积分微分方程试题库

1.欧拉预报--校正公式求解初值问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 的迭代格式(步长为h) ，此方法是  2  阶方法。 2.在以(g(x), f(x))= , g(x),f(x)C[0,1]为内积的空间C[0,1] 中，与非零常数正交的最高项系数为1的一次多项式是 3. 用复化梯形公式计算积分 ,要把区间[0,1]一般要等分   41  份才能保证满足误差小于0.00005的要求（这里 ）；如果知道 ，则 用复化梯形公式计算积分 此实际值  大  (大，小)。 4.   设 称为柯特斯系数 则 =______1____ 5.   2n阶Newton-Cotes公式至少具有2n+1次代数精度。 6. 设公式 为插值型求积公式， 则 , 且 =b-a 8.  称微分方程的某种数值解法为p阶方法指的是其局部截断误差为O(hp+1)。 9. 求解微分方程数值解的Euler法的绝对稳定区间是____(-2,0)__。 10.  n个节点的插值型求积公式的代数精度不会超过2n－1次 11.  Gauss点与积分区间有关_ _但与被积函数无关___。 12.  Simpsons数值求积公式具有 ___3__次代数精度，用于计算 所产生的误差值为__ _. 13.  形如 的插值型求积公式，其代数精度至少可达到___n__阶，至多可达到___2n+1___阶 1．用Romberg法计算积分  解      9.E-003 5.E-003 4.E-003 4.E-003 4.141426*********E-003 4.E-003 4.E-003 4.E-003 4.E-003 4.E-003 2．用复合Simpson公式计算积分      (n=5) 解 S5=4. E-003 5、 证明定积分近似计算的抛物线公式 具有三次代数精度 证明 如果具有4阶导数,则 =         ([a,b]) 因此对不超过3次的多项式f(x)有 即 精确成立,对任一4次的多项式f(x)有 因此定积分近似计算的抛物线公式具有三次代数精度  或直接用定义证. 6  解  试确定常数A，B，C和a，使得数值积分公式 有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型？ 解  由 得 由 得 由 得 由 得 由 得 ---------------- (5分) 可 得 --------------- (10分) 代数精度是5, 是Gauss型积分公式 7．1）设 是[0,1]区间上带权 的最高次项系数为1的正交多项式系，求 2）构造如下的Gauss型求积公式 解  (1) (1) , (2) 的两零点为 (即Gauss点) Gauss型求积公式 8  用复合Simpson公式计算： 要使误差小于0.005，求积区间[0,π]应分多少个子区间？并用复合Simpson公式求此积分值。 解 复合Simpson公式计算的误差为 ，[a，b] 因此只要 即可.得 ,取 9 试述何谓Gauss型求积公式。如下求积公式： 是否是Gauss型求积公式？Gauss型求积公式是否稳定？是否收敛？(假定f(x)在积分 区间上连续) 解 把用[a，b]上的n+1个节点（互不相同的） (k=0,1,…,n)而使数值求积公式 的代数精确度达到2n+1，称为Gauss型求积公式 求积公式 因此式的代数精确度为3，所以不是Gauss型求积公式。Gauss型求积公式是稳定的，也是收敛的。 10.证明： Gauss型求积公式 的系数 (这里 是权函数) 其中C是常数(要求写出C的表达式)。 解 用[a，b]上的n+1个节点（互不相同的） (k=0,1,…,n)而使数值求积公式 的代数精确度达到2n+1，称为Gauss型求积公式              (1)  是Gauss型求积公式，因此如果 是不超过2n+1次的多项式两边应该完全相等，取 则          (2) 是Gauss型求积公式，因此代数精确度达到2n+1, 因此如果 是不超过2n+1次的多项式两边应该完全相等，取 得: 11． 证明：（1）Newton-Cotes系数 满足如下等式： (2）设 ， 分别表示把区间[a,b] n,2n等分后复化梯形公式计算积分 ， 表示把区间[a,b] n等分后复化Simpson公式计算积分 。证明下式成立： 证明 (1) 证明 (1) 因为 Newton-Cotes求积公式为 ， 其中 而Newton-Cotes系数 满足  因 ，故.                         (2)因为 ,            又因 整理即可得              12、若用复化梯形求积公式计算积分 区间 应分  2129    等分，即要计算个 2130 点的函数值才能使截断误差不超过 ；若改用复化Simpson公式，要达到同样精度区间 应分12  等分，即要计算个 25 点的函数值。 15． 数值求积公式: 的代数精度是  3 次。此数值求积公式  不是 （是，不是）Gauss型求积公式。 17．  用复化Simpson公式计算积分 ,要把区间[0,1] 一般要等分  2    份才能保证满足误差小于0.00005的要求（这里假定 任意阶导数存在，且 ） 1. 19. 证明 (1).  计算积分 的 个节点的求积公 式: , xk[a,b], k=1,…,n+1 的代数精确度至少是n的充分必要条件是 其中  ； (2). 如果(1)中的n+1个节点的求积公式的代数精确度是2n+1,则 证明    (1)  必要性 因为 xk[a,b], k=1,…,n+1 的代数精确度至少是n,取 .则 xk[a,b], k=1,…,n+1 而 , 因此               充分性 如果 xk[a,b], k=1,…,n+1 且 , 其中  则    因此当f(x)是任一次数不超过n的多项式时, .即代数精确度至少是n。 证明(2).由(1)知 ，因求积公式的代数精确度是2n+1,因此当 时, ， 而 因此 20． 数值求积公式: 当 取何值时代数精度最高?是多少次? 解  当f(x)=1,x,两边总是相等的；当f(x)=x2要使两边相等,则 得 ,此时当f(x)=x3两边总相等，当 两边不相等, 所以最高代数精度是3。 21.  推导复化梯形求积公式Tn(f) 与截断 误差I -Tn(f) ,(假定 ). 答：        会用中值定理                                          I -Tn(f)＝ 3、解常微分方程初值问题 ， 的梯形格式 是＿2＿阶方法 4、  欧拉预报--校正公式求解初值问题 取步长h=0.1,计算y(0.1),y(0.2)的近似值,小数点后保留5位. 解 欧拉预报--校正公式 得    y(0.1) =0.005000                  y(0.2) =0.019025                              5. 用Euler法计算积分 在点 的近似值(可取 )  解  原问题与初值问题 等价,                    Euler公式         y(.5000E+00) =0.500000 y(.1000E+01) =1.142013 y(.1500E+01) =2.501154 y(.2000E+01) =7.245022                   9、用梯形方法解初值问题 证明其近似解为      并证明当 时,它收敛于原初值问题的准确解 证明： 用梯形公式 近似解的表达式 因此 10. 导出用Euler法求解    的公式, 并证明它收敛于初值问题的精确解。 解      Euler公式 12.叙述解常微分方程初值问题数值方法的绝对稳定的定义；证明Euler法的绝对稳定区间为（-2，0） 解   如果yk是某方法第k步的准确值， 为其近似值，其绝对误差为 ，即 。假定第k步后的计算中不再有舍入误差，只是由 引起的扰动 (m>k, )，都有| |<| |，则称此方法是绝对稳定的 设yk有一扰动 ，此时 = 即    = ，从而        要使 ，则必有 ，即h(-2,0)时，Euler法是绝对稳定的 1. 16. 用Euler方法解初值问题  (1) 写出近似解的表达式  (2)并证明当 时, 近似解的表达式收敛于原初值问题的准确解 。 解  Euler公式           (1)近似解的表达式         --------5分 (2)