基于矩阵对的Perron-Frobenius定理研究(可编辑)

基于矩阵对的Perron-Frobenius定理研究(可编辑) 基于矩阵对的Perron-Frobenius定理研究 学位论文独创性声明 本人郑重声明:所提交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 和取得的研究成果。本论文中除引文外,所有实验、数据和有关材料是真实 的。本论文中除引文和致谢的内容外,不包含其他人或其它机构已经发 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 或 撰写过的研究成果。其它同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并 表示了谢意。 学位论文作者签名: 日 期: 学位论文使用授权声明 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属南京师范大学。学 校有权保存本学位论文的电子和纸质文档,可以借阅或上网公布本学位论文 的部分或全部内容,可以采用影印、复印等手段保存、汇编本学位论文。学 校可以向国家有关机关或机构送交论文的电子和纸质文档,允许 论文被查阅 和借阅。 保密论文在解密后遵守此 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 保密论文注释:本学位论文属于保密论文,保密期限为 年。 学位论文作者签名: 指导教师签名: 日 期: 日 期: 目 录 目 录 摘要??..谥 ....................................................... ..............、, 前言?.....?...? 日 吾..........??.??......?....................??.....?..... 第章矩阵对的尸.帆一定理.引言? .古典的?定理 .矩阵对,? ..矩阵对的广义特征值问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ?. ..矩阵对的投影算子与指标?. . 帆一定理在矩阵对上的推广.. ’’?定理的初步推广 .. ?定理的进一步推广..矩阵对的两个?条件之间的关系?. .. ?定理的最新推“ .构造特殊投影算子??. .数值算例??.. 第章矩阵对的拟.魏尔斯特标准型与逆??. .引言? .基础知识??.. .. 逆. ..矩阵对的拟.魏尔斯特标准型 .基于拟.魏尔斯特标准型的逆表示 .数值算例??.. 第章结论与展望? 参考文献?..??... 致射.....?..?..?..?..?.?... 一?.. ....................................................... ........... ....................................................... ........................... ?.. . .............。........................................ ?........?.. ..??. . ,??.. .. .... . .?.. .. ... .. .?.. .. ... .. ???.. . .。....................................... . ......................................................................................................................................... ....................................................................... .......................................................................... . ...? . ....................................................... .. ......................................... ..................................................?.... ..?...。..........?..........。..........................?. ....?....?..?.... 一一摘要 摘 要 本文研究了矩阵对的?定理和新的分解及其应用. 第章,我们讨论了正则矩阵对的?定理,并根据正微 分代数方程数值解的结构,利用矩阵链将正则矩阵对的尸’帆一 定理加以完善,同时给予详细的证明,并给出数值算例验证了理论分析. 第章,在控制论里,矩阵对与逆的理论 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 被广泛应用于广义正 则系统上.因此,本文提出了逆和正则矩阵对的拟.魏尔斯特标准型之 间的关系并给出详细的证明,最后,我们用数值算例验证了理论分析. 关键词 矩阵对,尸帆一定理,矩阵链,矩阵对的指标, 逆,拟.魏尔斯特标准罐. ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????? ?????????????????????一 . . , . ., . .,? . . ; ; ;. ; ; ? 一?前 言 .土上.? 舌 刖 如果,,?,是×礼阶的复矩阵,其中是非负整数,且?. 在复数一卜定义阶的矩阵束如下: 二入火. 则易知入是一个矩阵值函数. 特别的,对于线性矩阵柬?,其中?,和是×佗阶的 复或实矩阵.我们将此矩阵束记为,,读作:矩阵对,. 连续时间线性时不变系统形如: ‘, .几 ,; . 离散时间系统形如: , ,; . 其中,?酞舰,,?瞅×,?黼,?瞅×是常系数矩阵.当奇异 时,称卜:式为广义系统.在连续时间的情况下,是状态,输入和输出都是 实值向量函数.在离散时间情况下,,,都是实数向量序列.对于任意的非 负初始状态和非负输入,若系统的状态和输出变量都取非负值,则称上式为正 系统. 正系统有着广泛的应用,如污染物的运输、药物动力学、列昂惕夫投入 产出模型、人口模型和房室系统等.在这些模型中,变量本身一般都是非负的, 变鼍代表细菌的浓度或细胞的数量等.目前,国内外众多学者在研究正标准系前 占 统为单位矩阵的情形,尤其足对离散时间情况下的控制理论问题和在没有 非负限制的线性时不变系统的控制理论问题进行了研究】】】】】. 然而,在连续时间标准正性系统中仍有许多问题没有解决.目前,离散时日情 况下的一些主要性质已得到了初步研究】】】【】】.关于正广义系 统 的研究还不多. 对于正广义系统,我们主要是研究在连续时间和离散时间情况下的基础 理论.众所周知,标准系统为单位矩阵的情形的许多属性与系统矩阵的 谱特性是密切相关的.进而,如果该系统的动态是由一个隐含的微分或差分方 程来描述,那么这种特性是由矩阵束入?或者矩阵对,的特征值和特 征向量来决定的。 不难发现,著名的?定理与标准正系统的谱分析是 相关的.并且非负矩阵的著名的?定理目前已广泛应用 于科学和工程学等众多领域,特别是在经济和人口动态问题上的应用】. 当这个系统的动态是通过微分代数方程来描述时,那么它也就是通过相应 矩阵对,的特征值和特征向量来描述的.可见,在矩阵对上考虑基于 ?定理的谱是有意义的.为了便于实际分析正广义系统,我 们必须发展有意义的矩阵对上的?定理. 事实上,已经有许多人尝试将?定理推广到矩阵对及 矩阵多项式上.其中,文献是对矩阵的非负条件的一个直接推广,文献 【】提出了一个充分条件,文献【】对【】中条件的关系做了进~步研究. 】中提出了矩阵对的帆一定理成立的充要条件.更进一步,在 文献】中,【忡的条件被改为?是非奇异一阵且?.从联系的 观点来看,非负特征向量的结构得到了研究.【】中将?定理 推广到矩阵多项式上,并且系数矩阵的元素是非负的.】中也给出了关于矩 阵多项式的其它方面的发展. 由于【】】中条件不够充分,且文献】对理论的阐述论证方面也较 简单.在本文中,我们将充分论证相关理论和完善正则矩阵对的? 定理.本文基于【】中矩阵链的结构,提出了矩阵对的? 定理成立的充要条件,并说明了此条件的优越性.同时证明了矩阵 对的有限谱半径是一个特征值,并且它对应着一个非负特征向最.对于特殊矩 阵,这时就成为古典的.帆一定理. 广义逆理论中的逆是大家所熟悉的内容,且有厂。泛的应用. 文献】中已经给出了广义正则微分系统其中,占 前 ?似且,冗或,且奇异的矩阵对,的魏尔斯特标准型 与逆之间的关系,并给出验证.而文献【提出了正则矩阵对的 拟.魏尔斯特标准哩.在本文中我们的主要目的是研究,的拟魏尔斯特标 。‘ 准型与逆的之间的关系,并加以验证. 一一第章矩阵对的?螂定理 第章矩阵对的?定理 .引言 基于定理的广泛应用,已经有许多人尝试将帆一 定理推广到矩阵对及矩阵多项式上.其中,文献是对矩阵的 非负条件的一个直接推广,文献】提出了一个充分条件,文献对】 【条件的关系做了进一步研究.】中提出了矩阵对的? 定理成立的充要条件.更进一步,在文献中,】中的条件被改为?是 非奇异一阵且?.从联系的观点来看,非负特征向量的结构得到了研究. 】中将?定理推广到矩阵多项式上,并且系数矩阵的元素 是非负的.中也给出了关于矩阵多项式的其它方面的发展. 由于】【中条件不够充分,且文献】对理论的阐述论证方面也较 简单.在本文中,我们将充分论证相关理论和完善正则矩阵对的尸? 定理.本文基于】中矩阵链的结构,提出了矩阵对的尸’帆一 定理成立的充要条件,并说明了此条件的优越性.同时证明了矩阵 对的有限谱半径是一个特征值,并且它对应着一个非负特征向量.对于特殊情 况,这时就成为古典的?定理. 本章的结构如下:.节介绍了’帆一定理..节介绍了矩 阵对的相关理论..节先对?定理在矩阵对卜的应用进行 了讨论,然后提出用矩阵链来完善矩阵对的?定理,并进行 了充分的证明..节给出求解投影算子的算法..节用数值例子验证理论分 析. .古典的?定理 定义...若一个矩阵的元素都是非负实数,则我们将此矩阵称为非负矩阵. 和 著名的?定理是根据 来命名的.证明了定理的第一部分是关于正矩阵的】. 而将其推广到非负矩阵.第帝矩阵对的?定珲 定理...【】伽定理设是一个×佗阶的实矩阵,如果? ? 可推出或等价的,如果的每一个元素是正的,那么矩阵有一 个正的谱半径,且有一个实特征值等于它的谱半径,而且这个谱半径对应一个 正的特征向量. 定理...】定理设是一个×礼阶的实矩阵,如果?可 推出丁?或等价的,如果的每一个元素是非负的,那么矩阵有一 个 非负实特征值等于它的谱半径,而且这个谱半径对应的特征向量 是非负的. 我们得到经典的?定理如下: 定理...古典的.?定理设?有谱半径.那么 是的一个特征值,而且有一个非负特征向量对应着.另外,如 果是不可约的,那么是一个单特征值且对应着一个正特征向量. 更进 一步,如果是的,‘个特征值,那么,?. 注...从定理..,可知: 足非负的; 是一个单的特征值; 对应着一个非负的或正的特征向量. .矩阵对, ..矩阵对的广义特征值问题 我们考虑微分代数方程: 连续时日上的线性时不变正描述系统 圣,, 或离散时间系统 ,是给定的. 其中,足×礼阶的非负矩阵,且口奇异.矩阵对,的广义特征值和 特 一一第章矩阵对的.?定珲 征向量问题的应用已经非常广泛,我们有必要对其基础知识和基 本理论进行 研究. 定义...设,?似.如果和是方阵,而且对于某个标最 ? ?有 ?,则称矩阵对日,是正则的.否则,称其为奇异的. 在本文中我们仅考虑正则矩阵对. ? 定义...对于矩阵对,,如果有一个标量?,使得 ,那 么我们称这个为矩阵对的一个有限特征值.对于一个有限特征值 入,如果存 在向量?\,使得?.那么我们称口为矩阵对,对应 于的一个特征向最. 如果口是奇异的,且?\】.,使得成立,这时我们称为矩阵 对,对应于特征值的一个特征向量. 定义...方程 ’? .. 称为广义特征值问题.所有有限特征值的集合称为矩阵对,的有 限谱,记 为町,.而所有特征值的集合称为矩阵对,的谱,记为 邶,舭九: :?。. 如果,?,那么我们把矩阵对,的有限谱半径记为 ,入:入?,. 定义...对于?,,如果对所有的??,?一忱一 且.那么向鼍集合,,?,%形成了矩阵对,对应特征值入的 一个若当链. ,是由对应于入所有的若当链扩展而成.若 一个维的子空间;吖 存在一个维的子空间 竹,使得, 和, .则称窖, 是一个右紧缩子空间. 令入,入,?,是,的不同的有限特征值,且令妥,,,?, 是这些特征值对应的紧缩子空间.我们定义 ,.,、, ,、:,。?.,, 一一第章矩阵对的?定理 称字,为矩阵对,的右紧缩子空.. 定义...【】矩阵对,等价于矩阵对亩,,当且仅当入? ?,其中?.记为,一,. 定理...】魏尔斯特标准型令,是一个正则对.那么存在非奇异矩 阵尸和,使得 尸,,舌品,孑;. 其中是一个若当标准型的矩阵,?是若当标准型的幂零矩阵. 引理..“】】令,是一个正则矩阵对.定义台三支?一,三 又?一其中又是满足,使得又?非奇异.则房. ..矩阵对的投影算子与指标 定义...对于一个矩阵,若,我们称是一个投影算子. 记,.称是沿着丁投影到上的一个投影算子. 两个有关投影算子的性质. 引理...设,是两个投影算子,?.那么我们有: ,尼是投影到同一子空间上的两个投影算子当且仅当 危尸且尸 . ,是沿着同一子空间的两个投影算子当且仅当尸最且恳 局. 根据魏尔斯特标准型,我们可以得到霹,上的投影算子耳如下 ?力 肛七卜。 这里只是唯一的一个投影到右紧缩子空间碳盯.的谱投影算子. 设,是一个正则矩阵对.我们定义一个矩阵链如下【】: .., 、 ’ : 。:当’名;,::;扇,?. 一, :只, ?. 一一第章矩阵对的?定理 其中国是投影到上的一个投影算子.且扇一国.很显然鼠国. 对于正则矩阵对,,这个序列,,?将变得稳定,也就是存在‖ 使得卅,?.这时尻是非奇异的,而所有的玩‖是奇异的 】. 显然,,与国的选取是无关的.这时我们称矩阵对,有指标‖,且 记为,‖.对于正则对,这个指标就等于魏尔斯特标准碰的指标, 见 【】. 在】中给出的标准投影如下: 定理...【】设,是一个正则矩阵对,其指标,‖.那么存在投 ’ 影,?,使得 一?一, 弓?一了岛,歹,?,‖一, 一一一了玩一. 定理..“】设,是一个正则矩阵对且,‖.那么,定理..中 定义的标准投影满足 帆一?一亩雪,. 引理...设,是一个矩阵对,我们定义矩阵链如..,且定义如 下: 鼠:?:?. .. 那么,如果是非奇异的,我们得到 一国晶 是沿着投影到上的一个投影算子】文章中没有明确的证明. 证明:首先看两个重要结论: 由..可知 。 鼠,鼠?。.第章矩阵对的?定坪 从而 一晶。国晶?国蹄鼠一国国晶鼠。国国. 由于 晶鼠晶邑一龟笆击鼠一鼠晶鼠国. 即 ,晶国. 可得 晶,一龟. 现在我们来证明是一个投影算子. ;口晶一国 国。晶国。晶 一国晶 一国晶 其次,证明。投影到上. 由 。晶国一国一国国. 可知 鼠. 最后证明沿着投影. 一一第聋矩阵对的?定珲 设名,有 ; 晶名一 口晶名一国晶 ,一国晶. 则 兰晶 鼠一国晶 晶鼠晶 ?. 故有?. 综上可得:是沿着投影到上的一个投影算子.口 引理...设,是一个正则矩阵对,且,‖.我们定义矩阵链 如..,其中选择投影算子国使得包国??‖一.对于 ??‖一,我们定义一国是投影到上的一个投影算子, 且,一.那么,当???时,我们有. 证明:由..可知 鼠国.?国. 从而 ;国劣鼠国?了 歹鼠一国国歹鼠国 髟鼠?国件一?一?一国?国 龟 一???. 第章矩阵对的?定理 . 现证明。是一个投影算子,如下: ;髟国龟 国一国髟。一国;髟 . 最后证明岛.因为任意选择指标,满足??‖一. 可得 包 岛巧房或?岛一。龟; ;一国 ,一国件?,一岛一国髟 国,国 一国。 .口 推论...对于?,,存在?,使得入?.而且是沿着 投影到上的一个投影算子,且,一.那么,. 证明:由 ?兮入. 令, 则 ?,即口?. 又因为骗是沿着岛投影的,所以口,即秒.口第章矩阵对的?定理 . ?定理在矩阵对上的推广 ..尸帆一定理的初步推广 年,文献】将定理推广到矩阵对,上. 定理...【设,是 礼阶的实矩阵,且有?辛?等价 的,存在?使得.那么,入,?满足,使得, 且?. 同样的,【】将定理..应用到矩阵对,上,使’帆定理得到了推 广. 定理...【设,是×竹的实矩阵,且有?且?兮 等价的,存在使得.那么,,满足,使得 ,且. 注...上述两个定理将?定理得到了推广,当时, 显然,古典的尸觎定理和定理成立,但是这个条件是 非常不容易被证明的,因此不能被广泛应用. .. ?定理的进一步推广 年,文献】将定理..推广到矩阵对,上,在这里 ,都是非负的.而且满足条件一. ?; 是不可约的; 存在一个向量缸?,使得; 对所有的?,有%?. 定义...】设是一个佗 阶的实矩阵.如果对于所有的?,宵 ?,且存在一个向量口?,使得.则称是非奇异的一阵. 根据上述定义,对于矩阵对,,若满足条件一,则?是 非奇异的一阵. 引理...【】设,是×佗阶的矩阵且满足条件一,则?一 是非负且不可约的.第錾矩阵对的?定坪 我们便得以下结论: 定理...设,是×的矩阵且一是非奇异的.假设?一 是非负且不叮约的.那么存在?,和一个向量使得.更 进一步,如果入’且?钞?,那么’入且有实数口,使得 从定理..可知,如果?一?,那么矩阵对,的.?一 定理成立.但却存在很多的不足之处. 注..当时,条件?一?转化为,一一?.显然, 不能成为古典的尸帆一定理的充要条件; 此定理中并未说明,是一个特征值; ?不一定町逆. ..矩阵对的两个?条件之司的关系 在定理..和定理..中我们得到了矩阵对的?条件, 即:存在,使得. 在定理..中得到了矩阵对的?砸条件,即:一? 这两个条件不一定能同时成立,见下面例子: ,呈. 经计算,存在:;。,使得它满足定理..中的条件且,,, 然而,它不满足定理..的条件,因为 ?,一二;二:。. 那么这两个条件在什么情况下能同时成立呢年,文献【回答了这 个问题.第章矩阵对的帆一定王甲 我们知道,当非奇异时,条件营一?. 条件?一???一一一?铮?一?. 要使这两个条件等价,只需???一?. 定理...【】对于一个固定的图,设??筌且 .那么下面的条件是等价的. 对所有的?,有?一???; 是一个弧且是唯一的. .. ?定理的最新推广 为了便于在后面的推广,首先我们来看,的情形. 定理...设,是一个正则矩阵对,其中,?似.且,. 我们定义矩阵链如..,其中是沿着岛投影到上的一个投影算子 且 :?%:?. 设?.那么,如果是非奇异的,有 ? 且,?,则有限谱半径,是矩阵对,的一个特征值,而且, 如果,,则存在对应于,的一个非负特征向量口.更进一步, 如果也是不可约的,则,是单的,对应的特征向量是唯一 的,除了标量积. 证明:设入?,,存在?使得入?.根据推论..,我们有 . 由?等,?兮. 则 ?兮入? 兮? 兮,?日第蕈矩阵对的讲?定即 ?入口? 营入口一 兮入钉一 兮,一. 从上式可知矩阵对,的任意有限特征对是的特征对.反过 来,的任意特征对,其中入?是,的特征对.所以 的谱半径也是,的谱半径.根据古典?定理可知,当 ?时,是的一个特征值,且对应着一个非负特征向 最?.因为,,所以,是,的一个特征值.如 果,,?,则它对应着一个非负特征向量.由此定理得证.口 注...在定理..中,当时,我们有,这时定理中条件 ?转化为古典’鲫一定理中的条件?. 条件?号??.去掉投影算子,该条件转化 为】中的条件??.并且,当?可逆时,?小一定可逆. 所以定理..中的条件有着更广泛的应用. 定理..中,盯,,?,且,.当,,时,它是, 的一个特征值,但它不一定对应一个非负的特征向量. 我们考虑矩阵对,‖‖的情形.这时我们要用特殊投影算 子来定义..中的矩阵链.下面引理证明了这种投影算子的存在. 引理..“设,是一个正则矩阵对,其中,?似竹.且, ‖.我们定义矩阵链如..,那么,我们可以用特殊的投影算子,只 来构造 这个矩阵链,使得对任意的口?盯,有口?‖成立. 不难发现,定理..中的标准投影满足引理..中的条件,这便有助 于我 们进一步的研究. 下面我们将觎一定理推广到矩阵对,‖的情 形. 定理...设,是一个正则矩阵对,其中,?似,且,‖. 我们利用引理。.中的投影算子来定义矩阵链...那么,如果既是 非第誊矩阵对的?定珲 奇异的,有 ? 且盯,,?,则有限谱半径.,是矩阵对,的一个特征值,而且, 如果,,则存在对应于.,的一个非负特征向量.更进一步, 如果歹也是不町约的,则,是单的,对应的特征向量秒是唯一 的,除了标量积. 证明:设?,,存在?使得?.根据引理..,我们有 ?‖,这时可得口?. 由..我们有 ???一?一?一,?一. 则 入一铮??:一??一一 兮入? 兮歹入? 兮,一歹 兮,一了?? 营入昂??一髟?一 营岛???歹??岛?? 铮』一歹局?一?一 铮入』一?? 兮,一歹口. 由此可知,矩阵对,的任意有限特征对是髟‖的特征对.反过 一一第章矩阵对的’帆一定珲 来,了屯的任意特征对,其中入?是,的特征对.所以了 的谱半径也是,的谱半径.根据古典帆一定理可知,当 歹‖?时,歹是髟的一个特征值,且对应着一个非负特征向 量?.冈为髟?,,所以,是,的一个特征值.如 果,,?,则它对应着一个非负特征向量.由此定理得证.口 注...该定理中的特征值?.这是因为当入时,歹的特 征值可能对应着,的特征值,也可能对应着,的特征值。.理由: 设,的特征值?对应的特征向量为,则,根据引理..知,对任 意?跨,有只?‖成立.而不在眵,中,故,从而 尸??.所以了. 推论...设只如..中所示是矩阵对,的投影到右紧缩子空间 ,上的谱投影算子,定义雪,如引理..中所示.且设唐是台的佗 逆。根据定理..的题设条件,我们可得下面这些条件是等价的: ?; 辟了?; ?; 台?. 证明:由于】中定义的标准投影满足引理..中的条件.根据定理..,我们 可得 ??台台. 进一步由引理..,可知台髟. 从而 了‖歹岛?一只耳歹台雪歹雪.口 .构造特殊投影算子 为了建立定理。.中的充分条件,由引理..我们可知用来构建矩阵 链如..的特殊投影是存在的.我们知道定理..中的标准投影满足引 理..中的结论,利用标准投影算子能够保证引理..中的唯一性.那么怎第章矩阵对的帆一定珲 样才能得到我们所需要的标准投影呢为了便于本文的研究,我们提出了一个 算法来构建标准投影. 根据文献】,对于正则矩阵对,,且,‖.我们有如下结论: .对于固定的投影算子,,?,扩一,定义扩一是沿着一投影到 ?上的投影算子,见【】. .对于引理..中定义的.我们可得,?岛.这是因为:对于任意的? ;吖,有入口一?兮入仇一兮耽. 令一,显然,叫?;吖.从而对任意的?,盯,有?,盯,使得 .便得?,即?.更进一步,我们有?????, 见 】.因此;吖?&一.我们得到对任意的口?;盯,有?一. 在下面矩阵和投影链的递归构造中,我们用曩”乳。来定义 岛,如,仍,的第次迭代.我们用,,?,‖一的基本结构 来构建矩阵链如..,并设;易,;歹,;’,巧’ 只.为了得到标准投影,在下面的算法中我们重新定义初始投影 算子: 算法: . 输入:投影算子:,?‖一使得 输出:投影算子:件。’使得对所有的?;,有:. ,?‖一 第一步: 第步: ,?‖一 、?,.一、?,护配’一?,;用铿;,’来霞新定义矩阵链的其余部分; 对于 ?,?,‖一我们应用该算法来获得标准投影,使得对所有的口?, 盯, 有一,?,一. 定理...【】对于任意的?,,证明在上述算法中得到的投影算子, 都有十成立. 证明:我们对..中矩阵链的长度‖一采用归纳法,其中是算法中 的指标变量. 当时,不失一般性,我们可考虑指标/,这是的情况.设投 影算子’投影到上.由?一’?,町得’是非奇异的. 我们有孑’一’一?.根据引理..矢【,对于任意的?字,有 乎’.故时成立. 假设对长度为的矩阵链成立.第蕈矩阵对的?。定理 我们现在来考虑长度为的情形.不失一般性,可设指标‖.我 们由初始链得到投影算子?,?,?出,使得;’:.利用算 法,我们需要重新定义投影算子一,,?‖,使得重新得到的投影 算子是标准投影算子.冈此,我们需要对进行归纳.如下: 当时,可得’是非奇异的,便有璺一锉’一:.根据 引理..可知,对于所有的? ,有?.故时满足. 假设对‖一成立,可得标准投影算子?,一,??.对 所有的?;吖满足口?一,钉. .:,我们有经,一一出,一莎’一埋,一,其中是一个恰当的 指标.根据引理..可知盟一是一个投影算子.由于:对任意的?; 吖有 ?;吖使得,且一一??.又由于 一扩’一:’: 垆’一:’:?一妒’一’: 驴’一毯?一“’:’: 扩’一。。’ 驴’一尉一:。。一:艺:芝一?一拦知、‖一七一坦知。经七。 一经七璺七一?一,一;’,?一,一’涩:’ 扩’一扩’ 且由 驴 ?一一’涩 ,一。’一筻?’一?一一第章矩阵对的?定理 :知一出后涩七?知知??一。~一’一?一一’涩 :七一出七出詹一盟知。埋七一璺七翌南一?一,一;’一’ 一一’涩 碰?一’’一’?一?一出知拦知一出南。涩七。一七翌七一? 一筻孑’一一一?一’盥. 可得 驴’一步驴’一【磷?一’?一’??.一出南出南一出七。涩知 ?经南翌知一?一,一。’一’一一’盥】 ? ,驴’一’’’?镗一??‖一 兮 妒’一碰’,一?一?一?一出一一???一?. 从而 一一出歹一驴’一坦一 一坦歹一。扩’一坦歹一砖之一 一出歹一步’一出一,一出一口 一出一步’一,一,一。盟?砂’一歹一拦歹一 一出『一。妒’一坦歹一口一出一,巴一: 一出?驴’一拦一一 一涩歹一驴’一歹一 一一第章矩阵对的?定理 一出一。扩’一坦一巧马一 一锉『一铲’一出一口 一拦?扩’一 一锉一妒’一硼 一拦一,一?一;?一?一叫?一一一?一?一‖一叫. 一出歹一。??一?一?一出一。伽 一出一,一坦? 易知拦一】.即时成立. 我们可以构建出,使得对任意的口?,,,有,,钉.接下来,从骗 开始,我们重新定义矩阵链,且从开始研究,这样就得到一条长度 为的新 链.通过使用归纳法,便得到了标准投影. 综上所述,我们便完成了对的归纳.我们已经得到了乎’,根据算 法可 构建出标准投影.口 这时定理..中的充分条件歹??转化为 妒”’一磁’硝舢?巧謦?兮铲”’~。.一”’巧銎?. 现在我们具体讨论在‖的情形下,算法怎样构建标准投影算子. 我们首先选择两个初始投影’和?,且它们分别表示投影到磷 和’上的投影.便得到?,设’一;’’一,根据引理..可 知,对任意的?霹盯,我们有’.得威’?一’宁’.再根据 算法有孑’一’’一?.根据引理..,可知孑’是一个投影算子. 第蕈矩阵对的?定珲 因为 ::?一’?一’?一’’ 兮,:磁’一?一’?一’’ 兮 ,:乎’一毹?一噬’一’ ’一’一’;’ 兮,:’一?一碰’一’一’’一’ ?:’一碰乎’一’’’一’ 营:乒’一’一’’一;’ 甘:孑’一’孑’ ,一一’. 兮一或’ :’. 对任意的?警,,有伽?眵,,使得’, 所以 孑’一妒’’一铲’秒一矿’酵’一’ 一’,一?一:’叫一’,一’叫 . 故’是一个标准投影. 设硝,一孑’,可得罐’.进而且?一’孑’,可得 ;’矿’《?.这时我们选择投影到’上的投影算子’.便可计算 硝’?一’’.从而’一’?’一:’. 因为 ?一’’碰?一’孑’一’’ 营,’一或?一’孑’一’’ 一?营,’一碰?一’一’孑’一’一’’ ? 笋’一?一’一’一’’一’【笋’一’’一?’一’ ? 笋’一’【’一’’】碰’一笋’一’’ 兮,’一毹?一’磋’一:’ 营 ,’一’孑’’ 兮一’ ,一孑一’. 孑’叫.可得 又对任意的?盯,有?掣盯,使得’钞’ ’一’’一以’秒一’?’一’矗口 一’’一’一:’’一毹叫 一’,一孑’一’叫一’,一’伽 . 故’是一个标准投影. 现在计算纩’扪一扪一’.这时定理..的充分条件?转 化为磁’一矗’’?. .数值算例 考虑一个具体的例子. 例:对于矩阵对,,设 、,, 量兰妻,兰 我们可知该矩阵对,是正则的,且有一个有限特征值,,对应 一一矿’亳三曼,砖。曼兰莹. 可得:。?乎,?兰壹,;硝。三莹蚕 ;。三量萎,硝导兰莹. 、???/、?、 碰。:?一,,,,兰兰壹,且。,一莹兰寻 我们可得到沿着投影到上的投影算子’.有 ,一:’,一;莹三量,:。’。. 乒,:?一;”’?三?,且乎’,一革言 乎,一印,’,一。壹三量. 量:莹.一 一 一 ,山巧 \ / \ ,?,三吕三,’。巧吕?言 ?一第章矩阵对的’几一定理 竺竺竺,’三兰量, 可得 笋’;一’’?三墨磁, 且 笋’,一三吾?’,一. 一’. ’,尸: . / ’一’夕’,一’三呈:’,硝三:/. 硝’?一’?. 最后,我们知道:在定理..中的充分条件 、一,、一。一三壹主三兰量莹主三晕 七卜 在的条件: 一?第章矩阵对的?定理 / 一 一 差 \ 、???,,一 ?,一一 苫。触 \一 , 使 、??,/得 衄 是 卜 日一 一 【,,】芝. 现在考虑一般的例子. 例:我们考虑指标‖的正则矩阵对,,设生 : ,: 如 鬼’? ,呈。 我们来计算标准投影?首先选择始投影矿’,’? 篓三用算。法 一 一。?:?’;: 钆”矗曼。 , 牡一。民。。。旧 絮, , 、??,, \、矗官 /『 \一台, 甜’嶝四 掣慷 ?一 .一.一.吼磁。:?一::。委毒玩。毒一言一言,? 且’一 ? 怒。。 笱 鲫 我们可得到沿着 财? 付做 ?豢 一.砰 四。 卯叫;气掣广卵’怯甜钾’, 进而有 硝’硝?,’?,’?,’一’一, , 、???、 孑’一’笋’,一/量若县。。,一叠曼丕。 硝动羔玉驼嚣玩。,矗。羔嚣要要. 便有 一一第蕈矩阵对的?定押 互翕 :动玩一。孑’ 毒。叠一量一言, 霉 ’以。硝?薹暑最岛 . 我们选择投影’投影到.即 ’一言蔓要蔓,硝?毒萎至; 可得 /, 一、 一吾。 。三毒玩。 点。 .?一’ ,‘一钆 \ / 。一一矗 /,署 品矗 ?爿 \一嚣 毒嚣一矗台一,侈品丕才 ’一’或’一:’,硝?,?’:?,?’一:日’一. 最后,我们知道在定理..中的充分条件 硝’一’ 一?第蕈矩阵对的?定理 嚣。要二蕊三玉。叠。耄三玉驼至妻?。. 考虑特征值问题 一. 其中,入. 我们有 三要姜害驼一量一言兰。. 可得, 且有 州 弛冀 概吣 批? 等价的 卜 口 .入 忽 似魄 如夙为舭 醋鲥 ,???一, 由上述定理..中的充分条件可知嚣.?,根据定理..有 嚣是一个特征值,对应着一个非负特征向量?. 同时,由定理..中的充分条件可知,玉。。?.又因为 ,?.我们可得 嚣互矗玉澍?. 从而可知特征向量?. 对于【尸的条件:如果一奇异,这时,?是奇异的.所以,条 件??不成立. 一?第章矩阵对的?定理 对于】中的条件:存在,,有,,,,使得?,但足存 在,玑,使得兰. 一一第章矩阵对的拟一魏尔斯特标准掣与逆 第章矩阵对的拟.魏尔斯特标准型与逆 .引言 在本文中,我们的主要目的是研究广义正则微分系统’亡其 中,?研黼且,冗或,且奇异的矩阵对,与逆的关 系.最后给出数值算例验证了理论分析. 本章的结构如下:.节介绍了逆和矩阵对的拟.魏尔斯特标准型. .节求解矩阵对的逆..节给出了数值例子,说明理论的叮行性. .基础知识 .. 逆 定义? 设?黼,用定义的维数.定义:可: ,缸?:】.,分别称与为的值域与零空间. 则有已礼. 定义...对于?黼,存在最小非负整数‖,使得??蚪成立, 则我们称‖为的指标.记为,.如果‖.则存在唯一满 足 ; ; 惫七,?‖. 这里为的逆,记为. 定理...对于?心舰,如果‖,已. ? ,那么存在一个非奇异矩阵,使得 : . .. 口其中,是一个×的非奇异矩阵,批是一个×的幂零矩阵,指标为 /.第章矩阵对的拟.魏尔斯特标准犁‘ 逆 引理...【如果札是一个×的幂零矩阵,指标为口.且‖,那 么‖. 定义...】如果?蕊竹炳,具有..的形式,则的逆 。?暑?. ..矩阵对的拟.魏尔斯特标准型 ? 定义..“设,?黼,如果存在某个?,使得 ?,则称 矩阵对日,是正则的.否则,称其为奇异的. 定义...在变换?心×的作用,我们把?称为集合的象 的集合,记作:.把??朋】.称为集合的原象的集合,记作: 一. 定义...【序列设??黼,则子空间序列: :珏?,眈:一境?, :,/忱:一? 称为序列. 从上述定义我们易知序列是嵌套且可终止的.满足 ?,坳?:??????一?, ?,?:?‘一, 其中;. 因此,对于矩阵对一?黼,经过序列作用,可以得剑对应的空间 与. 定理...【】拟.魏尔斯特标准型考虑正则对??融×与对应的空 间 与.令第蕈矩阵对的拟.魏名:斯特标准犁 逆 :,?邸×:,且 :礼一.?×:‘. 那么?】与【 】是可逆的,而且将?转化成如下的拟魏尔斯特标 准型 ,【?,考品一:芝既一伽..., 其中,?辩如,?×且七,为幂零指标. 从上述定理可得 .. 民哪卟台砂 .. 伽】 】吾三. 我们也可知道卜述定理等价于以下形式: ?. 所以要证明定理结论成立,只须证明上式成立.如下: 证明:由于,可得: .. 由序列我们知道:. 所以: . 从而存在非奇异矩阵,,使得. 同理,也存在非奇异矩阵?,使得.口 引理? 女果一?黔×竹是正则的,那么定义..中的序列 满足 一?