高中数列教案

高中数列教案 2(1数列的概念与简单表示法(海口一中陆健青) (一)教学目标 1、知识与技能:了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式);了解数列是一种特殊的函数; 2、过程与方法:通过三角形数与正方形数引入数列的概念;通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式); 3、情态与价值:体会数列是一种特殊的函数;借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。 (一)教学重、难点 重点:理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型，探索并掌握数列的几种间单的表示法(列表、图象、通项公式); 难点:了解数列是一种特殊的函数;发现数列规律找出可能的通项公式。 (二)学法与教学用具 学法:学生以阅读与思考的方式了解数列的概念;通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法;以观察的形式发现数列可能的通项公式。 教学用具:多媒体、投影仪、尺等 (三)教学设想 1、多媒体展示三角形数、正方形数，提问:这些数有什么规律,与它所表示的图形的序 号有什么关系, 2、(1)概括数列的概念:按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫 做这个数列的项。 (2)辩析数列的概念:“1，2，3，4，5”与“5，4，3，2，1”是同一个数列吗,与“1，3，2，4，5”呢,给出首项与第n 项的定义及数列的记法:{an} (3)数列的分类: 有穷数列与无穷数列;递增数列与递减数列，常数列。 3、数列的表示方法 x(1)函数y=7x+9 与y=3 ，当依次取1，2，3，„时，其函数值构成的数列各有什么特点, (2)定义数列{an}的通项公式 (3)数列{an}的通项公式可以看成数列的函数解析式，利用一个数列的通项公式，你能确定这个数列的哪些方面的性质, (4)用列表和图象等方法表示数列，数列的图象是一系列孤立的点。 4、例1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数: (1)1，-1/2，1/3，-1/4; (2)2，0，2，0( 引导学生观察数列的前4项的特点，寻找规律写出通项公式。再思考:根据数列的前若干项写出的数列通项公式的形式唯一吗,举例 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 。 5、例2、图2.1-5中的三角形称为希尔宾斯基(Sierpinski)三角形，在下图4个三角形 中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象。 通过多媒体展示希尔宾斯基(Sierpinski)三角形，引导学生观察着色三角形的个数的变化，寻找规律写出数列的一个通项公式，并用图象表示数列。体会数列的图象是一系列孤立的点。 1、问题:如果一个数列{an}的首项a=1，从第二项起每一项等于它的前一想的前一项的21 倍再加1，即 a= 2 a+ 1(n?N，n>1)，(※) n n-1 你能写出这个数列的前三项吗, 像上述问题中给出数列的方法叫做递推法，(※)式称为递推公式。递推公式也是数列的一种表示方法。 2、例3 设数列{an}满足 写出这个数列的前五项。 此题与例1的学习是互为相反的关系，也是为了引入下文的等差数列，等差数列是最简单的递推数列。 3、课堂练习:P 1~5， 课后作业:P 习题2.1 A组 1，2，4，6。 3638 4、课堂小结: (1)数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型; (2)了解用列表、图象、通项公式、递推公式等方法表示数列;能发现数列规律找出可能 的通项公式。 (3)了解数列是一种特殊的函数。 (四)评价设计 1、重视对学生学习数列的概念及表示法的过程的评价 关注学生在数列概念与表示法的学习中，对所呈现的问题情境是否充满兴趣;在学习过程中，能否发现数列中的项的规律特点，写出数列的通项公式，或递推公式。 2、 正确评价学生的数学基础知识和基础技能 能否类比函数的性质，正确理解数列的概念，正确使用通项公式、列表、图象等方法表示数列，了解数列是一种特殊的函数。了解递推公式也是数列的一种表示方法。 2(2 等差数列(海口一中冯海敏) (一)教学目标 1(知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念;探索并掌握等差数列的通项公式;能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题;体会等差数列与一次函数的关系。 2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念;由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。 3(情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。 (二)教学重、难点 重点:理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式;会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。 难点:概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。 (三)学法与教学用具 学法:引导学生首先从四个现实问题(数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念;接着就等差数列的特点，推导出等差 数列的通项公式;可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。 教学用具:投影仪 (四)教学设想 [创设情景] 上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。 [探索研究] 由学生观察分析并得出答案: (放投影片)在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列:0，5，____,____,____,____,„„ 2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设置了7个级别。其中较轻的4个级别体重组成数列(单位:kg):48，53，58，63。 水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列(单位:m):18，15.5，13，10.5，8，5.5 我国现行储蓄 制度 关于办公室下班关闭电源制度矿山事故隐患举报和奖励制度制度下载人事管理制度doc盘点制度下载 规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是:本利和=本金×(1+利率×寸期).例如，按活期存入10 000元钱，年利率是0.72%。那么按照单利，5年内各年末的本利和分别是: 时间 年初本金(元) 年末本利和(元) 第1年 10 000 10 072 第2年 10 000 10 144 第3年 10 000 10 216 第4年 10 000 10 288 第5年 10 000 10 360 各年末的本利和(单位:元)组成了数列:10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360。 思考:同学们观察一下上面的这四个数列:0，5，10，15，20，„„ ? 48，53，58，63 ? 18，15.5，13，10.5，8，5.5 ? 10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360 ? 看这些数列有什么共同特点呢, (由学生讨论、分析) 引导学生观察相邻两项间的关系，得到: 对于数列?，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ; 对于数列?，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ; 对于数列?，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -2.5 ; 对于数列?，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 72 ; 由学生归纳和概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数(即:每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点)。 [等差数列的概念] 对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征， 尝试着给等差数列下个定义: 等差数列:一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5，72。 bb提问:如果在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满足什么aa 条件, 由学生回答:因为a，A，b组成了一个等差数列，那么由定义可以知道: A-a=b-A a，bA, 所以就有 2 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项。 不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项。 如数列:1，3，5，7，9，11，13„中 5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。 9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。 a，a,a，a,a，a,a，a看来， 24154637 从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q a，a,a，a则 mnpq [等差数列的通项公式] 对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢,这是我们接下来要学习的内容。 {a}?、我们是通过研究数列的第n项与序号n之间的关系去写出数列的通项公式的。下n 面由同学们根据通项公式的定义，写出这四组等差数列的通项公式。 由学生经过分析写出通项公式: ? 这个数列的第一项是5，第2项是10(=5+5)，第3项是15(=5+5+5)，第4项是20 a,5n=5+5+5+5)，„„由此可以猜想得到这个数列的通项公式是 (n ? 这个数列的第一项是48，第2项是53(=48+5)，第3项是58(=48+5×2)，第4项 a,48，5(n,1)是63(=48+5×3)，由此可以猜想得到这个数列的通项公式是 n ? 这个数列的第一项是18，第2项是15.5(=18-2.5)，第3项是13(=18-2.5×2)，第4项是10.5(=18-2.5×3)，第5项是8(=18-2.5×4)，第6项是5.5(=18-2.5×5)由 a,18,2.5(n,1)此可以猜想得到这个数列的通项公式是 n ? 这个数列的第一项是10072，第2项是10144(=10172+72)，第3项是10216(=10072+72×2)，第4项是10288(=10072+72×3)，第5项是10360(=10072+72×4)，由 此可以猜想得到这个数列的通项公式是a,10072，72(n,1) n?、那么，如果任意给了一个等差数列的首项和公差d，它的通项公式是什么呢, a1 引导学生根据等差数列的定义进行归纳: a,a,d,21 a,a,d, 32(n-1)个等式 a,a,d, 43 „ 所以 a,a，d,21 a,a，d, 32 a,a，d, 43 „„ 思考:那么通项公式到底如何表达呢, a,a，d,21 a,a，d,(a，d)，d,a，2d, 321 a,a，d,(a，2d)，d,a，3d, 431 „„ {a} 得出通项公式:由此我们可以猜想得出:以a为首项，d为公差的等差数列的通项n1 a,a，(n,1)d公式为: n1 a 也就是说，只要我们知道了等差数列的首项a和公差d，那么这个等差数列的通项就n1可以表示出来了。 选讲:除此之外，还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式: {a}a,a,d,(迭加法): 是等差数列，所以 nnn,1 a,a,d, n,1n,2 a,a,d, n,2n,3 „„ a,a,d, 21 两边分别相加得 a,a,(n,1)d, n1 所以 a,a，(n,1)dn1 (迭代法):{a}是等差数列，则有 a,a，d nn,1n ,a，d，d n,2 ,a，2d n,2 ,a，d，2d n,3 ,a，3d n,3 „„ ,a，(n,1)d1 a,a，(n,1)d 所以 n1 [例题分析] 例1、?求等差数列8，5，2，„的第20项. ?-401是不是等差数列-5，-9，-13，„的项,如果是，是第几项, 分析:?要求出第20项，可以利用通项公式求出来。首项知道了，还需要知道的是该等差数列的公差，由公差的定义可以求出公差; ?这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题。要判断这个数是不是数列中的项，就是要看它是否满足该数列的通项公式，并且需要注意的是，项数是否有意义。 a,8，(21,1)，(,3),,49解:?由a=8，d=5-8=-3，n=20，得 201 a,,5,4(n,1),,4n,1, ?由a=-5，d=-9-(-5)=-4，得这个数列的通项公式为n1 由题意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立。 解这个关于n的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项。 a、a、d、例题评述:从该例题中可以看出，等差数列的通项公式其实就是一个关于n1n(独立的量有3个)的方程;另外，要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项，当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数，如果不是正整数，那么它就不是数列中的项。 (放投影片)例2(某市出租车的计价 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km(不含4千米)计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费, 解:根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2 {a}元.所以，我们可以建立一个等差数列来计算车费. n 令=11.2，表示4km处的车费，公差d=1.2。那么当出租车行至14km处时，n=11，a1 此时需要支付车费 a,11.2，(11,1)，1.2,23.2(元)11 答:需要支付车费23.2元。 例题评述:这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，要学会从实际问题中抽象出等差数列模型，用等差数列的知识解决实际问题。 (放投影片)思考例题:例3 已知数列{a}的通项公式为a,pn，q,其中p、q为常数，nn 且p?0，那么这个数列一定是等差数列吗, 分析:判定{a}是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看a,a(nnn,1n ,1)是不是一个与n无关的常数。 解:取数列{a}中的任意相邻两项a与a(n,1)， nnn,1 a,a,(pn，q),[p{n,1)，q],pn，q,(pn,p，q],p求差得 nn,1 它是一个与n无关的数. {a}所以是等差数列。 n 课本左边“旁注”:这个等差数列的首项与公差分别是多少, 这个数列的首项。由此我们可以知道对于通项公式是形如a,p，q,公差d,p1 a,pn，q的数列，一定是等差数列，一次项系数p就是这个等差数列的公差，首项是p+q. n 例题评述:通过这个例题我们知道判断一个数列是否是等差数列的方法:如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列。 [探究] 引导学生动手画图研究完成以下探究: a,3n,5?在直角坐标系中，画出通项公式为的数列的图象。这个图象有什么特点, n ?在同一个直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么,据此说一说等差数列a,pn，q与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系。 n a分析:?n为正整数，当n取1，2，3，„„时，对应的可以利用通项公式求出。经过描n 点知道该图象是均匀分布的一群孤立点; ?画出函数y=3x-5的图象一条直线后发现数列的图象(点)在直线上，数列的图象是改一次函数当x在正整数范围内取值时相应的点的集合。于是可以得出结论:等差数列a,pn，q的图象是一次函数y=px+q的图象的一个子集，是y=px+q定义在正整数集上对n 应的点的集合。 a,pn，q该处还可以引导学生从等差数列中的p的几何意义去探究。 n [随堂练习] 例1之后:课本45页“练习”第1题; 例2之后:课本45页“练习”第2题; [课堂小结] 本节主要内容为: ?等差数列定义:即a,a,d(n?2) nn,1 ?等差数列通项公式:a,(n?1) a，(n,1)dn1 推导出公式:a,a，(n,m)d nm (五)评价设计 1、已知{a}是等差数列. n 2aaa,，2aaa,，? 是否成立,呢,为什么, 537519 21aaan,，，()? 是否成立,据此你能得出什么结论, nnn,，11 21aaan,，，() 是否成立,据此你又能得出什么结论, nnknk,， aa,mn,d{a}2、已知等差数列的公差为d.求证: nmn, 2(2 等差数列的前n项和(海口一中冯海敏) (一)教学目标 1(知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念;探索并掌握等差数列的通项公式;能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题;体会等差数列与一次函数的关系。 2. 过程与方法:通过对历史有名的高斯求和的介绍，引导学生发现等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个规律;由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。 3(情态与价值:培养学生利用学过的知识解决与现实有关的问题的能力。 (二)教学重、难点 重点:探索并掌握等差数列的前n项和公式;学会用公式解决一些实际问题，体会等差数列的前n项和与二次函数之间的联系。 难点:等差数列前n项和公式推导思路的获得，灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题 (三)学法与教学用具 学法:讲练结合 教学用具:投影仪 (四)教学设想 [创设情景] 等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的问题。在200多年前，历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”的高斯就曾经上演了迅速求出等差数列这么一出好戏。那时，高斯的数学老师提出了下面的问题:1+2+3+„„+100=,当时，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案:(1+100)+(2+99)+„„+(50+51)=101×50=5050 高斯的算法实际上解决了求等差数列1，2，3，„，n，„前100项的和的问题。 今天我们就来学习如何去求等差数列的前n项的和。 [探索研究] 我们先来看看人们由高斯求前100个正整数的方法得到了哪些启发。人们从高斯那里受到启发，于是用下面的这个方法计算1，2，3，„，n，„的前n项的和: 由 1 + 2 + „ + n-1 + n n + n-1 + „ + 2 + 1 (n+1)+(n+1)+ „ +(n+1)+(n+1) (n，1)，n1，2，3，...，n,可知 2 上面这种加法叫“倒序相加法” 请同学们观察思考一下:高斯的算法妙在哪里, 高斯的算法很巧妙，他发现了整个数列的第k项与倒数第k项的和与首项与尾项的和是相等的这个规律并且把这个规律用于求和中。这种方法是可以推广到求一般等差数列的前n项和的。 [等差数列求和公式的教学] a，a，a，...，a{a}S 一般地，称为数列的前n项的和，用表示，即123nnn S,a，a，a，...，a n123n 1、 思考:受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢, 思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。 S我们用两种方法表示: n S,a，(a，d)，(a，2d)，...，[a，(n,1)d], ? n1111 S,a，(a,d)，(a,2d)，...，[a,(n,1)d],? nnnnn ()+()+()+...+()aaaaaaaa，，，，2S,由?+?，得 1111nnnnn n个 ,n(a，a) 1n ()na，a1n{a} 由此得到等差数列的前n项和的公式 S,nn2 对于这个公式，我们知道:只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n项和了。 2、 除此之外，等差数列还有其他方法(读基础教好学生要介绍) 当然，对于等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。例如: Saaaa,，，，... nn123 =aadadand，，，，，，，,()(2)...[(1)] 1111 =naddnd，，，，,[2...(1)] 1 =nand，，，，,[12...(1)] 1 nn(1),nad， = 12 naa()，1nS,aand,，,(1) 这两个公式是可以相互转化的。把代入中，就可以得nn12 nn(1),Snad,，到 n12 引导学生思考这两个公式的结构特征得到:第一个公式反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质。第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数进行比 aa较。这两个公式的共同点都是知道和n，不同点是第一个公式还需知道，而第二个公1n式是要知道d，解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。 [公式运用] (课本52页练习1、2) {}a1、 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列的前n项和S. n aan,,,,,4188，，;? 18 a,,,14.50.732，d，a;? 1n [例题分析] 例1、2000年11月14日教育部下发了《关于在中 小学 小学生如何制作手抄报课件柳垭小学关于三违自查自纠报告小学英语获奖优质说课课件小学足球课教案全集小学语文新课程标准测试题 实施“校校通”工程的统治》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少, ?、先阅读题目; ?、引导学生提取有用的信息，构件等差数列模型; ?、写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前n项和公式进行求解。 解:根据题意，从2001-2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50 {}a万元.所以，可以建立一个等差数列，表示从2001年起各年投入的资金，其中 n a,500 ， d=50. 1 那么，到2010年(n=10)，投入的资金总额为 10101，,()S,，，，,10500507250 (万元) n2 答:从2001~2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元. 例2(已知一个等差数列{}a前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定n 这个等差数列的前n项和的公式吗, 引导学生分析得到:等差数列前n项和公式就是一个关于aand、、n或者a、、的n11 方程。若要确定其前n项求和公式，则要确定a和d的关系式，从而求得。 1 a与d的二元一分析:将已知条件代入等差数列前n项和的公式后，可得到两个关于1 次方程，由此可以求得a与d，从而得到所求前n项和的公式. 1 S,310，S,1220 解:由题意知 ， 1020 ()nn,1Snad,，， 将它们代入公式 n12 1045310ad，,，1 得到 201901220ad，,1 aa 解这个关于与d的方程组，得到=4，d=6， 11 ()nn,12Snnn,，，,，463 所以 n2 aa，1n10310S,，,另解: 102 aa，,62; ?得 110 aa，120S,，,201220 202 aa，,122; ? 所以120 1060d, ?-?，得， d,6 所以 a,4代入?得: 1 ()nn,12Sandnn,，,，3所以有 n12 例题评述:此例题目的是建立等差数列前n项和与解方程之间的联系.已知几个量，通 过解方程，得出其余的未知量. 12Snn,，例3 已知数列{}a的前n项为，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数nn2 列吗,如果是，它的首项与公差分别是什么, 解:根据 Saaaa,，，，，... nnn121, 与 Saaa,，，，...(n 1) , nn,,1121 11122aSSnnnnn,,,，,,，,,,()()[11]2 可知，当n,1时， ? nnn,1222 132aS,,，，,11 当n=1时， 也满足?式. 1122 1an,,2{}a 所以数列的通项公式为. nn2 3{}a 由此可知，数列是一个首项为，公差为2的等差数列。 n2 S 这个例题还给出了等差数列通项公式的一个求法.已知前n项和，可求出通项 n an (),11 a, nS,S(n,1) nn,1 Saa用这种数列的来确定的方法对于任何数列都是可行的，而且还要注意不一定满nn1SSa,,aa足由求出的通项表达式，所以最后要验证首项是否满足已求出的. nnn,11n {}a思考:结合例3，思考课本51页“探究”:一般地，如果一个数列的前n项和为n 2Spnqnr,，，.其中p、q、r为常数，且p?0，那么这个数列一定是等差数列吗,如果n 是，它的首项与公差分别是什么, aa，1nSn,引导分析得出:观察等差数列两个前n项和公式，和n2 ()nndd,12Sandnan,，,，,()，公式本身就不含常数项。 n11222 所以得到:如果一个数列前n项和公式是常数项为0，且关于n的二次型函数，则这个数列一定是等差数列. 24543，，，....SS例4 已知等差数列的前n项和为，求使得最大的序号n的值. nn77 dd2Snan,，,()S 分析:等差数列的前n项和公式可以写成，所以可以看成函n1n22 dd2*yxa,，,,()x(xN)S数当x=n时的函数值.另一方面，容易知道关于n的图1n22 象是一条抛物线上的一些点.因此，我们可以利用二次函数来求n的值. 245,543，，，.... 解:由题意知，等差数列的公差为，所以 777 n5Sn,，，,,[251]()() n27 27555151125nn,2 = ,,,，()n1414256 15S 于是，当n取与最接近的整数即7或8时，取最大值. n2 [随堂练习]课本52页“练习”第1、2、3、4题 [补充练习] ,,1、已知数列a,是等差数列，S是其前n项和，且S，S-S，S-S成等差数列，设n61261812n ，成等差数列吗, k,N,S,S,S,S,Sk2kk3k2k 生:分析题意，解决问题. ,,a,解:设首项是，公差为d an1 S,a，a，a，a，a，a则: 6123456 S,S,a，a，a，a，a，a126789101112 ,(a，6d)，(a，6d)，(a，6d)，(a，6d)，(a，6d)，(a，6d)123456,(a，a，a，a，a，a)，36d,S，36d1234566 S,S,a，a，a，a，a，a1812131415161718 ,(a，6d)，(a，6d)，(a，6d)，(a，6d)，(a，6d)，(a，6d)789101112,(a，a，a，a，a，a)，36d789101112 ,S,S，36d126 ？S,S,S,S,S为等差数列61261812 S,S,S,S,S同理可得成等差数列. k2kk3k2k *2、求集合的元素个数，并求这些元素的和。 ,,mm,7n,n,N,且m,100 1002解由m=100，得 n,,1477 满足此不等式的正整数n共有14个，所以集合m中的元素共有14个，从小到大可列为: 7，7×2，7×3，7×4，„7×14 即:7，14，21，28，„98 14，(7，98),,a,这个数列是等差数列，记为其中 a,7,a,98 ？S,,735n114142 1002解由m=100，得 n,,1477 满足此不等式的正整数n共有14个，所以集合m中的元素共有14个，从小到大可列为: 7，7×2，7×3，7×4，„7×14 即:7，14，21，28，„98 14，(7，98),,这个数列是等差数列，记为a, 其中 a,7,a,98 ？S,,735n114142答:集合m中共有14个元素，它们和等于735 ()na，ann(1),1nSnad,，{a}[课堂小结] 等差数列的前n项和的公式和 S,n1nn22 S,S,S,S,S也成等差数列. k2kk3k2k (五)评价设计 课本52页A组第1、3、6 思考:课本53页B组第4题 2(4等比数列(海口一中林惠) (一)教学目标 1`(知识与技能:理解等比数列的概念;掌握等比数列的通项公式;理解这种数列的模型 应用( ,(过程与方法:通过丰富实例抽象出等比数列模型，经历由发现几个具体数列的等比关 系，归纳出等比数列的定义，通过与等差数列的通项公式的推导类比， 探索等比数列的通项公式( ,(情态与价值:培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力( (二)教学重、难点 重点:等比数列的定义和通项公式 难点:等比数列与指数函数的关系 (三)学法与教学用具 学法:首先由几个具体实例抽象出等比数列的模型，从而归纳出等比数列的定义;与等差数列通项公式的推导类比，推导等比数列通项公式。 教学用具:投影仪 (四)教学设想 [创设情景] 分析书上的四个例子，各写出一个数列来表示 [探索研究] 四个数列分别是?1, 2, 4, 8, „ 111?1,，，，„ 24823?1,20 ,20 ,20 ,„ 23 ?10000×1.0198,10000×1.0198,10000×1.0198 4510000×1.0198,10000×1.0198 观察四个数列: 对于数列?,从第2项起,每一项与前一项的比都等于2 1对于数列?,从第2项起,每一项与前一项的比都等于 2 对于数列?,从第2项起,每一项与前一项的比都等于20 对于数列?,从第2项起,每一项与前一项的比都等于1.0198 可知这些数列的共同特点:从第2项起, 每一项与前一项的比都等于同一常数. 于是得到等比数列的定义: 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示(q?0) 1因此,以上四个数列均是等比数列,公比分别是2，,20,1.0198. 2 与等差中项类似,如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做 2a与b的等差中项,这时,a,b一定同号,G=ab 在归纳等比数列公式时,让学生先回忆等差数列通项公式的归纳,类比这个过程,归纳如下:a=aq 212a=aq=(aq)q=aq 321123 a=aq=(aq)q=aq4311 „ „ n-1 可得 a=aqn1 aaanxx111 上式可整理为a=q而y= q(q?1)是一个不为0的常数与指数函数q的乘积,nqqq aanx11从图象上看,表示数列 {q }中的各项的点是函数 y= q 的图象上的孤立点 qq [注意几点] n? 不要把a错误地写成a=aq nn1 ? 对于公比q,要强调它是“从第2项起,每一项与它的前一项的比”防止把相邻两项的比 的次序颠倒 ? 公比q是任意常数,可正可负 ? 首项和公比均不为0 [例题分析] 例1 某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这种物质是原来的84,.这 种物质的半衰期为多长(精确到1年)? 评注:要帮助学生发现实际问题中数列的等比关系,抽象出数学模型;通项公式反映了数列的 n-1 本质特征,因此关于等比数列的问题首先应想到它的通项公式a=aqn1 例2 根据图2.4-2中的框图,写出所打印数列的前5项,并建立数列的递推公式.这个数列 是等比数列吗? a，1n评注:要证明一个数列是等比数列,只需证明对于任意正整数n,是一个常数就行了 an 例3 一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求它的第1项和第2项. 评注:帮助学生再次体会通项公式的作用及其与方程之间的联系 例4 已知{a}{b}是项数相同的等比数列,仿照下表中的例子填写表格,从中你能得出什nn 么结论?证明你的结论. 评注:两个等比数列的积仍然是等比数列 [随堂练习]第59页第1、2、3题 [课堂小结] (1) 首项和公比都不为0 (2) 分别从定义、通项公式、相应图象的角度类比等差数列和等比数列 (五)评价设计 (1)课后思考:课本第59页[探究] (2)课后作业:第60页第1、2、6题 2.5等比数列的前n项和(海口一中林惠) (一)教学目标 1、 知识与技能:掌握等比数列的前n项和公式，并用公式解决实际问题 2、 过程与方法:由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n项和公式 3、 情态与价值:从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力 (二)教学重、难点 重点:使学生掌握等比数列的前n项和公式，用等比数列的前n项和公式解决实际问题 难点:由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n项和公式 (三)学法与教学用具 学法:由等比数列的结构特点推导出前n项和公式，从而利用公式解决实际问题 教学用具:投影仪 (四)教学设想 教材开头的问题可以转化成求首项为1，公比为2的等比数列的前64项的和.类似于等差数列，我们有必要探讨等比数列的前n项和公式。 一般地，对于等比数列 a，a，a，(((, a,((( 123n 它的前n项和是 Sn= a+a+a+(((+a 123n 由等比数列的通项公式,上式可以写成 2n-1 Sn= a+aq + aq +(((+aq ?1111 ? 式两边同乘以公比q得 2n-1n qSn= aq+ aq +(((+aq+ aq ? 1111 ?,?的右边有很多相同的项,用?的两边分别减去?的两边,得 n (1-q)Sn= aaq 1,1 当？?,时， na(1,q)1 Sn= (q?1) 1,q n-1 又a =aq所以上式也可写成 n1 a,aq1n Sn=(q?1) 1,q 推导出等比数列的前n项和公式，本节开头的问题就可以解决了 [相关问题] ?当q=1时，等比数列的前n项和公式为Sn=na1 nna(1,q)a(q,1)11? 公式可变形为Sn==(思考q>1和q<1时分别使用哪个方便) 1,qq,1 ? 如果已知a aq,n,Sn五个量中的任意三个就可以求出其余两个 1,n, [例题分析] 例1 求下列等比数列前8项的和: 111 (1),,,(((; 248 1(2) a=27, a=,q<0 19243 评注:第(2)题已知a=27,n=8,还缺少一个已知条件,由题意显然可以通过解方程求得1 公比q,题设中要求q<0,一方面是为了简化计算,另一方面是想提醒学生q既可以为正数,又可以为负数. 例2 某商场今年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%, 那么从今年起,大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)? 评注:先根据等比数列的前n项和公式列方程,再用对数的知识解方程 [随堂练习]第66页第1.2.3题 [课堂小结] (1) 等比数列的前n项和公式中要求q?1;这个公式可以变形成几个等价的式子 (2) 如果已知a aq,n,Sn五个量中的任意三个就可以求出其余两个 1,n, (五)评价设计 (1)课后阅读:课本67页[阅读与思考] (2)课后作业:第69页1,2,4题