晶格旋转对称轴的几种证明方法
θ=π/2, π/3, 0 格还具有旋转对称性。但是, 晶格不具备五度和六
度以上旋转对称轴。下面笔者用不同的方法证明晶 ( ) 转角 2θ' ?π/2
格不具备五度及六度以上旋转对称轴的特性。 这时通过 处的 轴逆时针转过 角后, A O θ' B1 双转轴证明法 到 ; 如绕通过 处的 轴顺时针方向转过 B' B O θ'
后, A 点转到 A' 。因为 A' B' 平行于 AB, 得 ( ) ( )A' B' =AB[1+2cosπ- θ' ]=AB1- 2cosθ' 经过转动后, 要使晶格能自身重合, 则 A' 、B' 须是格点, 并且 A' B' 必是 AB 的正整数倍。所以 , , θ' =π/22π/3π 综上所述, 旋转角 可写成 , 并且 只θ2π/nn 2, 3, 4, 6, n 就称为转轴的次数或度数。因此晶体
可具有1, 2, 3, 4, 6 度转轴。 图 1 双转轴证明法示意图 2 单转轴证明法 如图 1 所示, B、A、B、A是晶体中某个晶面( 纸 11
面) 上的一个晶列, AB 是这个晶列上相邻两个格点 的距离。如果晶格绕通过格点 A 并垂直于纸面的 O
轴转角后, 能自身重合, 则由于晶格的周期性, 通过 格点 B 也有一个旋转轴 O。可分两种情况来讨论。
( 1) 转角 0?θ?π/2 通过 A 处的 O 轴顺时针方向转过 θ后, 使 B1
点转到 B' ; 通过 B 处的 O 轴顺时针方向转过 θ角 图 2 单转轴证明法示意图 后, A点转到 A' 。经过转动后, 要使晶格能自身重 1 2 所示, A 和 B 是一晶列上 O 格点的两 如图 合, 则 A' 、B' 点必须是格点。由于 A' B' 和 AB 平行,最近邻格点。如果绕通过 O 点并垂直于纸面的转 A' B' 必须等于 AB 的正整数倍, 而 逆时针转动 θ角后, 晶格自身重合, 则是由于 B ( )A' B' =AB1+cosθ点转动到了 B' 点, B' 处原来必定有一格点。如果 因此 绕过 O 的这一转轴顺时针转动 θ角, 晶格又恢复
收稿日期: 2007- 10- 10
作者简介: 范庆华( 1976- ) , 河北邯郸人, 研究方向为凝聚态物理。
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"未转动时的状态。顺时针转动 θ角, A 处格点转到 s 则位于纸面, 如图 3 所示。 令晶格垂直于纸面, 格
A' 处。因此可知, A' 点原来必定有一格点。可以把格 绕 O 轴转动一个角 θ=2π/n, 这个操作记 点想象成分布在一簇相互平行的晶列上。由图可知, 为 C。在 C的作用下, 格点 A 就转到 P 点。如果 C是 nn n
晶格的一个对称操作, 则 P 点亦应为一个格点。即 A' B' 晶列与 AB 晶列平行, 平行的晶列具有相同的 "#"周期。设其周期为 a, 则有 Cs=OP 亦为一个格矢。同理, 令晶格绕 O 轴逆转一n
个 A' B' =2a|cosθ|=ma"#" - 1 - 1 角 θ( 记作 C) 。格点 A 就转到 P' 点。且 Cs =OP' 亦n n 其中 m 为正整数。由上式及余弦的取值范围, 可得 为格矢。由图可知: |cosθ|=m /2?1 "" 2π 得出 - 1 Cs +C s =( 2cos ) sn n n m=0?θ=π/2, 3π/2 m=1?θ= ""π/3, 2π/3, 4π/3, 5 m=2?θ=亦为一格矢, 其方向与格矢s 方向相同。由于s
π, 2π " 是该方向上最短的格矢, 所以, 合矢量应为s 的整数 因 为 顺 时 针 ( 或 逆 时 针 ) 旋 转 , , 3π/24π/35π/3倍。即
分别等价与逆时针( 或顺时针) 旋转 , , ,π/22π/3π/3 2 π ( 2cos ) =m 所以晶格对称转动所允许的独立转角为 , , 2ππ2π/n
, , 。写成通式则为3π/2π/3其中 m 为整数。
, , , , , 2π/nn=12346 2π 由 于 cos 只 能 取 ( 1, - 1) 之 间 的 值 , 所 以 m称 n 为转轴的度数。因此晶格的对称性不允许有五 n
度及六度以上的对称轴。 只能取( - 2, 2) 之间的五个整数值, n=1, 2, 3, 4, 6。由
此, 证明了晶格不存在五度及六度以上的对称轴。
3 保持一点不动证明法 结论4 取晶格中任一格点 O, 过 O 的轴称作轴, 在垂 综上所述, 上面三种方法证明了晶格不具有五 直于 O 轴的方向上取与 O 点最近邻的格点 A, 其格 度及六度以上旋转对称轴。虽方法不同, 但都是基于"#"晶体具有平移对称性这一基本性质的基础上。通过 矢s =OP 即为该方向上最短的格矢。为方便, 可取轴
对证明方法的讨论, 可以加深对晶体对称性的理解。
参考文献
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Th e P r oofs of Vor t ica l Sym m e t r y Axis of Cr yst a l La t t ice
FAN Qing- hua
( South China University of Technology, Guangzhou 510640)
Abstract: The article uses three different ways to proof that there is nonexistence of 5-fold and upwards of 6-fold symmetry axes in the crystal lattice.
Key words: crystal lattice; vortical symmetry; symmetry axis
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