导数综合讲义

导数综合讲义第1讲导数的计算与几何意义..........3第2讲函数图像..........4第3讲三次函数..........7第4讲导数与单调性..........8第5讲导数与极最值..........9第6讲导数与零点.........10第7讲导数中的恒成立与存在性问题.........11第8讲原函数导函数混合还原（构造函数解不等式）.........13第9讲导数中的距离问题.........17第10讲导数解答题.........1810.1导数基础练习题..........2110.2分离参数类..........2410.3构造新函数类..........2610.4导数中的函数不等式放缩..........2910.5导数中的卡根思想..........3010.6洛必达法则应用..........3210.7先构造，再赋值，证明和式或积式不等式..........3310.8极值点偏移问题..........3510.9多元变量消元思想..........3710.10导数解决含有lnx与ex的证明题（凹凸反转）.........3910.11导数解决含三角函数式的证明..........4010.12隐零点问题..........4210.13端点效应..........4410.14其它省市高考导数真题研究..........451导数【高考命题规律】2014年理科高考考查了导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性，利用导数求函数的最值，文科考查了求曲线的切线方程，导数在研究函数性质中的运用；2015年文理 试卷 云南省高中会考试卷哪里下载南京英语小升初试卷下载电路下试卷下载上海试卷下载口算试卷下载 分别涉及到切线、零点、单调性、最值、不等式证明、恒成立问题；2016文科考查了导数的几何意义，理科涉及到不等式的证明，含参数的函数性质的研究，极值点偏移；2017年高考考查了导数判断函数的单调性，含参零点的分类讨论。近四年的高考 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 基本形成了一个模式，第一问求解函数的解析式，以切线方程、极值点或者最值、单调区间等为背景得到方程从而确定解析式，或者给出解析式探索函数的最值、极值、单调区间等问题，较为简单；第二问均为不等式相联系，考查不等式恒成立、证明不等式等综合问题，难度较大。预测2018年高考导数大题以对数函数、指数函数、反比例函数以及一次函数、二次函数中的两个或三个为背景，组合成一个函数，考查利用导数研究函数的单调性与极值及切线，不等式结合考查恒成立问题，另外2016年全国卷1理考查了极值点偏移问题，这一变化趋势应引起考生注意。【基础知识整合】f(xx)f(x)f(xx)f(x)、导数的定义：'00，'1f(x0)limf(x)limx0xx0x、导数的几何意义：导数值'是曲线上点处切线的斜率2f(x0)yf(x)(x0,f(x0))3、常见函数的导数：C'0；(xn)'nxn1；(sinx)'cosx；(cosx)'sinx；11(lnx)'；(logx)'；(ex)'ex；(ax)'axlnaxaxlnauu'vv'u4、导数的四则运算：(uv)'u'v'；；(uv)'u'vv'u；()'vv2、复合函数的单调性：'''5fx(g(x))f(u)g(x)6、导函数与单调性：求增区间，解f'(x)0；求减区间，解f'(x)0若函数在f(x)在区间(a,b)上是增函数f'(x)0在(a,b)上恒成立；若函数在f(x)在区间(a,b)上是减函数f'(x)0在(a,b)上恒成立；若函数在f(x)在区间(a,b)上存在增区间f'(x)0在(a,b)上恒成立；若函数在f(x)在区间(a,b)上存在减区间f'(x)0在(a,b)上恒成立；7、导函数与极值、最值：确定定义域，求导，解单调区间，列表，下结论8、导数压轴题：强化变形技巧、巧妙构造函数、一定要多练记题型，总结方法2第1讲导数的计算与几何意义（2016全国卷1理16）若直线ykxb是曲线ylnx2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b__________1（2015全国卷1理21（1））已知函数f(x)x3ax，当a为何值时，x轴为曲线4yf(x)的切线（安徽卷理（））设*，是曲线2n2在点处的切线与轴交2015181nNxnyx1(1,2)x点的横坐标，求数列的通项公式{xn}.3ax2ax（2015重庆卷理20（1））设函数f(x)(aR)，若f(x)在x0处取得极值，ex确定a的值，并求此时曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程11、函数f(x)cos2x在点(,)处的切线方程为________________________422、过f(x)x33x22x5图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围是_____3、若一直线与曲线ylnx和曲线x2ay(a0)相切于同一点P，则a_____4、两曲线yx21和yalnx1存在公切线，则正实数a的取值范围是____________a25、已知a,b为正实数，直线yxa与曲线yln(xb)相切，则的取值范围是（）2b1（A）(0,)（B）(0,1)（C）(0,)（D）[1,)216、若曲线yx2与曲线yalnx在它们的公共点P(s,t)处具有公切线，则实数a2e（）1（A）2（B）（C）1（D）222f(x)xf'(x)7、函数f(x)是定义在(0,)的可导函数，当x0且x1时，0，若x13曲线yf(x)在x1处的切线的斜率为，则f(1)（）431（A）0（B）1（C）（D）853第2讲图像问题1、己知函数fxax3bx2c，其导数f'x的图象如图所示，则函数fx的极大值是（）（A）abc（B）8a4bc（C）3a2b（D）c2、设函数yf(x)可导，yf(x)的图象如图所示，则导函数yf(x)的图像可能为（）yyyyyOxOxOxOxOxABCDsin2x3、（2017全国卷Ⅰ文8）函数y的部分图像大致为1cosx4xln|x|4、函数fx的图像可能是（)|x|yyyyOO11x11x1O1x1O1xABCD15、函数fxxcosxx,x0的图像可能为（）x126、已知fxxsinx,fx为fx的导函数，则fx的图像是()427、下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像，其中一．定．不．正．确．的序号是()（A）①②（B）③④（C）①③（D）①④58、已知R上可导函数fx的图象如图所示，则不等式x22x3f'x0的解集为()（A）,21,（B）,21,2（C）,11,02,（D）,11,13,、函数32的大致图象如图所示则22等于9fxxbxcxd,x1x2()810164（A）（B）（C）（D）9995axb、（安徽）函数的图像如图所示，则下列结论成立的是（）102015fx2xc（A）a0,b0,c0（B）a0,b0,c0（C）a0,b0,c0（D）a0,b0,c0x11、（2016全国卷）函数y2x2e在[2,2]的图像大致为（A）（B）（B）（D）6第3讲三次函数111、函数f(x)x3(m1)x22(m1)x在(0,4)上无极值，则m__________322、已知f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0，则ab______、设函数32有两个不同的极值点，且对不等式3f(x)x(a1)xaxx1,x2恒成立，则实数的取值范围是f(x1)f(x2)0a___________、函数32，若存在唯一正整数，使得，则实数的4f(x)x3xax2ax0f(x0)0a取值范围是_______________5、已知函数f(x)x3ax2x1在(,)上是单调函数，则实数a的取值范围是（）（A）[3,3]（B）(3,,3)（C）(,3)(3,)（D）(,3][3,)x3a16、若函数f(x)x2x1在区间(,3)上有极值点，则实数a的取值范围是（）322551010（A）(2,,)（B）[2,,)（C）(2,,)（D）[2,,)2233x3a17、若函数f(x)x2x1在区间(,3)上单调递减，则实数a的取值范围是（）322151016（A）[,)（B）[,)（C）[,)（D）[,)3333x328、若函数f(x)x2在区间(a,a5)上存在最小值，则实数a的取值范围是（）33（A）[5,0)（B）(5,0)（C）[3,0)（D）(3,0)b9、若函数f(x)x3ax2bxa27a在x1处取得极大值10，则的值为（）a313131（A）或（B）或（C）（D）2222227第4讲导数与单调性1、已知函数f(x)x25x2lnx，则函数f(x)的单调递增区间是______________2、已知函数f(x)exlnxaex(aR)，若f(x)在(0,)上单调，则a的取值范围是_______________3x2ax3、设函数f(x)(aR)，若f(x)在[3,)上为减函数，则a的取值范围是ex_______________f(x)4、若函数f(x)在定义域D内的某个区间I上是增函数，且F(x)在I上也是增函x数，则称yf(x)是I上的“完美函数”，已知g(x)exxlnx+1，若函数g(x)是区间m[,)上的“完美函数”，则整数m的最小值为_____________25、设函数f(x)e2xax在(0,)上单调递增，则实数a的取值范围为（）（A）[1,)（B）(1,)（C）[2,)（D）(2,)6、函数f(x)2x2lnx在其定义域内的一个子区间(k1,k1)内不单调，则k的取值范围是（）33（A）[1,)（B）[1,)（C）[1,2）（D）[,2)2217、若函数f(x)lnxax22在区间(,2)内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是2（）11（A）(,2]（B）(2,)（C）(2,)（D）(,)88lnxlnxlnx28、设1x2，则,()2,的大小关系是（）xxx2lnxlnxlnx2lnxlnxlnx2（A）()2（B）()2xxx2xxx2lnxlnx2lnxlnx2lnxlnx（C）()2（D）()2xx2xx2xx9、下列命题为真命题的个数是（）22ln1ln2ln①ee2②ln2③④3e2（A）1（B）2（C）3（D）48第5讲导数与极最值1、已知x0是函数f(x)(x2a)(x2a2x2a2)的极小值点，则a的范围是________k2、已知x1是函数f(x)(x2)exx2kx(k0)的极小值点，则k的范围是2________、已知函数2有两个极值点，且，则（）3f(x)x2x1alnxx1,x2x1x212ln212ln2（A）f(x)（B）f(x)242412ln212ln2（C）f(x)（D）f(x)24244、若函数f(x)aex3x在R上有小于零的极值点，则实数a的取值范围是（）11（A）(3,)（B）(,3)（C）(,)（D）(,)335、已知函数f(x)x(lnax)有两个极值点，则实数a的取值范围是（）1（A）(,0)（B）(0,)（C）(0,1)（D）(0,)2ax216、若函数f(x)(12a)x2lnx(a0)在区间(,1)内有极值，则a的取值范围22是（）1（A）(,)（B）(1,+)（C）(1,2)（D）(2,)e7、若函数f(x)在区间A上，对a,b,cA,f(a),f(b),f(c)为一个三角形的三条边，则1称函数f(x)为“三角形函数”.已知函数f(x)xlnxm在区间[,e]上是“三角形函数”，e2则实数m的取值范围为（）1e2221e22（A）(,)（B）(,+)（C）(,)（D）(,)eeeee9第6讲导数与零点lnx1、设函数f(x)x22exa，若函数f(x)至少存在一个零点，则实数a的取值范x围是（）1111（A）(0,,e2]（B）(0,e2]（C）[e2,)（D）(,e2]eeeemex2、已知函数f(x)与函数g(x)2x2x1的图像有两个不相同的交点，则实数m2的取值范围为（）181818（A）[0,1)（B）[0,2){}（C）(0,2){}（D）(0,2e){}e2e2e2、定义：如果函数在区间上存在满足3f(x)[a,b]x1,x2(ax1x2b)f(b)f(a)f(b)f(a)f'(x)，f'(x)，则称f(x)是[a,b]上的“双中值函数”.已知1ba2ba函数f(x)2x3x2m是[0,2a]上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是（）1111111（A）(,)（B）(，）（C）(,)（D）(,1)8412412884、若存在正实数m，使得关于x的方程xa(2x4m4ex)[ln(xm)lnx]0有两个不同的根，则实数a的取值范围是（）111（A）(,0)（B）(0,）（C）(0)(,)（D）(,)2e2e2exex5、（2017.12成都一诊）若关于x的方程m0有三个不相等的实数解exxex，且，其中为自然对数的底数，则x1,x2,x3x10x2x3mR,e2.71828...xxx(11)2(21)(31)的值为ex1ex2ex3（A）e（B）1m（C）1m（D）16、已知函数f(x)(3x1)ex1mx，若有且仅有两个整数使得f(x)0，则实数m的取值范围为558185（A）(,2)（B）[,)（C）[,)（D）[4e,)e2e3e223e22e10第7讲导数中的恒成立与存在性问题1、（2015全国卷1理12）设函数f(x)ex(2x1)axa，其中a1，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是（）x0f(x0)0a333333（A）[,1)（B）[,)（C）[,)（D）[,1)2e2e42e42e、设函数x，其中，若有且只有一个整数使得，2f(x)e(3x1)axaa1x0f(x0)0则a的取值范围是（）232322（A）(,)（B）[,)（C）(,1)（D）[,1)e4e4ee13、已知函数f(x)x(a)，曲线yf(x)上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的ex切线都与y轴垂直，则实数a的取值范围是（）11（A）(e2,)（B）(e2,0)（C）(,)（D）(,0)e2e2(e2a)214、设函数f(x)(xa)2(aR)，若关于x的不等式f(x)有解，则实数a45的值为（）111（A）（B）（C）0（D）54215、已知f(x)alnxx2(a0)，若对任意两个不等的正实数x,x，都有212f(x)f(x)122恒成立，则实数a的取值范围是（）x1x2（A）(0,1]（B）(1，+)（C）(0,1)（D）[1,)6、已知函数f(x)aln(x1)x2，若对p,q(0,1)，且pq，有f(p1)f(q1)2恒成立，则实数a的取值范围为（）pq（A）(,18)（B）(,18]（C）[18,)（D）(18,)7、设函数f(x)ex(x23x3)aexx(x2)，若不等式f(x)0有解，则实数a的最小值为（）111（A）1（B）2（C）1（D）1e2eee1138、设函数f(x)ex(x3+x26x2)2aexx，若不等式f(x)0在[2,)上有解，2则实数a的最小值为（）3132311（A）（B）（C）（D）12e2e42eelnx(xb)219、已知函数f(x)(bR)，若存在x[,2]，使得f(x)xf'(x)，则x2实数b的取值范围是（）39（A）(,2)（B）(,)（C）(,)（D）(,3)24、已知x，2，若，使得成立，则10f(x)xeg(x)(x1)ax1,x2Rf(x2)g(x1)实数a的取值范围是________________11、若关于x的不等式c2x2(cx1)lnxcx0在(0,)上恒成立，则实数c的取值范围是_______________12、若关于x的不等式(ax1)(lnxax)0在(0,)上恒成立，则实数a的取值范围是_______________x13、若函数f(x)x1alnx(a0)，g(x)，且对任意x,x[3,4](xx)，ex1121211恒成立，则实数的取值范围为f(x1)f(x2)a______________g(x1)g(x2)x21xg(x)f(x)14、设函数f(x)，g(x)，对任意x,x(0,)，不等式12恒xex12kk+1成立，则正数k的取值范围是______________、记曲线x上任意一点处的切线为，总存在过上一点15f(x)e2xl1g(x)ax3cosx处的切线为，使得，则实数的取值范围是l2l1l2a_______________12第8讲原函数导函数混合还原一．导数的常见构造1．对于f'xg'x，构造hxfxgx更一般地，遇到f'xaa0，即导函数大于某种非零常数(若a=0，则无需构造)，则可构hxfxax2．对于f'xg'x0，构造hxfxgx3．对于f'xfx0，构造hxexfxfx4．对于f'xfx[或f'xfx0]，构造hxex5．对于xf'xfx0，构造hxxfxfx6．对于xf'xfx0，构造hxxf'x7．对于0，分类讨论：(1)若fx0，则构造hxlnfx；fx(2)若fx0，则构造hxlnfx；二．对于抽象函数而言，在构造函数时我们必须从以下方面考虑：函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性等方面考虑，如果题目给出的条件已经是最简的，则从问题入手；否则反向考虑。例：（2015课标2卷理12）设函数f'(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf'(x)f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是（）（A）(,1)(0,1)（B）(1,0)(1,)（C）(,1)(1,0)（D）(0,1)(1,)变式1.函数fx的定义域是R，f02，对任意xR,fxfx1，则不等式exfxex1的解集为（）（A）{xx0}（B）{xx0}（C）{xx1或0x1}（D）{xx1或x1}13变式2.设函数f(x)是定义在(,0)上的可导函数，其导函数为f'(x)，且有33f(x)xf'(x)0,则不等式x2015f(x2015)27f(3)0的解集是（）（A）(2018,2015)（B）(,2016)（C）(2016,2015)（D）(,2012)变式3.设函数f(x)在R上存在导数f'(x)，xR，有f(x)f(x)x2，在0,上f'(x)x，若f(4m)f(m)84m，则实数m的取值范围为（）（A）2,2（B）2,（C）0,（D）,22,课后练习：1、已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)1，且f(x)的导函数f(x)x1，则不等式1f(x)x2x1的解集为（）2（A）(2,2)（B）(2,)（C）(,2)（D）(,2)(2,)2、己知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f(x)，满足f(x)f(x)，且f(x2)为偶函数，f(4)1，则不等式f(x)ex的解集为（）（A）(2,)（B）(0,)（C）(1,)（D）(4,)33、若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f'(x)1，f(0)4，则不等式f(x)1(eex为自然对数的底数)的解集为（）（A）(0,)（B）(,0)(3,)（C）(,0)(0,)（D）(3,)4、已知函数f(x)对定义域R内的任意x都有f(x)f(4x)，且当x2时，其导函数f(x)满足xf(x)2f(x)，若2a4，则（）（）a（）aAf(2)f(3)f(log2a)Bf(3)f(log2a)f(2)（C）f(loga)f(3)f(2a)（D）f(loga)f(2a)f(3)22[&网14Z&X&X&K]5、定义在R上的函数fx满足：fx1fx,f00,fx是fx的导函数，则不等式exfxex1（其中e为自然对数的底数）的解集为（）（A）,10,（B）0,（C）,01,（D）1,[来6、已知函数yfx对于任意的x(,)满足fxcosxfxsinx0（其中22fx是函数fx的导函数），则下列不等式不成立的是（）（A）2f()f()（B）2f()f()3434（C）f(0)2f()（D）f(0)2f()437、f(x),g(x)(g(x)0)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时，f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，且f(3)0，0的解集为（）g(x)（A）(,3)(3,)（B）(3,0)(0,3)（C）(3,0)(3,)（D）(,3)(0,3)8、函数f(x)的导函数为f(x)，对xR，都有2f(x)f(x)成立，若f(ln4)2，x则不等式f(x)e2的解是（）[来源om]（A）xln4（B）0xln4（C）x1（D）0x1xf'(x)f(x)9、设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)0,当x0时，有0恒成立，x2则不等式x2f(x)0的解集为（）（A）(2,0)(2,)（B）(2,0)(0,2)（C）(,2)(2,)（D）(,2)(0,2)15g(x)10、已知一函数满足x0时，有g'(x)2x2，则下列结论一定成立的是（）xg(2)g(2)g(2)g(2)（A）g(1)3（B）g(1)2（C）g(1)4（D）g(1)4222211、定义在区间0,上的函数f(x)使不等式2f(x)xf'(x)3f(x)恒成立，其中f'(x)为f(x)的导数，则（）f(2)f(2)f(2)f(2)（A）48（B）816（C）34（D）23f(1)f(1)f(1)f(1)12、已知函数f(x)的定义域为,00,，图像关于y轴对称，且当x0时，f(x)4af(a1)4af'(x)恒成立，设a1，则,2af(2a),(a1)f()的大小关系为xa1a1（）4af(a1)4a（A）2af(2a)(a1)f()a1a14af(a1)4a（B）2af(2a)(a1)f()a1a14af(a1)4a（C）2af(2a)(a1)f()a1a14af(a1)4a（D）2af(2a)(a1)f()a1a113、已知函数f(x)的导函数为f'(x)，x0,，都有xf'(x)2f(x)成立，则（）（A）2f(3)3f(2)（B）2f(1)3f(2)（C）4f(3)3f(2)（D）4f(1)f(2)xf(x)xf(x)、已知奇函数满足：对且，有1122恒成14f(x)x1,x2,0x1x20x1x211立，若a20.2f(20.2),b(ln2)f(ln2),c(log)f(log)，则a,b,c的大小关系为2424（用“”表示）16第9讲导数中的距离问题11、（2012全国卷1理12）设点P在曲线yex上，点Q在曲线yln(2x)上，则PQ最2小值为（）（A）1ln2（B）2(1ln2)（C）1ln2（D）2(1ln2)2、直线xm与函数g(x)lnx图像分别交于点M,N，则MN最小值为（）1ln3ln31ln3（A）（B）（C）（D）ln313333、已知直线ya分别与函数yex1和yx1交于A,B两点，则A,B之间的最短距离是（）3ln25ln23ln25+ln2（A）（B）（C）（D）22224、已知点M在曲线y3lnxx2上，点N在直线xy20上，则MN的最小值是___________5、已知直线yb与函数f(x)2x3和g(x)axlnx分别交于M,N两点，若MN的最小值为2，则ab___________116、已知变量x,y满足yx23lnx，点Q在直线y2x上，则(xm)2(yn)222的最小值为________________7、直线ya分别与曲线y2(x1),yxlnx交于A,B两点，则AB的最小值为_____2a2lna3c28、若实数a,b,c,d满足1，则(ac)2(bd)2的最小值为_______bd9、若实数a,b,c,d满足ba24lna2cd20，则(ac)2(bd)2的最小值为_______ex1,x010、已知函数f(x)3x，若mn，且f(m)f(n)，则nm的范围是______1,x02ln(x1),x0、已知函数，若，则的范围是11f(x)1f(x1)f(x2),x1x2x1x2x1,x02___________12、已知函数f(x)(xm)3(xmem)32ax(aR)在R上单调递增，则a的取值范围是_____________17第10讲导数解答题常用函数不等式x1lnxexx1x1xln(x1)ex21xlnx1ex1xx2x211lnx1x2ex1ex1ex1x2lnxx1x2n1n1ln(n1)lnni1ii2i不等式链：ab1a2b22a2abb2aba2abb2(aabb)ab23ab2ababba1balnblnaab12ab1()2e1()baabe()ba(abba)ab22ablnblnababaab对数均值不等式：abbaab（用来解决极值点偏移问题）2lnblna对数不等式（用来证明对数均值不等）x12(x1)0x1,lnxxx12(x1)x1x1,lnxx1x【基础典例分析】ax例：已知函数f(x)ln(x1)(a1)x1（Ⅰ）讨论f(x)零点的个数；213（Ⅱ）证明：ln(1),nN*2n1n3n118【近七年高考全国卷Ⅰ】（2017年高考全国卷Ⅰ）已知函数f(x)ae2x(a2)exx（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）若f(x)有两个零点，求a的取值范围（2016年高考全国卷Ⅰ）已知函数f(x)(x2)exa(x1)2有两个零点（Ⅰ）求a的取值范围（）设是的两个零点，证明：Ⅱx1,x2f(x)x1x221（2015年高考全国卷Ⅰ）已知函数f(x)x3ax，g(x)lnx4（Ⅰ）当a为何值时，x轴为曲线yf(x)的切线（Ⅱ）用min{m,n}表示m,n中的最小值，设函数h(x)min{f(x),g(x)}(x0)，讨论h(x)零点的个数19bex1（2014年高考全国卷Ⅰ）设函数f(x)aexlnx，曲线yf(x)在点(1,f(1))处的x切线为ye(x1)2（Ⅰ）求a,b（Ⅱ）证明：f(x)1（2013年高考全国卷Ⅰ）设函数f(x)x2axb，g(x)ex(cxd)，若曲线yf(x)和曲线yg(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y4x2（Ⅰ）求a,b,c,d的值（Ⅱ）若x2时，f(x)kg(x)，求k的取值范围1（2012年高考全国卷Ⅰ）已知函数f(x)f'(1)ex1f(0)xx22（Ⅰ）求f(x)的解析式及单调区间1（Ⅱ）若f(x)x2axb，求(a1)b的最大值2alnxb（2011年高考全国卷Ⅰ）已知函数f(x)，曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线x1x方程为x2y30（Ⅰ）求a,b的值lnxk（Ⅱ）如果当x0且x1时，f(x)，求k的取值范围x1x2010.1导数基础练习题1、已知函数f(x)xlnx，g(x)x2ax（Ⅰ）求函数f(x)在区间[t,t1](t0)上的最小值m(t)（）令，，是函数图像上任Ⅱh(x)g(x)f(x)A(x1,h(x1))B(x2,f(x2))(x1x2)h(x)h(x)h(x)意两点，且满足121，求实数a的取值范围x1x2ag(x)（Ⅲ）若x(0,1]，使f(x)成立，求实数a的最大值x2、已知函数f(x)xlnx，g(x)x2ax3（Ⅰ）求函数f(x)在[t,t2](t0)上的最小值1（Ⅱ）若存在x[,e]，2f(x)g(x)成立，求实数a的取值范围0e003、已知函数f(x)xlnx，g(x)x2ax2（Ⅰ）求函数f(x)在[t,t2](t0)上的最小值（）若函数有两个不同的极值点且，求实数Ⅱyf(x)g(x)x1,x2(x1x2)x2x1ln2a的取值范围2114、已知函数f(x)lnx，g(x)x2bx2（Ⅰ）函数f(x)的图像在点(1,f(1))处的切线与函数g(x)的图像相切，求实数b的值（Ⅱ）若函数h(x)f(x)g(x)在定义域上存在单调递减区间，求实数b的取值范围（）若，，且，都有成立，Ⅲb2x1,x2[1,2]x1x2f(x1)f(x2)g(x1)g(x2)求实数b的取值范围1e5、设函数f(x)ax2alnx，g(x)xex（Ⅰ）讨论f(x)的单调性（Ⅱ）证明：当x1时，g(x)0（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f(x)g(x)在(1,)区间内恒成立16、函数g(x)f(x)x2bx，函数f(x)xalnx在x1处的切线与直线x2y02垂直（Ⅰ）求实数a的值（Ⅱ）若函数g(x)存在单调递减区间，求实数b的取值范围7（Ⅲ）设x,x(xx)是函数g(x)的两个极值点，若b，求g(x)g(x)的最小值121221222a17、已知函数f(x)alnxx21211（Ⅰ）当a时，求f(x)在区间[,e]上的最值2e（Ⅱ）讨论函数f(x)的单调性a（Ⅲ）当1a0时，有f(x)1ln(a)恒成立，求a的取值范围28、已知函数f(x)axxlnx图像在点xe处的切线的斜率为3（Ⅰ）求实数a的取值范围（Ⅱ）若f(x)kx2对任意x0成立，求实数k的取值范围nmm（Ⅲ）当nm1(m,nN*)时，证明：mnnm9、已知函数f(x)xln(xa)的最小值为0，其中a0，设函数g(x)lnxx（Ⅰ）求a的值g(x)g(x)（）对任意，12恒成立，求实数的取值范围Ⅱx1x201mx1x2（Ⅲ）讨论方程g(x)f(x)ln(x1)在[1,)上根的个数2310、已知函数f(x)lnxa(1x)（Ⅰ）讨论f(x)的单调性（Ⅱ）当f(x)有最大值时，且最大值大于2a2时，求a的取值范围10.2分离参数类111、已知函数f(x)lnxax22x(a0)2（Ⅰ）若函数f(x)在定义域内单调递增，求实数a的取值范围11（Ⅱ）若a，且关于x的方程f(x)xb在[1,4]上恰有两个不等的实根，求实数b22的取值范围ex12、已知函数f(x)a(xlnx)x（Ⅰ）当a0时，试求f(x)的单调区间1（Ⅱ）若函数f(x)在x(,2)上有三个不同的极值点，求实数a的取值范围22413、已知函数f(x)=exaxa，g(x)2xex（Ⅰ）讨论f(x)的单调性（Ⅱ）若不等式f(x)g(x)有唯一正整数解，求实数a的取值范围14、已知函数f(x)(x2axa)ex（Ⅰ）讨论f(x)的单调性（）若，对于任意，都有2a恒成立，Ⅱa(0,2)x1,x2[4,0]f(x1)f(x2)4eme求m的取值范围15、已知函数f(x)lnxxa1（Ⅰ）若存在x(0,)使得f(x)0成立，求实数a的取值范围11（Ⅱ）求证：当x1时，在（Ⅰ）的条件下，x2axaxlnx成立222510.2构造新函数类ex16、已知函数f(x)mxalnxm，g(x)x2（Ⅰ）求g(x)的极值11（）设，若对任意的，Ⅱm1,a0x1,x2[3,4](x1x2)f(x1)f(x2)g(x1)g(x2)恒成立，求a的最大值（）设，若对，在区间上总存在，使得Ⅲa2x0(0,e](0,e]t1,t2(t1t2)成立，求的取值范围f(t1)f(t2)g(x0)m17、已知f(x)e2xln(xa)（Ⅰ）当a1时，f(x)在点(0,1)处的切线方程；当x0时，求证：f(x)(x1)2+x（）若存在，使得2成立，求实数的取值范围Ⅱx0[0,)f(x0)2ln(x0a)x0a118、已知函数f(x)2xalnx(aR)x（Ⅰ）当a3时，求f(x)的单调区间（），有两个极值点，其中，若Ⅱg(x)f(x)x2alnxg(x)x1,x2x1x2恒成立，求的取值范围g(x1)g(x2)tt26119、已知函数f(x)alnxx2ax有两个极值点2（Ⅰ）求实数a的取值范围（）设的两个极值点分别为，若不等式恒成立，求Ⅱf(x)x1,x2f(x1)f(x2)(x1x2)的最小值20、记max{m,n}表示m,n中的最大值，如max{3,10}10，函数f(x)max{x21,2lnx}，g(x)max{xlnx,ax2x}1（Ⅰ）求函数f(x)在[,1]上的值域23（Ⅱ）试探讨是否存在实数a，使得g(x)x4a对x(1,)恒成立？若存在，求a2的取值范围；若不存在，请说明理由121、已知函数f(x)x2，g(x)alnx2（Ⅰ）若曲线yf(x)g(x)在x1处的切线方程为6x2y50，求实数a的值h(x)h(x)（）设，若对任意两个不相等的正数，都有12恒Ⅱh(x)f(x)g(x)x1,x22x1x2成立，求实数a的取值范围1（）若在上存在一点，使得''成立，求的取值Ⅲ[1,e]x0f(x0)'g(x0)g(x0)af(x0)范围2722、已知函数f(x)lnxx2xa（Ⅰ）证明：当a2时，关于x的不等式f(x)(1)x2ax1恒成立251（Ⅱ）若正实数x,x满足f(x)f(x)2f(x2x2)xx0，证明：xx12121212122、已知定义在上的函数432在区间内有一个零点，23Rf(x)2x3x3x6xa(1,2)x0g(x)为f(x)的导函数（Ⅰ）求函数g(x)的单调区间（）设，函数，求证：Ⅱm[1,x0)(x0,2]h(x)(mx0)g(x)f(m)h(m)h(x0)02810.4导数中的函数不等式放缩例：证明：（1）exlnx2（2）exsinx124、已知f(x)ex1a(x1)(x1)，g(x)(x1)lnx（Ⅰ）若f(x)0恒成立，求实数a的取值范围（Ⅱ）若在（Ⅰ）的条件下，当a取最大值时，求证：f(x)g(x)25、已知函数f(x)exax2，曲线yf(x)在x1处的切线方程为ybx1（Ⅰ）求a,b的值（Ⅱ）求函数f(x)在[0,1]上的最大值（Ⅲ）证明：当x0时，ex(1e)xxlnx101526、证明：exx2282910.5导数中的卡根思想1例1：已知函数f(x)lnxax2(aR)2（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间（Ⅱ）若关于x的不等式f(x)(a1)x1恒成立，求整数a的最小值k例2：已知函数f(x)xlnx，f'(x)恒成立，求整数k的最大值ln(x1)1例3：已知函数f(x)xxlnx，若kZ，(k2)(x2)f(x)对x2恒成立，求k的最大值3027、已知函数f(x)lnx，h(x)ax(aR)（Ⅰ）函数f(x)的图像与h(x)的图像无公共点，求实数a的取值范围1m（Ⅱ）是否存在实数m，使得对任意的x(,)，都有函数yf(x)的图像在2xexg(x)的图像的下方？若存在，请求出整数m的最大值；若不存在，请说明理由x（参考数据：ln20.6931,ln31.0986,3e1.3956）28、已知函数f(x)lnxax2bx，g(x)xexb，f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y2x1（Ⅰ）求实数a,b的值（Ⅱ）求证：f(x)g(x)3110.6洛必达法则应用ln(x1)129、已知函数f(x)，若对任意的x0，f(x)kx2x1恒成立，求k的x2最小值30、已知函数f(x)(1kx)ln(x1)，若对任意的0x1，f(x)x恒成立，求k的取值范围31、已知函数f(x)alnxx2x（Ⅰ）当a0时，讨论f(x)的单调性（Ⅱ）当x1时，f(x)0恒成立，求a的取值范围3210.7先构造，再赋值，证明和式或积式不等式32、（2017全国卷Ⅲ理21）已知函数f(x)x1alnx（Ⅰ）若f(x)0恒成立，求a的值111（Ⅱ）设m为整数，且对于任意正整数n，(1)(1)(1)m，求m的最小值2222n33、已知函数f(x)(x1)lnxax2（Ⅰ）当a1时，求函数f(x)在x1处的切线方程（Ⅱ）若函数f(x)在定义域上具有单调性，求实数a的取值范围11111（Ⅲ）求证：...ln(n1),nN*3572n12x22xa34、已知函数f(x)ln(x1)，g(x)x2（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间及最值（Ⅱ）若对x0,f(x)g(x)1恒成立，求a的取值范围1111（Ⅲ）求证：...ln(n1)(nN*)3572n13335、已知函数f(x)a(x21)lnx（Ⅰ）若yf(x)在x2处取得极小值，求a的值（Ⅱ）若f(x)0在[1,)上恒成立，求a的取值范围1113n2n2（Ⅲ）求证：...ln2ln3lnn2n22n2x36、已知函数f(x)ln(1ax)(a0)x21（Ⅰ）当a时，求f(x)的极值21（Ⅱ）若a(,1)，f(x)存在两个极值点x,x，试比较f(x)f(x)与f(0)的大小21212n(n1)（Ⅲ）求证：n!(n2,nN)e237、已知函数f(x)axlnxx1(xR)，且f(x)0（1）求a；1111（2）求证：当nN*时，...2ln2n21n22n234n23410.8极值点偏移问题、已知函数x有两个零点，则下面说法正确的是（）38f(x)eaxx1,x2(x1x2)（）（）Ax1x22Bae（）（）有极小值点，且Cx1x21Dx0x1x22x0a39、已知函数f(x)lnx3有两个零点x,x(xx)x1212（Ⅰ）求证：0ae2（）求证：Ⅱx1x22a140、已知函数f(x)ax2(a1)xlnx,aR2（Ⅰ）讨论f(x)的单调性（Ⅱ）证明：当x(0,1)时，f(1x)f(1x)x+x（Ⅲ）若函数f(x)有两个零点x,x，比较f'(12)与0的大小，并证明你的结论12235141、设函数f(x)x2(a1)xalnx2（Ⅰ）讨论f(x)的单调性xx（Ⅱ）若f(x)b有两个不相等的实数根xx，求证：f'(12)012242、已知函数f(x)x2ln(xa)（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性（）若存在两个极值点，求证：无论实数取什么都有Ⅱf(x)x1,x2af(x)f(x)xx12f(12)22m143、已知函数f(x)lnx1的两个零点为x,x(xx)x21212（Ⅰ）求实数m的取值范围112（Ⅱ）求证：x1x2e3610.9多元变量消元思想144、已知函数f(x)lnax2x(a0)x（Ⅰ）若f(x)是定义域上不单调的函数，求a的取值范围（）若在定义域上有两个极值点，证明：Ⅱf(x)x1,x2f(x1)f(x2)32ln245、已知函数f(x)x21aln(1x)（Ⅰ）若函数f(x)为定义域上的单调函数，求实数a的取值范围f(x)f(x)（）若函数存在两个极值点，且，证明：12Ⅱf(x)x1,x2x1x2x2x146、已知函数f(x)lnxa（Ⅰ）若曲线g(x)f(x)1在点(2,f(2))处的切线与直线x2y10平行，求a的x值b(x1)（Ⅱ）若h(x)f(x)在定义域上是增函数，求实数b的取值范围；x1mnlnmlnn（Ⅲ）若mn0，求证：mn237axb47、已知函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为xy30x21（Ⅰ）求函数f(x)的解析式（Ⅱ）设g(x)lnx，当x[1,)时，求证：g(x)f(x)lnblna2a（Ⅲ）已知0ab，求证：baa2b248、已知函数f(x)lnxmx(mR)（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调区间321（Ⅱ）当m时，设g(x)f(x)x2的两个极值点x,x(xx)恰为221212xxh(x)2lnxaxx2的零点，求y(xx)h(12)的最小值1223810.10导数解决含有lnx与ex的证明题（凹凸反转）149、设函数f(x)lnxex,g(x)a(x21)x（Ⅰ）判断函数yf(x)零点的个数，并说明理由exex（Ⅱ）记h(x)g(x)f(x)，讨论h(x)的单调性xex（Ⅲ）若f(x)g(x)在(1,)恒成立，求实数a的取值范围2ex150、设函数f(x)exlnx，证明：f(x)1xx1151、设函数f(x)(1xxlnx)，证明：f(x)1exe2a52、设函数f(x)lnxxx（Ⅰ）当a2时，求f(x)的极值1（Ⅱ）当a1时，证明：f(x)x0在(0,)ex3910.11导数解决含三角函数式的证明53、已知函数f(x)sintanx2x（1）证明：函数f(x)在(,)上单调递增22（2）若x(0,)，f(x)mx2，求m的取值范围254、已知函数f(x)ln(exa)是实数集R上的奇函数，函数g(x)f(x)sinx是区间[1,1]上的减函数（Ⅰ）求a的值（Ⅱ）若g(x)t2t1在x[1,1]及所在的取值范围上恒成立，求t的取值范围lnx（Ⅲ）讨论关于x的方程x22exm的根的个数f(x)355、已知函数f(x)ax22xbcosx在点P(,f())处的切线方程为y224（Ⅰ）求a,b的值xx（Ⅱ）若f(x)f(x)，且0xx，求证：f'(12)012122（参考公式：coscos2sinsin）22、40x256、设f(x)cosx12（Ⅰ）求证：当x0时，f(x)0（Ⅱ）若不等式eaxsinxcosx2对任意的x0恒成立，求实数a的取值范围57、已知函数f(x)exsinx（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间（Ⅱ）如果对于任意的x[0,]，f(x)kx恒成立，求实数k的取值范围2201520171（Ⅲ）函数F(x)f(x)excosx,x[,]，过点M(,0)作函数F(x)222的图像的所有切线，令各切点的横坐标构成数列，求数列的所有项之和的值{xn}{xn}S58、已知f(x)sinxcosxax（Ⅰ）若f(x)在[,]上单调，求实数a的取值范围222（Ⅱ）证明：当a时，f(x)1在[0,]上恒成立4110.12隐零点问题59、设函数fxexax2.（Ⅰ）求fx的单调区间；（Ⅱ）若a1，k为整数，且当x0时，xkfxx10，求k的最大值.60、已知函数fxexlnxm.(Ⅰ)设x0是fx的极值点，求m,并讨论fx的单调性；(Ⅱ)当m2时，证明fx0.261、已知函数fxx3x2ax1在1,0上有两个极值点x、x，且xx.31212(Ι)求实数a的取值范围；11(Ⅱ)证明：fx.2124262、已知aR，函数fxexax2；gx是fx的导函数.1（Ⅰ）当a时，求函数fx的单调区间；2（）当时，求证：存在唯一的1，使得；Ⅱa0x0,0gx002a（Ⅲ）若存在实数a,b，使得fxb恒成立，求ab的最小值.63、已知函数fx2xalnxx22ax2a2a，其中a0.（Ⅰ）设gx是fx的导函数，讨论gx的单调性；（Ⅱ）证明：存在a0,1，使得fx0在区间1,内恒成立，且fx0在区间1,内有唯一解.4310.13端点效应64、（2007全国Ⅰ卷理）设函数f(x)exex，若对所有x0，都有f(x)ax，求a的取值范围65、（2012天津理）设函数f(x)xln(x1)，若对任意的x0，有f(x)kx2，求实数k的最小值66、（2012大纲理）设函数f(x)axcosx,x[0,]，设f(x)1sinx，求a的取值范围67、（2016全国Ⅱ卷文）已知函数f(x)(x1)lnxa(x1)，若对x(1,)时，f(x)0，求a的取值范围4410.14其它省市高考导数真题研究11ax（2008江西理22）已知函数f(x),x(0,)1x1aax8（Ⅰ）当a8时，求f(x)的单调区间（Ⅱ）对于任意正数a，证明：1f(x)2lnx（2008辽宁理22）设函数f(x)lnxln(x1)1x（Ⅰ）求f(x)的单调区间和极值（Ⅱ）是否存在实数a，使得关于x的不等式f(x)a的解集为(0,)