵a0，b(ac)b24acb24acacc∴1a2aaa∵c(ab)cb∴12，∴2xx3aa12x14.已知实数x、y满足：xy30,2y3y60。则y2的值为（）。y13A.0B.C.1D.22解：选Dy63y3yxxy3223y2.yyyy215.已知二次函数yx22ax2.当自变量x的取值范围为1x1，y的取值既有正值又有负值。则实数a的取值范围为（）.1111A.aB.a-C.a或a-D.以上答案都不正确2222解：选D显然，二次函数与x轴有两个交点，令交点横坐标为xx，xx。由韦达定理得xx21,21212若1xx1，则xx1与xx2矛盾，121212∴f(1)f(1)0，∴(12a2)(12a2）0，11∴a或a221经检验当a时，不符合题意。216.已知a、b、c是互不相等的实数，三个方程①x2axb0；②x2bxc0；③x2cxa0，①②有公共根p，②③有公共根q，③①有公共根r，则abc（）.A.1B.3C.1D.2cbpabprbac解：将pqr带入三个方程得q，又由韦达定理得pqcbcqraabrac∴abc(pqr)21，选A17.甲、乙、丙、丁四个人参加一个比赛，有两个人获奖。在比赛结果揭晓之前，四个人做了如下猜测甲：两名获奖者在乙、丙、丁中.乙：我没有获奖，丙获奖了.丙：甲、乙两个人中有且只有一个人获奖.丁：乙说得对.已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，则两名获奖者为（）.A.甲丁B.乙丙C.乙丁D.以上都不正确解：选D显然乙、丁同对错①当甲丙对，乙丁错时，乙丙或乙丁获奖②当甲丙错，乙丁对时，无符合情况18.如图梯形ABCD中，AB∥CD,对角线AC与BD交于点K,点L为BD的中点。已知△AKB、△ALD的面积分别为18、21，则△ALC的面积为（）.AB18K21LDCA.7B.9C.11D.13解：由L为BD中点可得SS21，∴S3△ALB△ALD△ALK∴S24,由蝴蝶定理得SS24△ABl△KAD△KBCSAKS183∴△ALK△ABK，∴S4SKCS244△CLK△CLK△CBK∴S7，选A△ALC19.甲用1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给已，获利10%，而后乙又将这手股票反卖给甲，但乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖给了乙，甲在上述股票交易中（）A.甲刚好盈亏平衡B.甲盈利1元C.甲盈利9元D.甲亏本1.1元解：选B甲第一次卖给乙赚了100010%100元，乙用1100元买入股票，乙卖给甲乙亏了110010%110元，甲用990元买入股票，甲第二次卖给乙亏了99010%99元，故甲总共盈利100991元。20.对于三个一元二次方程：x2abxbc0、x2bcca0、x2caab0（其中a,b,c为实数），下列说法错误的是（）A.存在实数a,b,c，使得恰有一个方程没有实数根B.存在实数a,b,c，使得恰有两个方程没有实数根C.存在实数a,b,c，使得三个方程都没有实数根D.存在实数a,b,c，使得三个方程都有实数根解：选C设三个方程判别式为,,，123则ab24ab，bc24ca，ca24ab，123ab2bc2ca20123故三个方程中至少有一个方程有实根。21.已知在直角三角形ABC中，C90，ABC60，点E直角边AC上，且EBC20，延长BE到点D使得ED2AB，连AD，CD，则下列结论正确的是（）A.AD3ABB.AD∥BCC.CD2ACD.AE2ECBAECFD解：选B作EAF70交DE于点F。∵AEFBACABE70EAF，∴AEEF，AFE180EAFAEF40ABE，∴ABAF，∵2ABDE，∴AFEFCF∴DAE90∴AD∥BC22.已知线段AB，如何用尺规作出线段AB的一个黄金分割点P，下面给出了几种方法，其中正确的是（）A.过点B作BCAB，使得BCAB，连AC，在AC上截取CDCB，在AB截取APAD，点P为线段AB的一个黄金分割点1B.过点B作BCAB，使得BCAB，连AC，在AC上截取CDCB，在AB截取2APAD，点P为线段AB的一个黄金分割点1C.过点B作BCAB，使得BCAB，连AC，在AC上截取CDCB，在AB截取3APAD，点P为线段AB的一个黄金分割点1D.过点B作BCAB，使得BCAB，连AC，在AC上截取CDCB，在AB截取4APAD，点P为线段AB的一个黄金分割点解：选BCDAPB设AB2a,BCa，则CDBCa，AC5a，ADACCD51aAPAD51a，AP51a51AB2a2即点P为线段AB的一个黄金分割点。