文科高考数学复习资料第一章集合一定义集合是高中数学中最原始的不定义的概念，只给出描述性的说明。某些确定的且不同的对象集在一起就成为集合。组成集合的对象叫做元素。二集合的抽象
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示形式用大写字母A，B，C……表示集合；用小写字母a，b，c……表示元素。三元素与集合的关系有属于，不属于关系两种。元素a属于集合A，记作；元素a不属于集合A，记作。四几种集合的命名有限集：含有有限个元素的集合；无限集：含有无限个元素的集合；空集：不包含任何元素的集合叫做空集，用表示；自然数集：N；正整数集：N*或N+；整数集：Z；有理数集：Q；实数集：R。五集合的表示
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(一)列举法：把元素一一列举在大括号内的表示方法，例如：{a,b,c}。注意：凡是以列举法形式出现的集合，往往考察元素的互异性。(二)描述法：有以下两种描述方式1．代号描述：【例】方程的所有解组成的集合，可表示为{x|x2-3x+2=0}。x是集合中元素的代号，竖线也可以写成冒号或者分号，竖线后面的式子的作用是描述集合中的元素符合的条件。2．文字描述：将说明元素性质的一句话写在大括号内。【例】{大于2小于5的整数}；描述法表示的集合一旦出现，首先需要
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元素的意义，也就说要判断元素到底是什么。(三)韦恩图法：用图形表示集合定义了两个集合之间的所有关系。1．子集：如果属于A的所有元素都属于B，那么A就叫做B的子集，记作：，如图1-1所示。图1-1子集有两种极限情况：(1)当A成为空集时，A仍为B的子集；(2)当A和B相等时，A仍为B的子集。真子集：如果所有属于A的元素都属于B，而且Ｂ中至少有一个元素不属于A，那么A叫做B的真子集，记作或。真子集也是子集，和子集的区别之处在于。对于同一个集合，其真子集的个数比子集少一个。(1)求子集或真子集的个数，由n各元素组成的集合，有2n个子集，有2n-1个真子集；(2)空集的考查：凡是提到一个集合是另一个集合的子集，作为子集的集合首先可以是空集，的等价形式主要有：。2．交集：由两个集合的公共元素组成的集合，叫做这两个集合的交集，记作，读作A交B，如图1-2所示。图1-2图1-3图1-43．并集：由两个集合所有元素组成的集合，叫做这两个集合的并集，记作，读作A并B，如图1-3所示。4．补集：由所有不属于Ａ的元素组成的集合，叫做Ａ在全集Ｕ中的补集，记作，读作A补，如图1-4所示。德摩根公式：.(四)区间表示法：数轴上的一段数组成的集合可以用区间表示，区间分为开区间和闭区间，开区间用小括号表示，是大于或小于的意思；闭区间用中括号表示，是大于等于或小于等于的意思；【例】(2，3)，[2,3]，(2,3]，[2，3]．．．第二章函数一映射与函数的基本概念(一)映射A集合中的每个元素按照某种对应法则在B集合中都能找到唯一的元素和它对应，这种对应关系叫做从A集合到B集合的映射。A中的元素叫做原象，B中的相应元素叫做象。在A到B的映射中，从A中元素到B中元素的对应，可以多对一，不可以一对多。图2-1是映射图2-2是一一映射图2-3不是映射(Ⅰ)求映射(或一一映射)的个数，m个元素的集合到n个元素的集合的映射的个数是nm。(Ⅱ)判断是映射或不是映射：可以多对一，不可以一对多。(二)函数的概念定义域到值域的映射叫做函数。如图2-4。高中阶段，函数用f(x)来表示：即x按照对应法则f对应的函数值为f(x)．函数有解析式和图像两种具体的表示形式。偶尔也用表格表示函数。函数三要素：定义域A：x取值范围组成的集合。值域B：y取值范围组成的集合。对应法则f：y与x的对应关系。有解析式和图像和映射三种表示形式函数与普通映射的区别在于：(1)两个集合必须是数集；(2)不能有剩余的象，即每个函数值y都能找到相应的自变量x与其对应。图2-4二定义域题型(一)具体函数：即有明确解析式的函数，定义域的考查有两种形式直接考查：主要考解不等式。利用：在中；在中，；在中，；在中，；在中，；在与中且，列不等式求解。(二)抽象函数：只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同。三值域题型(一)常规函数求值域：画图像，定区间，截段。常规函数有：一次函数，二次函数，反比例函数，指数对数函数，三角函数，对号函数。(二)非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域。解题步骤：(1)换元变形；(2)求变形完的常规函数的自变量取值范围；(3)画图像，定区间，截段。(三)分式函数求值域：四种题型(1)：则且。(2)：利用反表示法求值域。先反表示，再利用x的范围解不等式求y的范围。(3)：，则且。(4)求的值域，当时，用判别式法求值域。，值域(四)不可变形的杂函数求值域：利用函数的单调性画出函数趋势图像，定区间，截段。判断单调性的方法：选择填空题首选复合函数法，其次求导数；大题首选求导数，其次用定义。详情见单调性部分知识讲解。(五)原函数反函数对应求值域：原函数的定义域等于反函数值域，原函数值域等于反函数定义域。(六)已知值域求系数：利用求值域的前五种方法写求值域的过程，将求出的以字母形式表示的值域与已知值域对照求字母取值或范围。四函数运算法则（一）指数运算法则①②③④运用指数运算法则，一般从右往左变形。（二）对数运算法则同底公式：①②③④运用对数运算法则，同底的情况，一般从右往左变形。不同底公式：①②③运用对数运算法则，不同底的情况，先变成同底。五函数解析式(一)换元法：如f(2x+3)=x2+3x+5，求f(3-7x)，(设2x+3=3-7t)。(二)构造法：如，求f(x)。(三)待定系数法：通过图像求出y=Asin(ωx+)+C中系数(四)递推：需利用奇偶性、对称性、周期性的定义式或运算式递推。(五)求原函数的反函数：先反表示，再x、y互换。六常规函数的图像常规函数图像主要有：指数函数：逆时针旋转，对数函数：逆时针旋转，底数越来越大底数越来越小幂函数：逆时针旋转，指数越来越大。其他象限图象看函数奇偶性确定。七函数的单调性(一)定义：在给定区间范围内，如果x越大y越大，那么原函数为增函数；如果x越大y越小，那么原函数为减函数。(二)单调性题型：1.求单调性区间：先找到最基本函数单元的单调区间，用复合函数法判断函数在这个区间的单调性，从而确定单调区间。复合函数法：：当0
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形式，直接读出周期2.利用周期性：利用公式f(x)=f(T+x)(1).求解析式(2).求函数值十函数图像的对称性(一)一个图关于点对称：(Ⅰ)奇函数关于原点对称(Ⅱ)若f(a+x)+f(b-x)=2m，则f(x)关于(，m)对称(二)一个图关于直线对称：(Ⅰ)偶函数关于轴对称(Ⅱ)，则关于对称(三)两个图关于点对称(Ⅰ)关于原点对称的函数：x→-x，y→-y，即-y=f(-x)(Ⅱ)关于对称的函数：即(四)两个图关于线对称(Ⅰ)原函数与反函数：关于y=x对称(Ⅱ)y=f(x)关于y=x+c对称的函数:x→y-c，y→x+c，即x+c=f(y-c)(Ⅲ)y=f(x)关于y=-x+c对称的函数:x→-y+c,y→-x+c，即-x+c=f(-y+c)(Ⅳ)f(x)与f(-x)关于y轴对f(a+x)与f(b-x)关于对称(Ⅴ)f(x)与-f(x)关于x轴对称十一原函数与反函数反函数反映了两个函数之间的关系有两方面考点：求反函数，利用原函数与反函数关系解题。（一）求反函数：先反表示，再互换；或先互换再反表示。一个函数有反函数的前提条件是在整个定义域内具有严格的单调性。（二）利用原函数反函数的关系解题：已知原函数或反函数情况求反函数或原函数情况时，往往不用求反函数可依据以下结论解题。1．定义域、值域：原函数自变量等价于反函数函数值，原函数函数值等价于反函数自变量；原函数定义域等价于反函数值域，原函数值域等价于反函数定义域。2．单调性：原函数与反函数具有相同的单调性3．奇偶性：奇函数反函数是奇函数，偶函数没有反函数。4．对称性：原函数与反函数图像关于对称，原函数与反函数交点一定在上。第三章数列第一部分等差数列一定义式：二通项公式：一个数列是等差数列的等价条件：(a，b为常数)，即是关于n的一次函数，因为，所以关于n的图像是一次函数图像的分点表示形式。三前n项和公式：…………①…………②……③按照序号顺序，使用公式。即首选①公式解题，再选②、③一个数列是等差数列的另一个充要条件：(a，b为常数，a≠0)，即是关于n的二次函数，因为，所以关于n的图像是二次函数图像的分点表示形式。四性质结论(一)3或4个数成等差数列求数值时应按对称性原则设置，如：3个数a-d,a,a+d；4个数a-3d,a-d,a+d,a+3d(二)与的等差中项；在等差数列中，若，则；若，则；(三)若等差数列的项数为2，则；若等差数列的项数为，则，且，(四)凡按一定规律和次序选出的一组一组的和仍然成等差数列。设，，，则有；(五),,则前(m+n为偶数)或(m+n为奇数)最大第二部分等比数列一定义：成等比数列。二通项公式：，数列{an}是等比数列的一个等价条件是：当且时，关于n的图像是指数函数图像的分点表示形式。三前n项和：；(注意对公比的讨论)四性质结论：(一)与的等比中项(同号)；(二)在等比数列中，若，则；若，则；(三)设，，，则有第三部分求杂数列通项公式一构造等比数列：凡是出现关于后项和前项的一次递推式都可以构造等比数列求通项公式。第一类：是公比为的等比数列，从而求出。第二类：是公比为3的等比数列.第三类：，系数之比为1的时候用叠加法。第四类：既有又有利用，将所有S换成a，或者将所有a换成S。第五类：关于与的二次式，或者与的二次式，先因式分解成一次式，再构造等比数列。二构造等差数列：递推式不能构造等比时，构造等差数列。第一类：凡是出现分式递推式都可以构造等差数列来求通项公式，例如：，两边取倒数是公差为2的等差数列，从而求出。第二类：是公差为1的等差数列三递推：即按照后项和前项的对应规律，再往前项推写对应式。例如【注:】求通项公式的题，不能够利用构造等比或者构造等差求的时候，一般通过递推来求。第四部分求前n项和一裂项分组法：、二错位相减法：凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法，求：①②①减②得：从而求出。错位相减法的步骤：(1)将要求和的杂数列前后各写出三项，列出①式(2)将①式左右两边都乘以公比q，得到②式(3)用①②，错位相减(4)化简计算三倒序相加法：前两种方法不行时考虑倒序相加法1：等差数列求和：两式相加可得：2：设.利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得的值为_________.①②①+②得,∴第四章三角函数一任意角的概念与弧度制（一）角的概念的推广1、角概念的推广：在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向，旋转多少度角就是多少度角。按不同方向旋转的角可分为正角和负角，其中逆时针方向旋转的角叫做正角，顺时针方向的叫做负角；当射线没有旋转时，我们把它叫做零角。习惯上将平面直角坐标系x轴正半轴作为角的起始边，叫做角的始边。射线旋转停止时对应的边叫角的终边。2、特殊命名的角的定义：(1)正角，负角，零角：见上文。(2)象限角：角的终边落在象限内的角,根据角终边所在的象限把象限角分为：第一象限角、第二象限角等(3)轴线角：角的终边落在坐标轴上的角终边在x轴上的角的集合：终边在y轴上的角的集合：终边在坐标轴上的角的集合：(4)终边相同的角：与终边相同的角(5)与终边反向的角：终边在y=x轴上的角的集合：终边在轴上的角的集合：(6)若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：(7)成特殊关系的两角若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：若角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：注：(1)角的集合表示形式不唯一.(2)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同.3、本节主要题型：1.表示终边位于指定区间的角.1:写出在到之间与的终边相同的角.2:若是第二象限的角,则是第几象限的角?写出它们的一般表达形式.3:①写出终边在轴上的集合.②写出终边和函数的图像重合,试写出角的集合.③在第二象限角,试确定所在的象限.④角终边与角终边相同,求在内与终边相同的角.（二）弧度制1、弧度制的定义：2、角度与弧度的换算公式：360°=2180°=1°=0.017451=57.30°=57°18′注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.一个式子中不能角度,弧度混用.3、题型（1）角度与弧度的互化例:（2），的应用问题1:已知扇形周长,面积,求中心角.2:已知扇形弧度数为,半径等于,求扇形的面积.3:已知扇形周长,半径和圆心角取多大时,面积最大.4:a.求出弧度,象限.b.用角度表示出,并在之间找出，他们有相同终边的所有角.二任意角三角函数（一）三角函数的定义1、任意角的三角函数定义2、三角函数的定义域：三角函数定义域sinxcosxtanxcotxsecxcscx（二）单位圆与三角函数线1、单位圆的三角函数线定义如图(1)PM表示角的正弦值，叫做正弦线。OM表示角的余弦值，叫做余弦线。如图(2)AT表示角的正切值，叫做正切线。表示角的余切值，叫做余切线。注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负（三）同角三角函数的基本关系式同角三角函数关系式(1)，，(2)商数关系：(3)平方关系：，，（四）诱导公式三三角函数的图像与性质（一）基本图像：1．正弦函数2．余弦函数3．正切函数4.余切函数（二）、函数图像的性质正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：定义域RR值域RR周期奇偶奇函数偶函数奇函数奇函数单调上为增函数上为减函数()上为增函数上为减函数()上为增函数()上为减函数()对称对称轴为，对称中心为，对称轴为，对称中心为无对称轴，对称中心为无对称轴，对称中心为（三）、常见结论：1.与的周期是.2.或()的周期.3.的周期为2.4.的对称轴方程是()，对称中心()；的对称轴方程是()，对称中心()；的对称中心().5.当·；·6.函数在上为增函数.(×)[只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域，为增函数，同样也是错误的.7.奇函数特有性质：若的定义域，则一定有.(的定义域，则无此性质)8.不是周期函数；为周期函数()；是周期函数(如图)；为周期函数()；的周期为(如图)，并非所有周期函数都有最小正周期，例如：四和角公式两角和与差的公式五倍角公式和半角公式（一）倍角与半角公式：（二）万能公式：六三角函数的积化和差与和差化积公式,,,第五章平面向量一向量的概念向量的常识性概念1．向量：既有大小又有方向的量2．向量的表示：图形表示，箭头的方向表示向量的方向，线段的长短表示向量的大小；字母表示，向量可以写成,(手写版)或(印刷版)3．零向量：大小为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。4．向量共线或平行：两个向量方向相同或相反时，都可以称作两个向量共线或平行。与平行或共线的等价条件是：图9-1二向量的加减法运算（一）几何运算：五大运算工具，凡是加减法几何运算，先从加法角度来理解，再利用加法交换律算减法1.平行四边形法则(如图9-1)：两个向量的和等于以这两个向量的临边的平行四边形的对角线表示的向量图9-12.三角形法则(如图9-2)：首位相连的两个向量之和等于另一个向量(与前两个不首尾相连)，图9-23.多边形法则(如图9-3)：首尾相连的若干个向量之和等于另一个向量4.中线法则(如图9-4)：三角形底边中线所表示的向量等于两临边向量之和的一半。在向量图形中提到中点，一定用中线图9-3法则解题。图中D为BC中点。图9-4(五)终边在一条直线上的多向量运算(如图9-5)：起始点相同，终点落在同一条直线上的三个向量，其中任何一个可以用其他两个乘以系数加和表示。两个系数之和一定为1。凡在同一个图中出现以下形式的三个向量，一定用此结论解题。证明过程如下：图9-5结论：（二）坐标运算：基本运算法则已知，，，表示与大小相等方向相反的向量，叫的相反向量。三向量的乘法运算（一）坐标运算：已知注：向量的加减法结果得到的是向量，向量的乘法得到是数。（二）向量的公式运算：1．乘法公式：是与的夹角，2．混合运算公式：(1)(2)(3)即多个向量相乘除不能改变运算顺序。四向量运算的应用（一）求向量的模：根据向量的乘法公式=（二）求向量的夹角：根据向量的乘法公式，凡是提到向量夹角，一律列向量乘法公式解题。（三）投影问题(如图9-6)：在上的投影就是，只有乘法运算中才能出现这种形式，凡是提到一个向量在另一个向量上的投影，一定要列这两个向量的乘法公式解决问题。图9-6（四）向量垂直：（五）向量平行：第六章不等式一不等式的证明证明不等式选择方法的程序：①做差：证明不等式首选不等式，做差的本质是因式分解，能否使用做差法取决于做差后能否因式分解；②作比：通过构造同底或同指数合并作比结果，再利用指对数图像判断大于小于1；③用公式：构造公式形式；等价变形：左右两边n次方；平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a、b为正数)：(当a=b时取等)，，④等价变形：不能直接做差、做比、用公式的先等价变形在做差、做比、用公式证明，后面的方法都是特殊的等价变形方法；⑤逆代：把数换成字母；⑥换元：均值换元或三角换元；⑦放缩：放大或缩小成一个恰好可以化简的形式；⑧反证：条件比较复杂，结论比较简洁时，把结论的相反情况当成条件反证；⑨函数求值域：共有四种方法：见函数值域部分；⑩几何意义：斜率，截距，距离；数学归纳法:适合数列不等式。二不等式的解法(一)有理不等式1．一次不等式：解一次不等式主要考察讨论系数大于零小于零等于零的三种情况。2．二次不等式：两根之内或两根之外，主要考查根与系数的关系。3．高次不等式：序轴标根法(二)绝对值不等式、无理不等式、分式不等式先变形成有理不等式，再求解。绝对值不等式：当a>0时，有.或.无理不等式：(1).(2).(3)(三)指数不等式对数不等式不等号两边同时取指数或同时取对数，变成相同的形式后，再换元成有理不等式求解。(1)当时,;.(2)当时,;三线性
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线性规划，出题现象如下：设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（)A.4B.11C.12D.14解题步骤：（1）把不等式组中的一次式看成直线，在平面直角坐标系中画直线，标明直线序号（2）依据以下结论确定平面区域：是点在直线上方（包括直线）是点在直线下方（包括直线）；是点在直线上方（不包括直线）是点在直线下方（不包括直线）（3）确定目标函数函数值的几何意义（4）eq\o\ac(○,1)若目标函数值z表示截距，在已知区域内平移目标函数直线，找出使截距取最大值和最小值的端点，求出端点坐标代入目标函数，得出z的最值。eq\o\ac(○,2)若目标函数z表示距离或者距离的平方，精确作图，在图像中直接观察距离的最大值与最小值相当于是点与点的距离还是点与直线的距离，用距离公式直接求最值。eq\o\ac(○,3)若目标函数z表示斜率，精确画图，利用求斜率取值范围结论，求最值。第七章直线和圆的方程一、直线方程.1）.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是.注：①当或时，直线垂直于轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2）.直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点，即直线在轴，轴上的截距分别为时，直线方程是：.注：若是一直线的方程，则这条直线的方程是，但若则不是这条线.附：直线系：对于直线的斜截式方程，当均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果变化时，对应的直线也会变化.①当为定植，变化时，它们表示过定点（0，）的直线束.②当为定值，变化时，它们表示一组平行直线.3）.⑴两条直线平行：∥两条直线平行的条件是：①和是两条不重合的直线.②在和的斜率都存在的前提下得到的.因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.（一般的结论是：对于两条直线，它们在轴上的纵截距是，则∥，且或的斜率均不存在，即是平行的必要不充分条件，且）推论：如果两条直线的倾斜角为则∥.⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线和的斜率分别为和，则有这里的前提是的斜率都存在.②，且的斜率不存在或，且的斜率不存在.（即是垂直的充要条件）4）.直线的交角：⑴直线到的角（方向角）；直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角，它的范围是，当时.⑵两条相交直线与的夹角：两条相交直线与的夹角，是指由与相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是，当，则有.5).过两直线的交点的直线系方程为参数，不包括在内）6）.点到直线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点，直线到的距离为，则有.注：两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：.特例：点P(x,y)到原点O的距离：定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段,其中P1(x1,y1),P2(x2,y2).则特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。直线的倾斜角（0°≤＜180°）、斜率:过两点.当（即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角＝，没有斜率⑵两条平行线间的距离公式：设两条平行直线，它们之间的距离为，则有.注；直线系方程1.与直线：Ax+By+C=0平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.(m∊R,C≠m).2.与直线：Ax+By+C=0垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.(m∊R)3.过定点（x1,y1）的直线系方程是：A(x-x1)+B(y-y1)=0(A,B不全为0)4.过直线l1、l2交点的直线系方程：（A1x+B1y+C1）+λ(A2x+B2y+C2）=0(λ∊R）注：该直线系不含l2.7).关于点对称和关于某直线对称：⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.⑵关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.⑶点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.注：①曲线、直线关于一直线（）对称的解法：y换x，x换y.例：曲线f(x,y)=0关于直线y=x–2对称曲线方程是f(y+2,x–2)=0.②曲线C:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线方程是f(a–x,2b–y)=0.二、圆的方程.1.⑴曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线上的与一个二元方程的实数建立了如下关系：①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）.⑵曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点其坐标与方程的一种关系，曲线上任一点是方程的解；反过来，满足方程的解所对应的点是曲线上的点.注：如果曲线C的方程是f(x,y)=0，那么点P0(x0,y)线C上的充要条件是f(x0,y0)=02.圆的标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是.特例：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：.注：特殊圆的方程：①与轴相切的圆方程②与轴相切的圆方程③与轴轴都相切的圆方程3.圆的一般方程：.当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径.当时，方程表示一个点.当时，方程无图形（称虚圆）.注：①圆的参数方程：（为参数）.②方程表示圆的充要条件是：且且.③圆的直径或方程：已知（用向量可征）.4.点和圆的位置关系：给定点及圆.①在圆内②在圆上③在圆外5.直线和圆的位置关系：设圆圆：；直线：；圆心到直线的距离.①时，与相切；附：若两圆相切，则相减为公切线方程.②时，与相交；附：公共弦方程：设有两个交点，则其公共弦方程为.③时，与相离.附：若两圆相离，则相减为圆心的连线的中与线方程.由代数特征判断：方程组用代入法，得关于（或）的一元二次方程，其判别式为，则：与相切；与相交；与相离.注：若两圆为同心圆则，相减，不表示直线.6.圆的切线方程：圆的斜率为的切线方程是过圆上一点的切线方程为：.①一般方程若点(x0,y0)在圆上，则(x–a)(x0–a)+(y–b)(y0–b)=R2.特别地，过圆上一点的切线方程为.②若点(x0,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则，联立求出切线方程.7.求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程.如图：ABCD四类共圆.已知的方程…①又以ABCD为圆为方程为…②…③，所以BC的方程即③代②，①②相切即为所求.三、曲线和方程1.曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线C和方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：1）曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解（纯粹性）；2）方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上（完备性）。则称方程f(x,y)=0为曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x,y)=0的曲线。2.求曲线方程的方法：.1）直接法：建系设点，列式表标,简化检验;2）参数法;3）定义法，4）待定系数法.第八章圆锥曲线一椭圆方程（一）椭圆的定义：方程为椭圆；无轨迹；以为端点的线段。（二）椭圆的方程:=1\*GB3①椭圆的标准方程：=1\*romani.中心在原点，焦点在x轴上：.=2\*romanii.中心在原点，焦点在轴上：.=2\*GB3②一般方程：.=3\*GB3③椭圆的标准参数方程：的参数方程为（三）椭圆的几何性质：=1\*GB3①顶点：A,B,C和D.=2\*GB3②轴：对称轴：x轴，轴；长轴长=，短轴长=.③焦点：,=4\*GB3④焦距：，.=5\*GB3⑤离心率：.二双曲线方程（一）双曲线的定义：（二）双曲线的方程=1\*GB3①双曲线标准方程：=1\*romani.中心在原点，焦点在x轴上：.=2\*romanii.中心在原点，焦点在轴上：=2\*GB3②一般方程：.=3\*GB3③椭圆的标准参数方程：的参数方程为（三）双曲线的几何性质①=1\*romani.焦点在轴上：顶点：；焦点：；渐近线方程：或=2\*romanii.焦点在轴上：顶点：；焦点：；渐近线方程：或，②轴：为对称轴，实轴长为2a,虚轴长为2b，焦距2c.=3\*GB3③离心率.=4\*GB3④参数关系.（四）常见的特殊双曲线：①等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.②共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.=3\*GB3③共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程？解：令双曲线的方程为：，代入得.（五）直线与双曲线的位置关系：如下图.区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.三抛物线方程设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：图形焦点准线范围对称轴轴轴顶点(0，0)离心率焦半径注：①顶点.②则焦点半径;则焦点半径为.=3\*GB3③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.=4\*GB3④(或)的参数方程为(或)(为参数).第九章.立体几何一、平面.1.经过不在同一条直线上的三点确定一个面.注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.2.两个平面可将平面分成3或4部分.（①两个平面平行，②两个平面相交）3.过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.（①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行）[注]：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个.4.三个平面最多可把空间分成8部分.（X、Y、Z三个方向）空间直线.1.空间直线位置分三种：相交、平行、异面.相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内[注]：①可能两条直线平行，也可能是点和直线等②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交③若直线a、b异面，a平行于平面，b与的关系是相交、平行、在平面内.④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.⑤射影不一定只有直线，也可以是其他图形⑥并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段⑦是夹在两平行平面间的线段，若，则的位置关系为相交或平行或异面.2.异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）3.平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.4.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）.（二面角的取值范围）（直线与直线所成角）（斜线与平面成角）（直线与平面所成角）（向量与向量所成角推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.5.两异面直线的距离：公垂线的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.是异面直线，则过外一点P，过点P且与都平行平面有一个或没有，但与距离相等的点在同一平面内.（或在这个做出的平面内不能叫与平行的平面）直线与平面平行、直线与平面垂直.1.空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.2.直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）[注]：①直线与平面外一条直线平行，则∥.②直线与平面外一条直线相交，则与平面相交.③若直线与平面平行，则内必存在无数条直线与平行.④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面或在平面上⑤平行于同一直线的两个平面平行或相交⑥平行于同一个平面的两直线相交或异面或平行⑦直线与平面、所成角相等，则∥或与相交3.直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）4.直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.若⊥，⊥，得⊥（三垂线定理），得不出⊥.因为⊥，但不垂直OA.三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.[注]：①垂直于同一条直线的两个平面平行②垂一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面③垂直于同一平面的两条直线平行5.⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.[注]：垂线在平面的射影为一个点.⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上平面平行与平面垂直.1.空间两个平面的位置关系：相交、平行.2.平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.[注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.3.两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）4.两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.证明：如图，找O作OA、OB分别垂直于，因为则.6.两异面直线任意两点间的距离公式：（为锐角取加，为钝取减，综上，都取加则必有）7.⑴最小角定理：（为最小角，如图）⑵最小角定理的应用（∠PBN为最小角）简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有4条.成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有2条.成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有3条或者2条.成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有1条或者没有.棱锥、棱柱.1.棱柱.⑴①直棱柱侧面积：（为底面周长，是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.②斜棱住侧面积：（是斜棱柱直截面周长，是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.⑵{四棱柱}{平行六面体}{直平行六面体}{长方体}{正四棱柱}{正方体}.{直四棱柱}{平行六面体}={直平行六面体}.⑶棱柱具有的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.注：①直棱柱不能保证底面是钜形可如图②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.⑷平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分.[注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为，则.推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为，则.[注]：①斜四面体的两个平行的平面可以为矩形②应是各侧面都是正方形的直棱柱才行③只能推出对角线相等，推不出底面为矩形④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直.（两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）2.棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.[注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以.⑴①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.[注]：i.正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）ii.正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等iii.正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形.②正棱锥的侧面积：（底面周长为，斜高为）③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：（侧面与底面成的二面角为）附：以知⊥，，为二面角.则①，②，③①②③得.注：S为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法）.⑵棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；⑧每个四面体都有内切球，球心是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.[注]：i.各个侧面的等腰三角形不知是否全等ii.若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直.简证：AB⊥CD，AC⊥BDBC⊥AD.令得，已知则.iii.空间四边形OABC且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形.iv.若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.简证：取AC中点，则平面90°易知EFGH为平行四边形EFGH为长方形.若对角线等，则为正方形.3.球：⑴球的截面是一个圆面.①球的表面积公式：.②球的体积公式：.⑵纬度、经度：①纬度：地球上一点的纬度是指经过点的球半径与赤道面所成的角的度数.②经度：地球上两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是点的经度.附：①圆柱体积：（为半径，为高）②圆锥体积：（为半径，为高）③锥形体积：（为底面积，为高）4.①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a，，，得.注：球内切于四面体：②外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.六.空间向量.1.（1）共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.注：①若与共线，与共线，则与共线.（×）[当时，不成立]②向量共面即它们所在直线可能异面③若∥，则存在小任一实数，使.（×）[与不成立]④若为非零向量，则.（2）共线向量定理：对空间任意两个向量，∥的充要条件是存在实数（具有唯一性），使.（3）共面向量：若向量使之平行于平面或在内，则与的关系是平行，记作∥.（4）①共面向量定理：如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在实数对x、y使.②空间任一点O和不共线三点A、B、C，则是PABC四点共面的充要条件.（简证：P、A、B、C四点共面）注：①②是证明四点共面的常用方法.2.空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使.推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组x、y、z使(这里隐含x+y+z≠1).注：设四面体ABCD的三条棱，其中Q是△BCD的重心，则向量用即证.3.（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.①令=(a1,a2,a3),，则∥(用到常用的向量模与向量之间的转化：)②空间两点的距离公式：.（2）法向量：若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果那么向量叫做平面的法向量.（3）用向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面的法向量，AB是平面的一条射线，其中，则点B到平面的距离为.②利用法向量求二面角的平面角定理：设分别是二面角中平面的法向量，则所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（方向相同，则为补角，反方，则为其夹角）.③证直线和平面平行定理：已知直线平面，，且CDE三点不共线，则a∥的充要条件是存在有序实数对使.（常设求解若存在即证毕，若不存在，则直线AB与平面相交）.II.竞赛知识要点一、四面体.1.对照平面几何中的三角形，我们不难得到立体几何中的四面体的类似性质：①四面体的六条棱的垂直平分面交于一点，这一点叫做此四面体的外接球的球心；②四面体的四个面组成六个二面角的角平分面交于一点，这一点叫做此四面体的内接球的球心；③四面体的四个面的重心与相对顶点的连接交于一点，这一点叫做此四面体的重心，且重心将每条连线分为3︰1；④12个面角之和为720°，每个三面角中任两个之和大于另一个面角，且三个面角之和为180°.2.直角四面体：有一个三面角的三个面角均为直角的四面体称为直角四面体，相当于平面几何的直角三角形.（在直角四面体中，记V、l、S、R、r、h分别表示其体积、六条棱长之和、表面积、外接球半径、内切球半径及侧面上的高），则有空间勾股定理：S2△ABC+S2△BCD+S2△ABD=S2△ACD.3.等腰四面体：对棱都相等的四面体称为等腰四面体，好象平面几何中的等腰三角形.根据定义不难证明以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体，反之也可以将一个等腰四面体拼补成一个长方体.（在等腰四面体ABCD中，记BC=AD=a，AC=BD=b，AB=CD=c，体积为V，外接球半径为R，内接球半径为r，高为h），则有①等腰四面体的体积可表示为；②等腰四面体的外接球半径可表示为；③等腰四面体的四条顶点和对面重心的连线段的长相等，且可表示为；④h=4r.二、空间正余弦定理.空间正弦定理：sin∠ABD/sin∠A-BC-D=sin∠ABC/sin∠A-BD-C=sin∠CBD/sin∠C-BA-D空间余弦定理：cos∠ABD=cos∠ABCcos∠CBD+sin∠ABCsin∠CBDcos∠A-BC-D立体几何知识要点一、知识提纲（一）空间的直线与平面⒈平面的基本性质 ⑴三个公理及公理三的三个推论和它们的用途． ⑵斜二测画法．⒉空间两条直线的位置关系：相交直线、平行直线、异面直线．⑴公理四（平行线的传递性）．等角定理．⑵异面直线的判定：判定定理、反证法．⑶异面直线所成的角：定义（求法）、范围．⒊直线和平面平行 直线和平面的位置关系、直线和平面平行的判定与性质．⒋直线和平面垂直⑴直线和平面垂直：定义、判定定理．⑵三垂线定理及逆定理．5.平面和平面平行两个平面的位置关系、两个平面平行的判定与性质．6.平面和平面垂直互相垂直的平面及其判定定理、性质定理．（二）直线与平面的平行和垂直的证明思路（见附图）（三）夹角与距离7.直线和平面所成的角与二面角⑴平面的斜线和平面所成的角：三面角余弦公式、最小角定理、斜线和平 面所成的角、直线和平面所成的角．⑵二面角：①定义、范围、二面角的平面角、直二面角．②互相垂直的平面及其判定定理、性质定理．8.距离⑴点到平面的距离．⑵直线到与它平行平面的距离．⑶两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线、公垂线段．⑷异面直线的距离：异面直线的公垂线及其性质、公垂线段．（四）简单多面体与球9.棱柱与棱锥⑴多面体．⑵棱柱与它的性质：棱柱、直棱柱、正棱柱、棱柱的性质．⑶平行六面体与长方体：平行六面体、直平行六面体、长方体、正四棱柱、 正方体；平行六面体的性质、长方体的性质．⑷棱锥与它的性质：棱锥、正棱锥、棱锥的性质、正棱锥的性质．⑸直棱柱和正棱锥的直观图的画法．10.多面体欧拉定理的发现⑴简单多面体的欧拉公式．⑵正多面体．11.球⑴球和它的性质：球体、球面、球的大圆、小圆、球面距离．⑵球的体积公式和表面积公式．二、常用结论、方法和公式1.从一点O出发的三条射线OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，则点A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分线上；A2.已知:直二面角M－AB－N中，AEM，BFN,∠EAB=,∠ABF=，异面直线AE与BF所成的角为，则3.立平斜公式：如图，AB和平面所成的角是，AC在平面内，BC和AB的射影BA1成，设∠ABC=,则coscos=cos；4.异面直线所成角的求法：（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；5.直线与平面所成的角斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键；6.二面角的求法（1）定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；（2）三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；（3）垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；（4）射影法：利用面积射影公式S射＝S原cos,其中为平面角的大小，此法不必在图形中画出平面角；特别:对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。7.空间距离的求法（1）两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线，所以一般先利用垂直作出公垂线，然后再进行计算；（2）求点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线再求解；（3）求点到平面的距离，一是用垂面法，借助面面垂直的性质来作，因此，确定已知面的垂面是关键；二是不作出公垂线，转化为求三棱锥的高，利用等体积法列方程求解；8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为，则S侧cos=S底；9.已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为因此有cos2+cos2+cos2=1;若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为则有cos2+cos2+cos2=2;10.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；11.欧拉公式：如果简单多面体的顶点数为V,面数为F,棱数为E.那么V+F－E=2；并且棱数E＝各顶点连着的棱数和的一半＝各面边数和的一半；12.柱体的体积公式：柱体（棱柱、圆柱）的体积公式是V柱体=Sh.其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.13.直棱柱的侧面积和全面积S直棱柱侧=c(c表示底面周长，表示侧棱长)S棱柱全=S底+S侧14．棱锥的体积:V棱锥=，其中S是棱锥的底面积，h是棱锥的高。15.球的体积公式V=，表面积公式；掌握球面上两点A、B间的距离求法：（1）计算线段AB的长，
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