单模高斯光束在自聚焦光纤中的传播分析

单模高斯光束在自聚焦光纤中的传播 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 Ξ 单模高斯光束在自聚焦光纤中的传播分析 王建华 ()华东船舶工业学院 电子信息系 摘 要 根据高斯光束在均匀介质中的传播特点, 用几何光学方法阐述了自聚光纤的原理, 分析了一束单模高斯光束在自聚光纤中的传播行为, 说明这种中心折射率大, 四周逐渐减小光纤具有自聚焦能力。 关键词 光纤通信; 折射; 透镜 中图法分类TN 929. 11 ′ ?5E 引 言A × H = ?5t ψ5H A × E = -Λ ()1 光纤通信技术发展非常迅速, 在短短的 20 多年 5t ψ时间里, 就完成了以基础研究到大规模应用过程。 光 ()A r ? E = 0 ? 纤通信以短距离、低速率到长距离、高速率; 以多模通 ()ΛH = 0r A 信发展到单模通信。 在光纤中传播的光是光束, 最有代 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 性的是单模 若电磁场是单色时谐的, 即()光束 。 光束在传播过程中由于衍射 Gau ssian B eam it() () ()?x , y , z , t= R e?x , y , z e 2 (的原因, 光束的截面将逐渐扩展, 自聚焦光纤 SEL F 2 时, 则由麦氏方程组可直接推得亥姆霍尔兹方程即( ) 是一种新型光纤, 由于它本身折射率 经 O C F IB ER 方程:H e lm ho r tz ) 向分布的渐变特点, 以起到类似于透镜聚焦的作用, 2 2 ()3 A ?= K ?= 0 () 因此也叫类透镜 光纤, 光束在这种光 L EN SL IT K E ψ ? (式中 是场量 , 的任意分量 即 , , , ,?E H E x Ey E z H x 纤中传播可以不断地被聚焦, 使传送的图象畸变小。 )和 中的任一个。 H y H z 2 2 在非均匀及非完纯k = w ΛΕ 介质中 将是位置的函数, 而且 是复数。毫无疑问K , 1 高斯光束在均匀介质中的传播() 单模高斯光束也应符合 3式。做 为试探解, 设光束方程有如下形式: 单模高斯光束的特点是: 在垂直光束传播方向的 - iK Z ()() 4 ?=?x , y , z e剖面上, 光强的分布有轴对称性, 而且按高斯函数即 0 it ()我们已将时间因子 略去了。 式中 代表波束中e?0 2 r2 2 w () e 场量的振幅。 显然, 在波束 即非无界平面波的条件 的形式分布。 其中 是该点到光束中心的距离, 每一 下 是坐标的函数, 这是因为: ?如前所述, 在单模r ?0 2 r1 2 2()2 x + y 2 2w w ( 个剖面上是一个常数 后面可以看到它表示为光 w 而变; ?随着高斯光束中 ?0 应按因子 e = e ) 束截面的粗细。 波束的传播, 波束宽度将产生变化, 因而即使不计介 ( 在无自由电荷的均匀无界介质中, 麦氏方程组 质的吸收, 也会随 而变 尽管这种变化是缓慢?0 Z 为: )的。 因此, 可以假定 有如下形式:?0 2 () - f z r()() () 5 ΥZ e?x , y , z = 0 Ξ 1998- 10- 22 收稿, 1999- 05- 13 修改定稿 19 第 3 期王建华: 单模高斯光束在自聚焦光纤中的传播分析 1 2 2 2 () 3式可写做:若采用圆柱坐标系 ( ) 幅已减小为光束中心 即 = + = 0处的 . 因rx y e 2 2 1 1 5 5?5 ? 5 ?2 ( ) () A ?= r ++ 此, 习惯上用表示光束在该剖面的粗细, 叫做 W z 2 2 2r 5r 5r r5Υ5z () () () 光斑尺寸 , 它按 9式随 变化。从 9式Spo t S izeZ () ( ) 将4式代入 3式, 并考虑 与方位角 无关, 以及?Υ 2 () 可以看出的最小值是. 通常把光束最细的W z W 0 5 ? ?0 随 Z 变化是极缓慢的, 因而 =0, 并可以略去2 ( ) ( 地方 [ 即= 处 ] 叫做光束的腰部 5ΥW z w 0 W a ist o f2 ?50 ) , 一般把坐标原点选在该处。th e B eam .2 5Z( )2 因子 它是光束的相位, 这样光束的等相面Υ 2 5??5?5 0 0 0 1 - 得= 0+ 2 ik 方程是2 5rr 5r 5Z2 2 ()k x + y () 将5式代入上式, 则有:K Z + Α= 常数, - Υ= 2 kw 0 2 2 2 ( ) ) 2z 1 + () (= 0,]′2+ ′- 2+ j k ΥΥf ik Υf rΥf 2z ) () (z d Υz df 式中 f ′= , Υ′= 若 r 取任意值上式皆成() 14d z d z () ( ) ( ) 由11式和 14式可知: 在光束的腰部 = 0截面 Z 立, 则必须:上各点的 都是零, 也就是说腰部的等相位面是平 Υ2 2f + ik f ′= 0面。 在其它地方是曲面, 可以证明: 当| | µ 时 Z KW ()6 2Υf + ik Υ′= 0 () 即远离腰部处, 等相面是以腰部为球心的球面。 在均匀各同性介质中, 光线方向总是与等相面垂 () () () 若6式有解, 则5式即为所求的光束方程。由 6式 直的, 可以证明: 光线是双曲线族。 这样, 在均匀同性 不难求得: 介质中, 高斯光束的传播特点可以用图 1 表示。 1 2z () () ()f z = 1 + i 7 2 2()w z kw 0 Υ0 ()() 8 Υz = 2z 1 - i 2kw 0 () 注: 参看郭硕鸿《电动力学》 2 () () 是解 时的积分常数; 是解 时式中= 0 f z Υ0 ΥZ w A 的积分常数。 2z2 2 2 图 1 高斯光束的传播 ) ( () ] ()w z = w 0 1 + 9 2kw 0 2 ( ) +( 利 用关于复数的对数的知识: + = ln a ln a j b图中 Η为光束的半张角, 由图可看出 1 2z b 2- 1 () 2 w z ( ) ) + , 并令 = 1, = -, 8式可改写bitga b 2= , tgΗ a kw 0 Z 为:2 ()() 由9式可知当 µ 时, 0 z ? 2z kw 0 代入上式ƒZ kw W W 0 j a ( ) () 得:Υz =10 Υe 0 W 2 2z tgΗ?, ()11 式中 = Αa rc tg 2kw 0kw 0 即光束腰部尺寸 越大则 越小, 到??则 ?W 0 Ηw 0 Η() () () 710式代入 5式并整理后得:将 2 - r 0, 这就是无界均匀平面波的情况。W 0)(w z - i? 2 ()?= Υr e12 e0 0 , () Wz 2 k r ()式中 = +- 13 ΥK Z Α 2 kw 0 2 ( ) ]2z 1+ 2 自聚焦光纤的原理2z () 现在我们来看12式告诉我们什么? 2 - r W 0()w z 2 将光频电磁波用金属波导传输实际上是不可能( ) 1因子 e显然它表示光束中 平 Υ0 Z () z W的, 因此只能采用高透明度的“介质波导”。 利用有被 面上各点场量的振幅, 可看出它随 值而变。在某一 Z 覆的均匀光纤当然可以依靠内全反射的原理将光束 确定的 平面上, 随该点到光束中心轴的距离 的平 Z r 由一端传到另一端, 但是也有缺陷。 这就是由于光进 方而变, 就是高斯光束特点。 ( 行的线路不同 由不同的入射角引起的, 如图 2 所 () () 从 12式可看出, 当 = 时, 该点场量的振rW Z 桂林电子工业学院学报 20 1999 年 9 月 ) ( 示, 因而形成的相位偏移不同而产生畸变。为了克服为光线通过透镜点时产生的相移 相对于其中 ? Υ1 O ) 点, 两式相等得: 这种缺陷可利用一系列的透镜进行聚焦, 形成透镜波 A Π2()导。L en s w a re gu ide ) ( ? Υ= s - f =1 Κ 1 Π k22 2 2 2 ) ( ()] , 16 [ r+ f - f ?rΚ2 f Π 2( ) 式中 = ,为空气中 k Κ近似真空中 的波长。 Κ 由以上理论可以设想: 若光纤的折射率不是均匀 的, 而是有如下特点: c 2 ( ) ()r] , 17 n r= n 0 1 - 图 2 不同光程产生波形畸变2 其中 为光纤轴线上的折射率, 为距轴线 处的折 n 0 n r 采用透镜列的优点是不产生由于光程差别而产射率, 是表征光纤折射率渐变程度的常数。 中心折 c 生的畸变, 因为沿透镜中心直线而前进的光线穿过透 射率最大。那么一条光线在这样的光纤中传播 距d z 镜上最厚的部分, 而偏离透镜中心的光线虽然行程较 离产生的相移将是:长, 但它却是穿过透镜上最薄的地方, 结果它们的光 c 2 () 程恰好是一样的。 自聚焦光纤正是 O p t ica l L en g th ? Υ= k r n d z = n 1 -, r ]k d z0 2 基于这种原理而设计的, 因而也叫类透镜光纤。 显然它是该点到轴的距离的二次函数, 因而这样的光按照几何光学原理, 会聚透镜的聚焦性能可归结 纤具有与透镜相同的作用, 这就是把它叫做类透镜光 为沿穿过透镜上的任意光线的光程? 是 的二次 n ds r () ( ) 函数, 其中 = , , = , 是光线所经各点的 n n x y z n rz 纤的原因。下面来分析光线在这种折射率渐变的光纤 折射系数: 轴为透镜的主光轴, 是光线上某点 O Z r 中传播的行为。 根据几何光学原理, 一条光线在非均 到 轴距离。以上原理也可从另一角度表述为: 某光 Z 匀媒质中传播的行为可用如下方程描述: ( ) 线穿过 薄透镜时产生的相移 是透镜上该点到 ? 5 d d R ( 主光轴的距离 的二次函数。 可以简单证明如下 见 r ()A n , [ n =18 d s d s ) 图 3: 式中 为从光线上某点到光线上任意点 沿光线测 s P ?量的距离, 为 点的位置矢量。 在近轴光线的具体R P d d ( ) 情况下“”可以近似用 代替, 并将 17 式代入d s d z () 18式得: 2 d r ()19 c r = 0 , +2 d z 式中 为光线上一点到轴的距离。 r O Z 上式的一般解为: ()20 r = a. co s c Z + bsin c Z 图 3 光线通透镜产生相移式中 , 为积分常数。 为确定 , 之值, 令 = 0 处 a b a b Z () 例如在光线进入光纤的一端, 此光线到光纤中心的 d r ′为一凸透镜, 焦距为 , 有一束与主光轴平行的 A B f 0 () | = 0 , 由20式得:距离 = , 其斜率 = 0 rrr0 r d z 光线投射于透镜上, 则必定会聚于主焦点 . 根据关 F sin c Z + co s c c r′= - ab c Z (于几何光学的马吕—杜宾定理 M a lu s D up in T h eo 2 ) 穿过透镜上不同点到达 点的各条光线的相 , rem F ()21 移相同。具体说: 通过点到达 点的光线和通过A F O 将边界条件代入可得:点到达 点的光线相移相同。 设空气的相对折射率 F 1 b = a = rr′0 0 为 1, 则两条光线的相移分别为: c () () 这样 20式和 21式可写做: s 点到 点 = 2经 A F ? Υ1 Π 1 Κ() () ( ) r z = co s sin c Z r′c Z r0 +0 c of f 经点到 点 = 2+ = 2+ O F ? Υ2 Π? Υ1 Π? ?2 ()ΚΚ22 21 第 3 期王建华: 单模高斯光束在自聚焦光纤中的传播分析 若电磁场是时谐的,() ( ) () c sin co s c Z r′r′z = -c Z r0 +0 ψ οψ ο jw t () ( ) E r, t= R eE re ()23 ( ) 显然各分量 其单位矢量与坐标无关的那些分量适 从上面公式可以看出, 入射于这种光纤一端“子午光” 合标量形式的 方程:H e lm ho ltz (即入射面包括光纤轴线在内的入射 m e r id io n a l ray 2 2 ( ) ()A ?+k r?=0 26 ) 光线在光纤中的“轨迹”是正弦曲线, 如图 4 所示。 2Πn () 式中 = , 由25式得:k Κ0 2 2 2 (())k = k 1 - 27a c r 0 () 或因 很小: C 1 2 ()() c r27b k = k 0 1 -2 2Πn 0 () 式中 = , 因而 26式可写如下形式: k 0 Κ0 图 4 入射自聚光纤中的子午光线的“轨迹” 2 2 2 ()( ) 28 A ? + k 0 1 - c r ?= 0 . () 由22式可以求出其空间周期 L为() 设28式有如下形式的解: - k z( ) ( ) ()29 ?r, z = ?0 r, z e 1 ()24 L = 2Π. 上式中因光线按无界处理, 故相移常数暂取做 . 上 K c 式中 和 中不含 , 是因为我们只考虑单模情况。 ??0 ? () 代入 28式得: ( ) 顺便指出: 若 17式中的常数为负时, 即中心折2 5 ?5?5?00 0 1 ()30 射率小, 则这种光纤不再聚焦而是发散的了。 实际+2 j k-2 r 5r 5z 5r 上光在光纤中这种会聚或发散效应在均匀 上式中考虑到 是 的缓变函数, 以及常数很小,?0 Z C 介质中也会产生。例如光强分布有高斯光束特点的激 故取 ( 2 光在光纤中传播时, 由于介质的吸收作用 尽管这种 5?5k 0 =0; =0 2 2 ) 吸收是很轻微的, 介质温度 要发生变化, 而折射 T 5r 5z (率 也发生变化。 如果 ƒ< 0, 则因光轴处吸收 n d n d T 与第一节相似, 考虑到高斯光束的特点, 再设 取以?0 发热最厉害, 结果中心处 最小, 因而呈发散效应。反n 下形式; ) ( 之, 如果 >ƒ0 例如某些铅玻璃则会出现会聚d n d T 2 () - f z r 效应。() 5 ?=z e 0 () 代入 30式得: 4 2 2 () j ck 0 Υf ′r-4f Υ+ 2 j k Υf ′+ j ck Υ′r+0 0 3 高斯光束在自聚焦光纤中的传播特 () 4f Υ+ 2 j k 0 Υ= 0 点 f Υdd () () 若上式在 式 中 = , = , ′= , ′= f f z ΥΥz f Υrdz dz 以上是用几何光学方法分析了聚焦光纤的原理。 , 则必有:取任意值时都成立 ( ) 以下用第一节的方法分析一束 单模基模高斯光束 ()d f ′= 031. a 在自聚焦光纤中行为。 2 () 4f Υ+2 j k Υf ′= j ck Υ′=0 31. b 0 0 我们的目的仍在于分析自聚焦光纤的“聚焦”作 ()4f Υ+2 j k Υ′=31. c 0 0 用, 为了突出主要之点, 假定光纤很“粗”, 以至光束在 ( ( ) ) 因 不能为零 = 0, 则 ?0, 0故由 31. 式?5 5 ?0 ?a 未扩展到边界以前即被聚焦, 这样仍可以不涉及光纤 () () 知 ′= 0 . 这样 31. 31. 式可写做: f b c 2 边界问题。 ()4+ = 0′32. f ΥJ ck 0 Υa 2 0 设光纤的折射率分布为()32. 2+ = 0b ′f ΥJ ck Υ 2 2 2 J k 0 Υ′ () 由32. 得( ) (())a n r= n 1 - 25 0 c r , ()32. f = - c 2 Υ ( ) 式中 是距轴线 处的折射率, 为轴线处的折 n rr n 0 cΥ′ () = 代入 32. 得 Ja Υ 0 k 射率, c 是一个常数, 一般都很小。 桂林电子工业学院学报 22 1999 年 9 月 c J zk 严格符合分布规律的光纤。 此外, 在制做时两端面与()积分得0 33. = A eΥa () 由32得 光轴的垂直度等都会影响质量。 1() () 2用较粗的这种光纤 半径大于波长 可以用 Κ()33. f = cb 2 ( ) 来同是传播以不同角度入射的许多激光束。 由 22() () 由33. , 代入 31得 () a b 23式可知, 这些光束会各自沿不同的方向射出。 只 2c 1 j z - cr 2 k 0 ( ) 要光纤的长度 是 24式所给出的空间周期的一半l = ??0 A e e () 代入 29式得: 1 1 21 c ( ) - cr 的整数倍, 即 = = l m m Π m为正整数, 则这 () 2 - j k - z2 k = ?= A e 0 r e c 2()34 r c - 些光束不会相混, 很容易分开。() - j k - z2w k 0 A e r e () 3直接传输一完整图像。普通的—根光纤只能 2 ()35 式中= w 传输整个图像上的一点的信号, 因此若传输一个完整 c 的图像就必须大量的光纤以合成一幅图像。但自聚焦 若写出电场的完整式子则为: 光纤有会聚透镜的特点, 因此一根光纤可以传输一个 2 rc - () - j k - z 2 k w jw t 0 完整的图像。 ( ) r e=E r, z , t= E 0 e er 2 r()36 - 2 w - J ΒZ jw tE 0 e eer r 4 结束语c 式中 = -为现在光束的实际相移常数在光纤中Βk k c= 0, Β= k = k 0. 前面只讨论以单模光束为例, 也没有考虑色散问 ( ) ( ) 特别值得注意的是: 由 34式或 36式可看出,题, 实际上, 尽管单模传递损耗最小, 波形畸变最小、 ( ) 对应于前述的“光斑尺寸”, 而从 35式可知 是W W传输带宽也大, 但单模光纤控制和连接都比较困难。 与 无关的常量。这就是说: 光斑尺寸不随光束传播 Z 而用普通多模光纤作多模传输时, 由于通过中心与在 距离而变, 这正是自聚焦光纤的特点。 由于自聚光光纤中变曲进行的光程不同, 因而会产生色散引起波 纤有上述特点, 因此除了因散射损耗 形畸变。 而上述自聚光纤由于中心折射率大, 四周逐 小可以在较长的距离传输光信息外, 还有以下特点:渐减小, 因而不同的光迹的光程差别小, 波形畸变也 () 1制做微型透镜。 微型光学器件在成像、光耦 减小, 可以增大传播带宽。总之, 目前这程自聚焦光纤 合、光信息传输等领域都占重要地位。 用均匀材料磨 是一种较好的材料。 制微型透镜是相当复杂的, 但用上述折射率按抛物线 () () 规律变化的材料制做就比较方便了。由 2223式可 参考文献 周树同编译. 光纤理论与测量. 上海: 复旦大学出版社, 1988 赵仲刚. 推知长为的一般自聚光纤两端面磨成与光轴垂直L 1 光纤通信与光纤传感. 上海: 上海科技文献出版社, 1993 谢处方, 1 2 () , 式中因子 c 的平面, 其焦距为: = c tg lf K饶克谨. 电磁场与电磁波. 四川: 成都人民教育出版社, 3 c 1979 是考虑到两端处还发生折射。 困难在于其折射率 K Study on Ga u ss ian Beam Tran sm iss ion The in the Se lf oc F iber W a n g J ia n h u a (). . D ep to f E lec t ro n ic s an d In fo rm a t io nE a st C h in a Sh ip b u ild in g In st itu te A bstra c t T h e sin g le2m o de Gau ssia ln B eam t ran sm issio n in th e u n ifo rm d ie lec t r ic is d iscu ssed, an d th e p r in c i2 .p le s o f th e se lfo c f ib e r an d Gau ssian b eam t ran sm issio n in th e se lfo c f ib e r a re p re sen ted , , .Key word s op t ica l f ib e r comm u n ica t io n ref rac t io n len s