幂级数求和函数的类型与解法
幂级数求和函数的类型与解法 N0.9.2010
北京电力高等as科学校
BeijingElectricPowerCollege教育研究回
幂级数求和函数的类型与解法
邓俊兰李鑫
(南阳师范学院数学与统计学院,河南南阳473061) 摘要:幂级数求和函数是级数这一章的重点和难点.根据多年教学经验,对幂级数
求和函数
总结
初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf
出四种常用类型及其解法.
关键词:幂级数;和函数;几何级数
中图分类号:Ol一0文献标识码:A文章编号:1009—0l18(2010)一09—0137—02
幂级数是微积分中十分重要的内容之一,而求幂级数的 和函数是一类难度较高,技巧性较强的问题,对于学生来说 是一个难点,因此有必要对幂级数求和函数这类问题进行研 究探讨.求解幂级数的和函数时,常通过幂级数的有关运算 (恒等变形或
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
运算)把待求级数化为易求和的级数(即常 用级数,特别是几何级数(又叫等比级数)?),求出转化后 的幂级数和函数后,再利用上述运算的逆运算,求出待求幂 级数的和函数.本文总结了幂级数求和函数问题的四种常 见类型,并给出了各种类型下的解法.
一
,类型一:通过恒等变形化为常用级数的幂级数求和 函数S(x)
计算幂级数的和函数,首先要牢记常用级数的和函数, 在此基础上,借助四则运算,变量代换,拆项,分解,标号代换 等恒等变形手段将待求级数化为常用级数的标准形式来求 和函数.其中,常用级数的和函数为:击,备=ex,
薹(_1)nX2n~l:sirtt南----"COSX善(_旷Xn=In(1 例l求喜的和函数).
解:容易求得收敛域为(一..,+o.),则和函数)定义域 为(一00,+?).
南+蓦鲁萎吾+刹踟,
(oO<X<q-oO). 二,类型二:求P()的和函数),其中尸(")为"的多 项式
(一)解法:1,用先逐项积分,再逐项求导的方法求其和 函数.积分总是从收敛中心(?P(,1)收敛中心为0, ?P()(一)傲敛中心为莉)到积分;2,也可化为几何级数 的和函数的导数而求之,这时不必再积分. (二)基本题型:求级数????nx???
?n(n+1)x的和函数x).
因?,?司直接利用的结论求得,回仅给出,的 求解过程.
解?(法一)收敛域为(.1,1),对级数逐项积分再逐项求 导:
?=喜出=喜=.
?=(f)(=而11)o
(法二)将级数化为几何级数的和函数的导数而求之: 艺c=y=(善]=(xJ'=而1n=-In=-Ic一?<\月I\^/,1一^, ?(法一)收敛域为(.I,1),在收敛域内对级数先逐项积 分两次,再逐项求导两次求之:
=
耋(n+1)出=(+1)曾厂()
=
喜川="=苦
=
叫=(=砑2x-x2(-1)
所州_(】=
(法二)更简便的是将级数化为几何级数的和函数的导 数而求之:
=
喜n(n+1)xk,n=l()=?(:{?I=II=(一11Hl/,?l—- (三)结论:=o卜(-11)(1)
nx"=S
r~4(喜一(-l1)(2)1U—,
取"=o)=x2ZnxX-(-1<1)(3)
")而2(-1<1)(4)
-1'l—J
例2求+1)的和函数).
解:由(4)式得:.n+m砉"+l百,
(.1<<1).
例3求nz的和函数.).
解:敛域(.1.1).可先诼项积分两次再诼项求导两 作者简介:邓俊兰(1981-),女,陕西人,学士,河南省南阳市南阳师范学院数学与统计
学院助教;李鑫(1979一),男,河南南阳
人,助教,硕士,从事数学教育,图像处理等研究. 137
No.9.2010
北京电力高等专科学校
BeijingElectricPowerCollege教育研究画 求之,过程略:也司化为儿伺级数和函数的导数求之: ()=?n=?n(n+1)x-Z眦一=?()一?() =
(]一(驯=(一(]=尚.
三,类型三:求的和函数),其中Q)为的多
项式
(一)解法:1,对级数先逐项求导,再逐项积分求其和函 数),积分时,不要漏掉0)(或.))的值,即
()=)出+(0);2,也可化为几何级数的和函数的积分 求之.
(二)基本题型.求?喜?善喜Xn-I的和函数 因?,?可直接利用?的结论求得,下面仅给出?的求 解过程.
解:?(法一)收敛域为[.1,1),对级数在收敛区间(一1,1)
内先逐项求导,再逐项积分的方法求和函数): )==x~l_11).
则)=o)出+(0)=l_出+0=一1n(1一)(一11) 由和函数)在收敛域内连续得:?n=l 兰_
?1
O)=-ln(1一)
(一1<<1)
(法二)化为几何级数的和函数的积分求之: n=l17
=
o)'出n?
(一l<x<1)
(法三)化为常用级数的标准形式求之: 喜等=)=与(_y=一.(_if-,(_y:一n(一)
(1<x<1)
(二)结论:)=一n(1一)(一1<1)(5 mxn+l
=
)=喜等=-xln(1一)(一1<1)(6)
砉睾'
例4求【_的和函数).
解:收敛域为[一1,1],可以对级数先逐项求导两次,再逐 项积分两次的方法求和函数),方法与上类似,过程略,也 可直接利用上面的结论(5),(6),则当(一1?<1)时, —
芝一1:(n(1I,n(n+1)nn+1 138
由)在收敛域内连续得:
善丽xn+l)=?,一.
四,类型四:求含阶乘因子的幂级数的和函数s(x) (一)分解法:将幂级数一般项进行分解等恒等变形,利 用,sin及COS的幂级数展开式,求其和函数.一般分母的 阶乘为!的幂级数常用的展开式来求其和函数;分母的 阶乘为(2+1)!或(2)!的幂级数常用sinx及COSX的展开 式来求其和函数.求和过程中要注意利用标号变换,将待求 级数化为e,sin及COS的幂级数展开式的标准形式. (二)逐项求导,逐项积分法
(三)微分方程法:含阶乘因子的幂级数(特别是形如 盂2,3……))的和函数),常用解满足的常微分 方程的初值问题而求之.为此先求收敛域,求出和函数的各 阶导数以及在点0处的值,建立)的常微分方程的初值问 题,求解即得所求和函数.
例5求NNN~S(x).
=0
解:(法一)
)喜志X2n鲁
=2x喜鲁t+砉鲁=z+e(一佃)=一+兰—一=2g+ef一?<<+?,!!,
(法二)收敛域为(一..,+..),
=
薹dx==薹鲁…
则)=l(f)I:(P)=2P+(一..<+..
(法三)转化为S(x)的常微分方程的初值问题:
()一2xS(x)=4xe,(O)=1,解微分方程,得()=2xPz+P (.oO<X<+oO)
要掌握幂级数求和函数需要记住常用级数的和函数,以 及本文所总结的四种基本类型及其解法,很多题都可以化为 本文中的基本类型.此外,很多题还可以一题多解,要注意 积累总结.
参考文献:
[1]朱来义.微积分[M].北京:高等教育出版社,2004. [2]同济大学数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2007