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最速降线问题

最速降线问题最速降线问题引言在古代建筑中屋顶为了雨水的下落速度最快常建设成一定的弧度，在科技馆里人们也常见到最速降线的模型，球体沿一定弧度的路线下落的时间却比直线短故宫屋顶科技馆里的最速降线模型 1，历史背景：1696年，瑞士数学家Johann Bernoulli在《教师报》上发表了一封公开信。信的内容是：请世界的数学家解决一个难题-“最速降线问题”此问题的提出一时轰动了欧洲。引起了数学家的极大兴趣。之后此问题由Newton,Lebeniz,Bernoulli兄...

最速降线问题引言在古代建筑中屋顶为了雨水的下落速度最快常建设成一定的弧度，在科技馆里人们也常见到最速降线的模型，球体沿一定弧度的路线下落的时间却比直线短故宫屋顶科技馆里的最速降线模型 1，历史背景：1696年，瑞士数学家Johann Bernoulli在《教师报》上发表了一封公开信。信的内容是：请世界的数学家解决一个难题-“最速降线问题”此问题的提出一时轰动了欧洲。引起了数学家的极大兴趣。之后此问题由Newton,Lebeniz,Bernoulli兄弟所解决，从而产生了一门新的学科——变分学。 2，问题：确定一条连接两个定点A、B的曲线，使质点在这曲线上用最短的时间由A滑向B（介质的摩擦力和空气阻力忽略不计）。 3，建模 3,1 模型假设：在垂直平面内存在两点A，B，A点速度为0，如图所示，假设存在一曲面C是质点由A运动到B所用的时间最短，忽略摩擦力和阻力。 A dx 3,2模型建立 x 0 设质点质量为m重力加速度为g,质点的速度为v dy 根据能量守恒得： B ds 则 = y =1 得性能泛函即： L= 由欧拉方程的：令得 (1- ) 所以： dx= x(0)=0 所以：令得：其中c可由y(a)=b 确定因此可知：最速下降曲线是圆滚线即是半径为c/2的圆沿x轴滚动时圆周上的一点所描出的曲线中的一段（旋轮线）。总结在我国古代建筑中就有最速降线原理的应用，但是一直没有此类问题的通俗解法。欧拉求最速降线的问题其意义大大超过了问题的本身，他所使用的变分思想对导致了数学的一个分支——变分学的诞生。对于很多求极值的物理过程问题，他给我我们提供了一种简单有效的通用方法

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