三角函数解题技巧和公式

三角函数解题技巧和公式 数学 浅论关于三角函数的几种解题技巧 本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下: 一、关于的关系的推广应用: sin,,cos,与sin,cos,(或sin2,) 222(sin,,cos,),sin,，cos,,2sin,cos,,1,2sin,cos,1、由于故知道 ，必可推出sin,cos,(或sin2,)，例如: (sin,,cos,) 333sin,,cos,,,求sin,,cos,例1 已知。 3 3322sin,,cos,,(sin,,cos,)(sin,，sin,cos,，cos,) 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 :由于 2,(sin,,cos,)[(sin,,cos,)，3sin,cos,] 其中，已知，只要求出即可，此题是典型的知sin-cos，求sin,,cos,sin,cos,,,sincos的题型。 ,, 2(sin,,cos,),1,2sin,cos, 解:? 31121,2sin,cos,,(),,sin,cos,, 故: 333 332sin,,cos,,(sin,,cos,)[(sin,,cos,)，3sin,cos,] 3313142,[()，3，],，,3 333339 2、关于tg+ctg与sin?cos，sincos的关系应用: ,,,,,, 22,,,,sincossincos1，，,,由于tg+ctg= ,,cos,sin,sin,cos,sin,cos, 故:tg+ctg，，sincos三者中知其一可推出其余式子的值。 ,,sin,,cos,,, 例2 若sin+cos=m，且tg+ctg=n，则m n的关系为( )。 ,,,,22 222222mn,A(m=n B(m=，1 C(, D( 2nnm 分析:观察sin+cos与sincos的关系: ,,,, 22(sin,，cos,),1m,1, sincos= ,,22 1 数学 1,,而: tg，ctg,,nsin,cos, 2m,1122,,m,，1故:，选B。 2nn ,,,例3 已知:tg+ctg=4，则sin2的值为( )。 1111 A( B( C( D( ,,2244 11,,分析:tg+ctg=,4,sincos, ,,sincos4,, 1sin2,2sincos,sin2, 故:。 答案选A。 ,,,,2 二、关于“托底”方法的应用: ,在三角函数的化简计算或证明题中，往往需要把式子添加分母，这常用在需把含tg(或 ,,,ctg)与含sin(或cos)的式子的互化中，本文把这种添配分母的方法叫做“托底”法。方法如下: ,,sin,3cos,例5 已知:tg=3，求的值。 2sin,，cos, ,sin,,,分析:由于，带有分母cos，因此，可把原式分子、分母各项除以cos，tg,cos, ,,“造出”tg，即托出底:cos; ,,解:由于tg=3 ,,,k,，,cos,,02 ,,sincos,3,,tg,33,3,,coscos 故，原式= ,,,0,,sincostg,2，12，3，12,，coscos,, 三、关于形如:的式子，在解决三角函数的极值问题时的应用: acosx,bsinx 可以从公式sinAcosx,cosAsinx,sin(A,x)中得到启示:式子与上述公式acosx,bsinx有点相似，如果把a，b部分变成含sinA，cosA的式子，则形如的式子都可以acosx,bsinx变成含sin(A,x)的式子，由于-1?sin(A,x)?1， 所以，可考虑用其进行求极值问题的处理，但要注意一点:不能直接把a当成sinA，b当成cosA，如式子:中，不能设sinA=3，cosA=4，考虑:-1?sinA?1，-1?cosA3cosx，4sinx ?1，可以如下处理式子: ,,ab22,,acosx,bsinx,a，bcosx,sinx ,,2222a，ba，b,, ab22()，(),1由于。 2222a，ba，b basinA,cosA,,cosA,,1,sinA故可设:，则，即: 2222a，ba，b 2 数学 2222? acosx,bsinx,a，b(sinAcosx,cosAsinx),a，bsin(A,x) 无论取何值，-1?sin(A?x)?1， A,x 222222?? a，bsin(A,x),a，ba，b 2222?? 即:acosx,bsinx,a，ba，b 下面观察此式在解决实际极值问题时的应用: 例1(98年全国成人高考数学考试卷) 2y,3cosx,sinxcosx求:函数的最大值为(AAAA ) 331,1，3,13，1 A( B( C( D( 22 112分析:，再想办法把变成含的式子:sinxcos,,2sinxcosx,sin2xcosxcso2x22 cos21x，22cos22cos1cos x,x,,x,2 cos2x，11于是: y,3,,sin2x22 331,cos2x，,sin2x 222 313,(cos2x,sin2x)， 222 31312222由于这里: a,,b,,则a，b,()，(),12222 313y,1，(cos2x,sin2x)，? 222 3 31a2设: sin,cosA,,,则A,22122a，b 3y,sinAcos2x,cosAsin2x，? 2 3,sin(A,2x)， 2 331，,1，无论A-2x取何值，都有-1?sin(A-2x)?1，故?? y22 3 数学 31，?的最大值为，即答案选A y2 三角函数知识点解题方法 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式 一步到位转换到区间(-90º，90º)的公式. kk 1.sin(kπ+α)=(-1)sinα(k?Z);2. cos(kπ+α)=(-1)cosα(k?Z); kk 3. tan(kπ+α)=(-1)tanα(k?Z);4. cot(kπ+α)=(-1)cotα(k?Z). 二、见“知1求5”问题，造Rt?，用勾股定理，熟记常用勾股数(3，4，5)，(5，，13)，(7，24，25)，仍然注意“符号看象限”. 12 三、见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式: 2222 1.sin(α+β)sin(α-β)= sinα-sinβ;2. cos(α+β)cos(α-β)= cosα-sinβ. 四、见“sinα?cosα与sinαcosα”问题，起用平方法则: 2 (sinα?cosα)=1?2sinαcosα=1?sin2α,故 22 1.若sinα+cosα=t,(且t?2),则2sinαcosα=t-1=sin2α; 22 2.若sinα-cosα=t,(且t?2),则2sinαcosα=1-t=sin2α. 五、见“tanα+tanβ与tanαtanβ”问题，启用变形公式: tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考:tanα-tanβ=,,, 六、见“求最值、值域”问题，启用有界性，或者辅助角公式: 22222 1.|sinx|?1,|cosx|?1;2.(asinx+bcosx)=(a+b)sin2(x+φ)?(a+b); 222 3.asinx+bcosx=c有解的充要条件是a+b?c. 2.2x=(x+y)+(x-y);2y=(x+y)-(x-y);x-w=(x+y)-(y+w)等 角函数公式 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB 4 数学 sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB- cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 公式 倍角 tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2] cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2 sin2A=2sinA*cosA 半角公式 sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) ) 2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB 积化和差公式 5 数学 sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)] sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)] 万能公式 sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2)) cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2)) tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2)) 倒数关系: 商的关系: 平方关系: tanα ?cotα,1 sinα ?cscα,1 cosα ?secα,1 sinα/cosα,tanα,secα/cscα cosα/sinα,cotα,cscα/secα sin2α，cos2α,1 1，tan2α,sec2α 1，cot2α,csc2α 6