【精品】《数学史》作业选84
《数学史》作业选
第十讲 19世纪的分析
1、近、现代数学的分界线从何算起,谈谈您的想法。
18世纪末出现了数学悲观主义，这是由于此时对数学的认识仍有不足，缺乏对数学靠内在逻辑需要推动而发展的前景的预见。而到了19世纪，这些悲观论被打破了，数学的道路变得光明了。因此，19世纪是近现代数学的分界线。
在19世纪，代数学由于群的概念的引进和发展而获得了新生。它不再仅仅是研究代数方程，而是更多地是研究各种抽象的“对象”的运算关系，从而为20世纪代数结构观念的产生奠定了基础。其中还有布尔代数和代数论的发展都在不断地完善。
在几何学方面，18世纪末，数学家们虽然一直坚信欧氏几何的第五公设不像一个公设而更像一个定理。但并没有取得巨大的突破。直至19世纪时，非欧几何的诞生，意味着几何学的一个新的开端。与此同时，射影几何也得到了空前的发展。在19世纪以前，射影几何一直是在欧氏几何的框架下被研究的，而这时的几何学是脱离欧氏几何的。更重要的是，在19世纪，几何学得到了统一。为后期几何学的发展起到了一定地奠基作用。
另一方面，19世纪的分析逐渐变得严格化。在分析严格化的过程中，出现了著名的“分析算术化”运动。在这场运动中，分析的所有概念都可由整数导出，使以往的漏洞和缺陷都能得以填补。伴随着分析的严格化，分析中的一朵奇葩—复变
函
关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函
数论成长壮大起来。解析数论应运而生，概率论则为在20世纪独立发展作好了准备。
19世纪末，数学发展呈现出一派生机蓬勃的景象，这与18世纪形成了鲜明的对比。并且，在19世纪变革与积累的基础上，20世纪数学呈现指数式的飞速发展。因此，19世纪是近现代数学的分界线。
(06数教12号高芳芳)
2、从柯瓦列夫斯卡娅的数学道路谈数学中的性别歧视。
翻开数学史，古往今来有许许多多的数学家，可妇女的名字却寥寥无几。有人说:女数学家比女王还要少，确实如此。难道是妇女天生缺少数学才华吗,不是的～正是旧
制度
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旧社会对对妇女的歧视、压迫;旧思想、旧传统对妇女的偏见、
束缚，使她们纵有千般才能，也难以发挥施展。
妇女是否无能、无所作为吗,让我们看看一个19世纪的女性，她怎么样争取享受高等教育进而成为卓越的数学家的。柯瓦列夫斯卡娅她从小就对数学很痴迷。14岁时便能够独立推导出三角
公式
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，被称为“新巴斯卡”。但沙皇时代，妇女是不允许注册高等学校学习的。于是，她凭着 “假结婚”得以来到德国的海德尔堡旁听基础课。她又打算听著名数学家维尔斯特拉斯的课，但到处吃闭门羹，但她并没有放弃，最后她登门到维尔斯特拉斯家求教，后来给老教授留下了深刻印象，破例给她上课。经过刻苦努力，在1874年24岁的柯瓦列夫斯卡娅荣获了哥廷根大学博士学位。1883年担任斯德哥尔摩大学的讲师。报纸上公然攻击:“一个女人当教授是有害和不愉快的现象——甚至，可以说那种人是一个怪物。”但苏菲娅无所畏惧。在1891年初，她因肺炎在斯德哥尔摩病逝，享年41岁。18世纪曾有德国医生写一
书
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“证明女人的头脑是低能的”。她死后脑被保存在酒精里供医师研究，四年后医师把她的脑和德国大物理学家赫姆赫兹的脑量比较，发现在她的脑量还大过男人，这击败了以往那种“男人样样强过女人”的谬论。
虽然柯瓦列夫斯卡娅只活了短短的41年，可是在科学上的贡献不少。她为争取妇女的自由斗争做出了艰苦努力，更重要的是她作了一个榜样，妇女也能够在科学上能和男人一样是有所创造和发明。
应该说在科学的天平上不应存在着男性的一边倒现象，甚至是狠心地将女性排斥在外。纵使在数学的发展史上女性这条道路崎岖难走。但仍有一部分执着的女性孜孜不倦地坚持着。为科学的发展努力着，也为女性的权利争取着。在数学这条道路上需要我们女性的努力也需要得到世人的支持。终有一日我们可以自豪地说女性也可以顶上半天边的。
(07数教33吴婷雅)
3、如何理解19世纪的数学是“函数论的世纪”,
如果说18世纪是微分学的世纪，那么19世纪则是函数论的世纪。
在18世纪，欧拉、达朗贝尔和拉普拉斯等人联系着力学的发展，对于单复变函数已经做了不少工作，但函数论作为一门独立学科是在19世纪发展起来的。
庞加莱是因发明自守函数而使函数论的世纪大放异彩的，他本人也因此在数学界崭露头角。所谓自守函数，就是在某些变换群的变换下保持不变的函数。自
守函数是圆函数、双曲函数、椭圆函数以及初等分析中其他函数的推广，它不仅对其他各种应用是重要的，而且在微分方程理论中也扮演着主要的角色。
然而，柯西、黎曼、外尔斯特拉斯三大数学家奠定了复变函数论的基础。柯西在1814,1825年间得到了计算复函数沿复平面上路径积分的基本定理和留数计算公式。黎曼在1851年的博士论文《单复变函数的一般理论基础》中第一次明确了单值解析函数的定义，指出实函数和复函数导数的基本差别，阐明现被称为黎曼面的概念和共形映射定理，开创了多值函数研究的深刻方法，打通了复变函数论深人发展的道路。魏尔斯特拉斯从研究幂级数出发，提出复函数的解析开拓理论，引入完全解析函数的概念。
此外，还有阿贝尔和雅可比的椭圆函数理论，斯蒂尔杰斯的连分式的解析理论，以及埃尔米特、米塔-列夫勒、皮卡、阿达马等人的工作，成果十分丰富，以致有人称19世纪是函数论的世纪。
(07数教49号王婷珍)
4、分析的严格化进程。
经过近一个世纪的尝试与酝酿，数学家们在严格化基础上重建微积分的努力到19世纪初开始获得成效。
微积分的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”，然而牛顿和莱布尼慈的微积分在逻辑上并不够严格，在使用无限小概念上的随意与混乱，引起了所谓的“第二次数学危机”。柯西在分析方法方面完成了一系列著作，他们以严格化为目标，对微积分的基本概念给出了明确定义，在此基础上重建和拓展了微积分的重要事实与定理。
威尔斯特拉斯在数学分析领域中的最大贡献，是在柯西等开创的数学分析严格化潮流中，以??语言，严格定义的极限概念，系统建立了实和复分析的严谨基础，基本上完成了分析的算术化。在数学史上，威尔斯特拉斯因对分析严格化的贡献获得了“现代分析之父”的称号，可以说数学分析达到了今天所具有的严密形式，本质上不能缺少威尔斯特拉斯的工作。这样，分析的所有概念便可由整数导出，使以往的漏洞和缺陷都能以填补，这就是所谓“分析算术化”纲领。
戴德金和康托尔在他们各自的实数定义都严格证明了实数系的完备性，长期这样以来围绕着实数概念的逻辑循环得以彻底消除。实数的定义及完备性的确
立，标志着威尔斯特拉斯倡导的分析算术化运动大致宣告完成。
在分析的严格化过程中，需要对函数的不连续点的收敛问
题
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进行研究，这导致了集合论的建立。康托尔证明了全体有理数的集合是可数的后，明确提出:全体正整数集和全体实数集合能建立，1878年康托尔提出著名的连续统假设，克尔莫格洛夫说过:“康托尔的不朽功绩，在于他敢于向无穷大冒险迈进，他对似是而非之论、流行的成见、哲学的教条等做了长期不懈的斗争，由此使他成为一门新学科的创造者，这么学科今天已经成了整个数学的基础”。分析的严格化进程是众多数学工作者的不懈努力。
(08数教(2)班3号陈玉并)
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