三角形内心的性质及其应用
一(基础知识
三角形的内切圆的圆心简称为三角形的内心，内心有下列优美的性质:
性质1:设I为ΔABC的内心，则I到ΔABC三边的距离相等;反之亦然。 性质2:设I为ΔABC的内心，则?BIC = 90 ?+?A/2,类似地还有两式。 性质3:设I为ΔABC的内心，BC = a, AC = b, AB = c, I在BC、AC、AB上射影分别为D、
2S,ABCE、F;内切圆半径为r,令p = (a+b+c) /2 , 则?S = p r ; ? ; ,r ΔABC，，abc
?AE = AF = p-a ,BD = BF = p-b , CE = CD = p-c ; ? abcr = p?AI?BI?CI . 性质4:三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等;反
之，若I为ΔABC的?A平分线AD(D在ΔABC的外接圆上)上的点，且DI = DB，
则I为ΔABC的内心。
性质5:设I为ΔABC的内心，BC = a, AC = b, AB = c, ?A的平分线交BC于K ，交ΔABC
AIADDIbc，的外接圆于D，则 ,,,KIDIDKa
性质6:过ΔABC内心I任作一直线，分别交AB、AC于P及Q两点，则
ABAC ACABABACBC，,，，APAQ
ABACsinsinsinsinsin，，，,，，，，，BCABC或 APAQ
性质7:设ΔABC的内心为I，ΔABC内一点P在BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F，
BCCAAB当P与I重合时，和式的值最小。 ，，PDPEPF
性质8:设I为ΔABC的内心，R为ΔABC的外接圆的半径，则1
IAIBIC ,,，，，，，，BCACBAsinsinsinsinsinsin222222
二、综合应用:
例1(如图，D是ΔABC的内心，E是ΔABD的内心，F是ΔBDE的内心。若?BDE的
度数为整数，求?BFE的最小度数。
例2(如图，设点M是ΔABC的BC边的中点，I是其内心，AH是BC边上的高，E为直
线IM与AH的交点。求证:AE等于切圆半径r.
例3(如图，设P为ΔABC内一点，?APB-?ACB = ?APC-?ABC .又设D、E分别是
ΔAPB及ΔAPC的内心，证明:AP、BD、CE交于一点。(第33届IMO第2
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
) 例4(如图，设三角形的外接圆半径、内切圆半径分别为R、r, 其外心、内心分别为O、I，
22若IO = d, 则d = R – 2Rr.
例5(如图，设ΔABC的外接圆O的半径为R，内心为I，?B = 60 ? , ?A
本文档为【三角形内心的性质及其应用】，请使用软件OFFICE或WPS软件打开。作品中的文字与图均可以修改和编辑，
图片更改请在作品中右键图片并更换，文字修改请直接点击文字进行修改，也可以新增和删除文档中的内容。
该文档来自用户分享，如有侵权行为请发邮件ishare@vip.sina.com联系网站客服，我们会及时删除。
[版权声明] 本站所有资料为用户分享产生，若发现您的权利被侵害，请联系客服邮件isharekefu@iask.cn，我们尽快处理。
本作品所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权，请谨慎使用。
网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽..)目的在于配合国家政策宣传，仅限个人学习分享使用，禁止用于任何广告和商用目的。
浙公网安备 33021202002483