2015年高考数学（苏教版，理）一轮题库：选修4 第1讲 几何证明选讲

2015年高考数学（苏教版，理）一轮 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 库：选修4 第1讲 几何证明选讲 第十五章 系列4选考部分 第1讲 几何证明选讲 1(如图，已知B在AC上，D在BE上，且AB?BC,2?1，ED?DB,2?1，求AD?DF. 解 如图～过D作DG?AC交FC于G(还可过B作EC的平行线)( DGED2?,,～ BCEB3 2?DG,BC. 3 12?BC,AC～?DG,AC. 39 DFDG22?,,～?DF,AF～ AFAC99 7从而AD,AF～故AD?DF,7?2. 9 2. 如图，圆O与O内切于点A，其半径分别为r与r(r>r)(圆O的弦AB交1212121圆O于点C(O不在AB上)( 21 求证:AB?AC为定值( 证明 如图，连接AO，并延长分别交两圆于点E和点D，1 连接BD、CE. ?圆O与圆O内切于点A， 12 ?点O在AD上，故AD、AE分别为圆O，圆O的直212径( 从而?ABD,?ACE,90?. ABAD2rr11?BD?CE，于是,,,，?AB?AC为定值( ACAE2rr22 3. 如图，?ABC是直角三角形，?ACB,90?，CD?AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F. 2求证:FD,FB?FC. 证明 ?E是Rt?ACD斜边AC的中点， ?DE,EA，??A,?2. 又??1,?2，??1,?A. ??FDC,?CDB，?1,90?，?1， ?FBD,?ACB，?A,90?，?A，??FDC,?FBD. FBFD又??F是公共角，??FBD??FDC，?,， FDFC 2?FD,FB?FC. 4. 如图，在?ABC中，CM是 ?ACB的平分线，?AMC的外接圆O交BC于点 1N.若AC,AB，求证:BN,2AM. 2 证明 连结MN.因为CM是?ACB的平分线， 所以?ACM,?NCM，所以AM,MN. 因为?B,?B，?BMN,?A， BNAB所以?BMN??BCA，所以,,2， MNAC 即BN,2MN,2AM. 5. 如图，梯形ABCD内接于?O，AD?BC，过点C作?O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E. 2(1)求证:AB,DE?BC; (2)若BD,9，AB,6，BC,9，求切线PC的长( ,,(1)证明 ?AD?BC，?AB,CD.?AB,CD， ?EDC,?BCD.又PC与?O相切，??ECD,?DBC. DCDE??CDE??BCD.?,. BCDC 22?CD,DE?BC，即AB,DE?BC. 22AB6(2)解 由(1)知，DE,,,4， BC9 ?AD?BC，??PDE??PBC， PDDE43681?,,.又?PB,PD,9，?PD,，PB,. PBBC955 2368154542?PC,PD?PB,?,.?PC,. 25555 6(如图，D，E分别为?ABC的边AB，AC上的点，且不与?ABC的顶点重合(已 2知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x,14x，mn,0的两个根( (1)证明:C，B，D，E四点共圆; (2)若?A,90?，且m,4，n,6，求C，B，D，E所在圆的半径( 解 (1)证明:连结DE～根据题意在?ADE和?ACB中～AD×AB,mn, ADAEAE?AC～即,. ACAB 又?DAE,?CAB～从而?ADE，?ACB. 因此?ADE,?ACB.所以C～B～D～E四点共圆( 2(2)m,4～n,6时～方程x,14x，mn,0的两根为x,2～x,12.故AD,2～12AB,12. 取CE的中点G～DB的中点F～分别过G～F作AC～AB的垂线～两垂线相交于H点～连结DH.因为C～B～D～E四点共圆～所以C～B～D～E四点所在圆的圆心为H～半径为DH. 1由于?A,90?～故GH?AB～HF?AC.从而HF,AG,5～DF,×(12,2)2,5.故C～B～D～E四点所在圆的半径为52. 7. 如图，圆O是?ABC的外接圆，延长BC边上的高AD交圆O于点E，H为?ABC的垂心(求证:DH,DE. 证明 连结CE，CH.因为H为?ABC的垂心，所以?ECD,?BAD,90?,?ABC， ?HCD,90?,?ABC，所以?ECD,?HCD. 又因为CD?HE，CD为公共边， 所以?HDC??EDC，所以DH,DE. 8. 已知AD是?ABC的外角?EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交?ABC的外接圆于点F，连接FB、FC. (1)求证:FB,FC; (2)若AB是?ABC外接圆的直径，?EAC,120?，BC,33，求AD的长( (1)证明 ?AD平分?EAC，??EAD,?DAC. ?四边形AFBC内接于圆，??DAC,?FBC. ??EAD,?FAB,?FCB， ??FBC,?FCB，?FB,FC. (2)解 ?AB是圆的直径，??ACD,90?. 1??EAC,120?，?DAC,?EAC,60?，?D,30?. 2 在Rt?ACB中，?BC,33，?BAC,60?，?AC,3， 又在Rt?ACD中，?D,30?，AC,3，?AD,6. 9. 如图，从圆O外一点P作圆O的两条切线，切点分别为A、B，AB与OP交于点M，设CD为过点M且不过圆心O的一条弦，求证:O、C、P、D四点共圆( 证明 ?PA、PB为圆O的两条切线，?OP垂直平分 2弦AB，?AM,BM.在Rt?OAP中，OM?MP,AM，在圆O中，AM?BM,CM?DM，?OM?MP,CM?DM，又弦CD不过圆心O， ?O、C、P、D四点共圆. 10. 如图，?O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交?O于N，过点N的切线交CA的延长线于P. 2(1)求证:PM,PA?PC; (2)若?O的半径为23，OA,3OM，求MN的长( (1)证明 连结ON.因为PN切?O于N， 所以?ONP,90?. 所以?ONB，?BNP,90?. 因为OB,ON，所以?OBN,?ONB. 因为BO?AC于O，所以?OBN，?BMO,90?. 所以?BNP,?BMO,?PMN.所以PM,PN. 22,PA?PC. 所以PM,PN (2)解 OM,2，BO,23，BM,4. 因为BM?MN,CM?MA,(23，2)(23,2),8， 所以MN,2. 11. 如图，已知C是以AB为直径的半圆O上一点，CH?AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G. (1)求证:点F是BD的中点; (2)求证:CG是?O的切线; (3)若FB,FE,2，求?O的半径( (1)证明 ?CH?AB，DB?AB， ??AEH??AFB，?ACE??ADF. EHAECE?,,.?HE,EC，?BF,FD. BFAFFD 即点F是BD的中点( (2)证明 连接CB、OC， ?AB是直径，??ACB,90?. ?F是BD的中点，??CBF,?FCB. ??CBF,?BAC，?BAC,?ACO，??FCB,?ACO. ??ACO，?OCB,90?，??BCF，?OCB,90?. ??OCF,90?.?CG是?O的切线( (3)解 由FC,FB,FE，得 ?FCE,?FEC. ??G，?GCH,90?， ?FAG，?FEC,90?， ??FAG,?G. ?FA,FG，?FB?AG，?AB,BG. 由切割线定理，得 22(2，FG),BG?AG,2BG.? 在Rt?BGF中，由勾股定理，得 222BG,FG,BF.? 2由??，得FG,4FG,12,0. 解得FG,6或FG,,2(舍去)( ?AB,BG,42.??O的半径为22. 12(如图，圆O与圆O内切于点A，其半径分别为r与r(r>r)(圆O的弦1212121 AB交圆O于点C(O不在AB上)(求证:AB?AC为定值( 21 证明 连结AO～并延长分别交两圆于点E和点D.连结BD～CE. 1 因为圆O与圆O内切于点A～所以点O与AD上～ 122故AD～AE分别为圆O～圆O的直径( 12 π从而?ABD,?ACE,.所以BD?CE～ 2 ABAD2rr11于是,,,. ACAE2rr22 ?AB?AC为定值(