计算下列定积分【精品-doc】

计算下列定积分【精品-doc】 习题5,3 1. 计算下列定积分: ,,sin(x，)dx (1); ,,32 ,4211,,,,, 解 . sin(x，)dx,,cos(x，),,cos，cos,,,0,,,33332222 dx1 (2); ,3,2(11，5x) 11111511dx,2,2,2(115)161 解 . ,,，x,,,，,,,3,2,2521010512,(115)，x ,32sin,cos,d, (3); ,0 ,,,1111,33333222 解 . sincoscossincoscoscos0d,,sd,,,,，,,,,,,,,,00044244 ,3(1,sin,)d, (4); ,0 ,,,,,322 解 (1,sin,)d,,d,，sin,dcos,,,，(1,cos,)dcos,,,,,00000 ,143(coscos),,，,,,,,, . 033 ,22cosudu (5); ,,6 ,,,,11122222cosudu,(1，cos2u)du,u，sin2u 解 ,,,,,,2246666113,,,,,(,)，(sin,sin),, . ,2264368 222,xdx (6); ,0 ,,2x,2sint令2222,xdx2cost,2costdt,(1，cos2t)dt 解 ,,,000 ,1,2 . (sin2),t，t,022 228,2ydy (7); ,,2 ,22令y,2sinx2248,2ydy,24,ydy22cosx,2cosxdx 解 ,,,,,,22,4 ,,144,22(1，cos2x)dx,22(x，sin2y),2(，2), . ,,,,,244 211,x (8); dx1,2x2 2,,,sin1cos11令x,t,xt,222 解 . cos(1)(cot)1dx,tdt,,dt,,t,t,,1,,,,,,2224sinsinxtt4442 a222xa,xdx (9); ,0 4,,x,asintaa令22222222 解 xa,xdxasint,acost,acostdt,sin2tdt,,,0004 4444,,,aaaa,222 . (1cos4)sin4,,tdt,t,t,,0008832163dx (10); ,122x1，x ,3令x,tantdx123 解 ,sectdt ,,,2122tant,sect4x1，x ,,cost12333,dt,,,2, . ,,,2sint3sint44 xdx1 (11); ,,15,4x 15411令,x,u1111xdx23(5)(5),udu,,u,u, 解 . ,,,133883654,x dx4 (12) ; ,11，x 2422令x,udx112,2udu,2(1,)du,2(u,ln|1，u|),2(1，ln) 解 . ,,,11111，u1，u31，x dx1 (13); 3,1,x,14 111令1,x,u0dx1122,(,2u)du,2(1，)du,2(u，ln|u,1|),1,2ln2 解 . 31,,,00u,1u,141,x,12 xdx2a (14); ,0223a,x 2a2a2axdx112222 解 . ,,d(3a,x),,3a,x,a(3,1),,000222223a,x3a,x 2t,12 (15); tedt,0 222ttt21,,,,111t2222tedt,,ed(,),,e,1,e解 . ,,0002 2dxe (16); ,1x1，lnx 222eedxe1 解 . ,dlnx,21，lnx,2(3,1),,111x1，lnx1，lnx 0dx (17); ,2,2x，2x，2 010dx0,arctan(1)arctan1arctan(1) 解 ,dx,x，,,,,. ,,22,,22,22221(1)x，x，，x， ,2cosxcos2xdx (18); ,,,2 ,,,2223222coscos2(12sin)sin(sinsin)xxdx,,xdx,x,x, 解 . ,,,,,,,,33222 ,32cosx,cosxdx (19); ,,,2 ,,3222cosx,cosxdx,cosx1,cosxdx 解 ,,,,,,22 33,,022402222cos(sin)cossincoscos,x,xdx，xxdx,x,x, ,,,,,0,033322 ,1，cos2xdx (20). ,0 ,,, 解 . 1，cos2xdx,2sinxdx,,2cosx,22,,000 2. 利用函数的奇偶性计算下列积分: ,4xsinxdx (1); ,,, , 44xsinxdx,0解 因为xsin x在区间[,, ]上是奇函数, 所以. ,,,,,,42 (2); 4cos,d,,,,2 ,,,1cos2x，442222 解 4cos,d,24cos,d,8()d, ,,,,,,00,22 ,,31222,2(1，2cos2x，cos2x),d,2(，2cos2x，cos4x)d, ,,0022 ,13,2 . (32sin2sin4),，x，x,,042 21(arcsinx)2 (3)dx; ,1,221,x 22111(arcsinx)(arcsinx)2222dx,2dx,2(arcsinx)d(arcsinx) 解 ,,,100,2221,x1,x 312,32 . (arcsin),x,03324 325xsinx (4)dx. ,42,5x，2x，1 3232xsinx5xsinx 解 因为函数是奇函数, 所以. dx,0,4242,5x，2x，1x，2x，1 aa22,(x)dx,2,(x)dx 3. 证明: , 其中,(u)为连续函数. ,,,0a 2 证明 因为被积函数,(x)是x的偶函数, 且积分区间[,a, a]关于原点对称, 所以有 aa22,(x)dx,2,(x)dx . ,,,0a bbf(x)dx,f(,x)dx 4. 设f(x)在[,b, b]上连续, 证明. ,,,,bb 证明 令x,,t, 则dx,,dt, 当x,,b时t,b, 当x,b时t,,b, 于是 ,bbbf(x)dx,f(,t)(,1)dt,f(,t)dt , ,,,,,bbb bbf(,t)dt,f(,x)dx而 , ,,,,bb bbf(x)dx,f(,x)dx所以 . ,,,,bb bbf(x)dx,f(a，b,x)dx5. 设f(x)在[a, b]上连续., 证明. ,,aa 证明 令x,ab,t, 则dx,d t, 当x,a时t,b, 当x,b时t,a, 于是 babf(x)dx,f(a，b,t)(,1)dt,f(a，b,t)dt , ,,,ababbf(a，b,t)dt,f(a，b,x)dx而 , ,,aa bbf(x)dx,f(a，b,x)dx所以 . ,,aa 11dxdxx 6. 证明: . ,(x,0),,22x11，x1，x 111dx,,dt 证明 令, 则, 当x,x时, 当x,1时t,1, 于是 x,t,2txt 111111dxx ,,(,),, dtdt1,,,222x111，1，xttx1，2t 1111xx而 ,, dtdx,,22111，1，tx 1dxdx1x所以 ,. ,,22x11，x1，x 11mnnmx(1,x)dx,x(1,x)dx 7. 证明: . ,,00 1011mnmnmnnmx(1,x)dx,,(1,t)tdt,(1,t)tdt,x(1,x)dx 证明 令1,x,t , 则, ,,,,0100 11mnnmx(1,x)dx,x(1,x)dx即. ,,00 ,,nn2sinxdx,2sinxdx 8. 证明: . ,,00 ,,,nnn2 证明 , sinxdx,sinxdx，sinxdx,,,,002 ,,,0x,,t令,nnnn22而 , sinxdxsin(,,t)(,dt),sintdt,sinxdx,,,,,,0022 ,,nn2sinxdx,2sinxdx所以 . ,,00 a，1f(x)dx 9. 设f(x)是以l为周期的连续函数, 证明的值与a无关. ,a 证明 已知f(xl),f(x). 10a，la，lla，laf(x)dx,f(x)dx，f(x)dx，f(x)dx,f(x)dx，f(x)dx,f(x)dx , ,,,,,,,000aall 令x,t，la，laaa而 , f(x)dxf(t，l)dt,f(x，l)dx,f(x)dx,,,,000l 1a，lf(x)dx,f(x)dx所以 . ,,0a a，1f(x)dx因此的值与a无关. ,a xf(t)dt 10. 若f(t)是连续函数且为奇函数, 证明是偶函数; 若f(t)是连续函数且为偶函数, ,0 xf(t)dt是奇函数. 证明,0 xF(x),f(t)dt 证明 设. ,0 若f(t)是连续函数且为奇函数, 则f(,t),,f(t), 从而 t,,u,xxxx令 F(,x),f(t)dtf(,u)(,1)du,f(u)dx,f(x)dx,F(x), ,,,,0000 xF(x),f(t)dt即是偶函数. ,0 若f(t)是连续函数且为偶函数, 则f(,t),f(t), 从而 t,,u,xxxx令 F(,x),f(t)dtf(,u)(,1)du,,f(u)dx,,f(x)dx,,F(x), ,,,,0000 xF(x),f(t)dt即是奇函数. ,0 11. 计算下列定积分: 1,xxedx (1); ,0 11111,x,x,x,x,1,x,1 解 . xedx,,xde,,xe，edx,,e,e,1,2e,,,00000 exlnxdx (2); ,1 eeeee1111111222222xlnxdx,lnxdx,xlnx,x,dx,e,x,(e，1) 解 . ,,,11011222x244 ,2,tsin,tdt (3)(,为常数); ,0 ,2,,,222111,,,, 解 tsin,tdt,,tdcos,t,,tcos,t，cos,tdt,,,0000,,, ,2,,212,, . ,,，t,,sin2220,,, ,x3 (4); dx,,2sinx4 ,,,,,x1,,33333dx,,xdcotx,,xcotx，cotxdx,,,，，lnsinx 解 ,,,,,,,,234sinx344444 1313 . ,(,)，ln,4922 4lnx (5); dx,1x 4444lnx1 解 ,,,,dx2lnxdx2xlnx2xdx,,,1111xx 441 . ,8ln2,2dx,8ln2,4x,4(2ln2,1),11x 1xarctanxdx (6); ,0 11111111222arctan,arctan,arctan,,xxdxxdxxxxdx 解 ,,,200002221，x 1111111,,,,,(1)(arctan)(1),,,dx,,x,x,,,,, . ,2008282824421，x ,2x2 (7); ecosxdx,0 ,,,,xxxx22222222ecosxdx,edsinx,esinx,2esinxdx 解 ,,,0000 ,,,,xxxx2222,,,2222,e，2edcosx,e，2ecosx,4ecosxdx,e，2,4ecosxdx ,,,0000,12x,2ecosxdx,(e,2)所以 , ,05 于是 2xlogxdx (8); 2,1 22221111222xlogxdxlogxdxxlogxxdx,,,, 解 222,,,1111222xln2 2113222,,,x,, . 12ln224ln2 ,2(xsinx)dx (9); ,0 ,,,,1112232 解 (xsinx)dx,x(1,cos2x)dx,x,xdsin2x,,,000026433,,,111,,,,3 ,,xsin2x，sin2x,2xdx,,xdcos2x,,0000064464333,,111,,,,,, . cos2cos2sin2,,xx，xdx,,，x,,,00064464864 esin(lnx)dx (10); ,1 lnx,te1令t 解法一 . sin(lnx)dxsint,edt,,10 1111tttt因为 sint,edt,sintde,esint,ecostdt,,,0000 111ttt ,e,sin1,costde,e,sin1,ecost,esintdt,,000 1t,e,sin1,e,cos1，1,esintdt , ,0 11tesintdt,(e,sin1,e,cos1，1) . 所以,02 e1sin(lnx)dx,(e,sin1,e,cos1，1)因此 . ,12 eeee1sin(lnx)dx,x,sin(lnx),x,cos(lnx),dx,e,sin1,cos(lnx)dx 解法二 ,,,1111x ee1,e,,x,x,x,x,dx sin1cos(ln)sin(ln) ,11x e,e,sin1,e,cos1，1,sin(lnx)dx , ,0 e1sin(lnx)dx,(e,sin1,e,cos1，1)故 . ,12 e|lnx|dx (11); 1,e 1e11eee|lnx|dx,,lnxdx，lnxdx,,xlnx，xlnx，dx,dx 解 111,,,,,1111eeee111,,，e，(1,),(e,1),2(1,) . eee m122(1,x)dx (12)(m为自然数); ,0 m,1xsint令,2m，122(1x)dxcostdt, 解 . ,,00 ,,n,1nn,222cosxdxcosxdx, 根据递推公式, ,,00n mm,2m,4531,,,, , , , ,,, m为奇数m,1m，1m,1m,3642222 . (1,x)dx,,,0mm,2m,4642,,, , , , ,, m为偶数m1m1m3753，,,, ,mJ,xsinxdx (13)(m为自然数). m,0 解 因为 0,x,,t,,,令mmmm , xsinxdx(,,t)sin(,,t)(,1)dt,,sintdt,tsintdt,,,,000, ,,,,,,mmmm22J,xsinxdx,sinxdx,,2sinxdx,,sinxdx所以 (用第8题结果). m,,,,000022 ,,n,1nn,222sinxdxsinxdx, 根据递推公式, ,,00n 2,,13553m,m,m,1 ,,,,,,,,m为偶数,mm,2m,46422J, . ,m1356m,m,m,42, , ,,,,,,,m为奇数mm,2m,4753,