从近几年高考试题看《数列》总复习

从近几年 高考 地理事物空间分布特征语文高考下定义高考日语答题卡模板高考688高频词汇高考文言文120个实词 试题看《数列》总复习 西安昆仑中学 杨同伟 数列是高中的主干内容，是历年高考的重点内容之一。在各地的高考试题中都占有相当大的比例，从考察内容和考察形式上看，不仅有考察基础知识、基本技能的选择题、填空题，而且有综合函数、不等式、解析几何等内容的压轴试题。本文主要结合近几年高考试题对《数列》一章的考察力度和考察方向进行分析，供高三复习备考之用。 1、等差、等比数列 纵观近几年的高考试题，考查、等差数列、等比数列的通项公式、前项和公式、等差n和等比数列的性质(如:“角码和”性质，“片段和”性质等)的试题比比皆是，这些知识的考查形式多数是选择题和填空题。 例1 (2007湖北?理?8)已知两个等差数列和的前项和分别为A和，{}a{}bBnnnnn aA745n，nn且，则使得为整数的正整数的个数是 ( ) n,bBn，3nn (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 ()21aan，,,，，121n, aaaaA2，71912n，nnnn12121,,2解: ,,,,,,，7.()(21)bbn，,,bbbbBnn211，，，121n,nnnn12121,, 2 an? 使为整数的正整数的个数是5.故，选择(D) nbn a例2 (2007全国I?理?15)等比数列SS2S3S的前项和为，已知，，成n,,n3n12 a等差数列，则的公比为 ( ,,n 2aqSaSaqSaqq,,，,，，,1,1.解:设等比数列的公比为，则 ,,，，，，n112131 S2S3S? ，，成等差数列， 312 12q,.aaqqaq，，，,，3141SSS，,34? ，即，? ，，，，1321113 an,,，52Sn例3 (2007全国II?理?16)已知数列的通项，其前项和为，则nn Sn ( lim,2?,nn d,,5解:由通项公式可知，数列为等差数列，首项为，公差， aa,,3,,n1 nn,1，，S5151S52nn? ? Snadnn,，,,,,,,, ,,,lim.n122?,n22222nnn2 例4 (=14,2007陕西?理?5)各项均为正数的等比数列的前n项和为S，若S=2,S,,a3nnnn 则S等于 4n ( ) (A)80 (B)30 (C) 26 (D) 16 解:由等比数列的“片段和”性质，知成等比数列，SSSSSSS,,,,,,nnnnnnn23243 即成等比数列，解得S=26.故，选择(C). 2,2,14,14SSS,,,4n224nnn d例5 (2007天津?理?8)设等差数列的公差不为0，(若是与aaaad,9a,,2kk11n k,的等比中项，则 ( ) (A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8 akdakd,，,，(8),28.解:由题意可知， 由于是与的等比中项。 aaa，，kk22kk1 22kk，,，，8928,k,4.? 即解得故，选择(B)。 aaa,,,，，，，kk12 例6 (2007福建?理?21)等差数列的前项和为( {}anSaS，，,，,，12932nn13(?)求数列{}a的通项a与前项和S; nnnn S,n(?)设{}b，求证:数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列( bn,,()Nnnn ,a,，21，,1？,d2 解:(?)由已知得，， ,33932ad，,，,1, 故( anSnn,,，,，212(2)，nn Sn2bn,,， (?)由(?)得( nn 2bbb,bbb，，pqr，，{}b 假设数列中存在三项(互不相等)成等比数列，则( pqrnqpr 2 即( (2)(2)(2)qpr，,，， 2 ？,，,,,()(2)20qprqpr , ， ？pqr，，,N 22,qpr,,0，pr，,,2 ( ？？,,,？,prprpr，，()0,,,20qpr,,,，2,,, 与矛盾( pr, 所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列( {}bn 2、新定义数列 在近几年的高考试题中，考察新定义数列的试题愈来愈多，这类试题重点考察学生运用新定义分析、推理的能力。 2a,，n12007湖北?理?6)若数列满足(为正常数，)，则称 例7 (n,Np{}a{}a,pnn2an 为“等方比数列”( 甲:数列是等方比数列; 乙:数列是等比数列，则( ) {}a{}ann (A)甲是乙的充分条件但不是必要条件 (B)甲是乙的必要条件但不是充分条件 (C)甲是乙的充要条件 (D)甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 2aa,n，1，n1n,Np解:若{}a是等方比数列，则(为正常数，)，进一步有，,,p,pn2aann an，1所以 ，数列{}a{}a不是等比数列;反之，若数列是等比数列，则,，进一步pnnan2a2，n1{}a，所以，数列是等方比数列。故，选择(B)。 ,pn2an aaa,...aaa,,, 例8 (2007上海?理?20)若有穷数列(n是正整数)，满足12n12n 1,,iniaaa....,aa,即(是正整数，且)，就称该数列为“对称数列”。 nn,11ini,，1 bbbbb,,,bb,,2,11 (1)已知数列是项数为7的对称数列，且成等差数列，，,,n123414 b试写出的每一项. ,,n (2)已知是项数为的对称数列，且构成首项为50，公cccc,...211kk,,,,，，nkkk，,121 k差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值,,4c21k,,,SSn21k,21k,最大值为多少, 21m,(3)对于给定的正整数，试写出所有项数不超过的对称数列，使得m,12m1,2,2...2 成为数列中的连续项;当m,1500时，试求其中一个数列的前2008项和. S2008 dd,3解:(1)设的公差为，则，解得 ， ,,bb,b，3d,2，3d,11n41 数列为( ？,,b25811852，，，，，，n (2) S,c，c，？，c，c，c，？，c2k,112k,1kk，12k,1 ， ,2(c，c，？，c),ckk，12k,1k 22 ， S,,4(k,13)，4，13,50k,21 k,13 当时，取得最大值( ？S2k,1 的最大值为626( S2k,1 (3)所有可能的“对称数列”是: 22122mmm,,, ? ; 122222221，，，，，，，，，，？？ 221122mmmm,,,, ? ; 1222222221，，，，，，，，，，，？？ mmmm,,,,122221 ? ; 222212222，，，，，，，，，，？？ mmmm,,,,122221 ? ( 2222112222，，，，，，，，，，，？？ 220072008m?2008 对于?，当时，( S,1，2，2，？，2,2,12008 m,2m,1m,22m,200915002007,m? 当时， S,1，2，？，2，2，2，？，22008 mm,12m,2009mm,12m,2009,2,1，2,2,2，2,2,1 ( 2008m?2008 对于?，当时，S,2,1( 2008 m，12m,200815002007,m?,2,2,1S 当时，( 2008 mm,2008m?2008S,2,2 对于?，当时，( 2008 m2009,m 当15002007,m?时，( ,2，2,3S2008 mm,2008m?2008 对于?，当时，( S,2,22008 m2008,m15002007,m? 当时，( ,2，2,2S2008 *例9 (2007江西?理?14)已知数列对于任意，有，若aaaa，,,,pq，,Nnpqpq， 1a,，则 . a,1369 2解:令,得 aaa,，,,pq,,12119 4 令,得 aaa,，,,pq,,24229 8 令,得 aaa,，,,pq,,48449 16 令,得 aaa,，,,pq,,816889 32 令,得 aaa,，,,pq,,163216169 36 令,得 aaa,，,,4.pq,,32,4363249 3、递推数列 这类问题通常是由递推公式给出数列，与其它知识交汇，重在考查运用递推公式进行变 形、推理与构造能力。常见的递推类型及处理方式有: (1)通过构造辅助数列来求通项公式 amaqmq=+,为常数() 类型1 形如的递推数列常转化为nn+1 q()()atmat+=+t=(其中常数)来求解; n1n+m-1 ()at1ata=++ 类型2 形如的递推数列常转化为n1nn1+- ()aataa-=-来求解; n+1nnn-1 a1an+1nn=?1aat=+ 类型3 形如的递推数列常转化为进一步转化+n1nnn+1ttt为类型1 来求解或用迭代法求解 ,aamapamp,，，,,0,为常数，nN 类型4 形如的递推数列，常给两边，，nnnn11，， mpaa,同除以转化为，再利用类型1的方法求解。 ，，,10nn，1aann，1 Sn(1);,,1 类型5 形如的递推数列常用来解决。 Sfaa,,a,，，,nnn，1nSSn,,(2)nn,1, (2)通过迭代、迭加或迭乘来求通项公式 ()()a=afn+aafn-= 类型1 形如的递推数列常转化为在用叠加法n1n+n1n+来求其通项公式或利用迭代法求其通项公式; ()a=mafn+ 类型2 形如的递推数列利用迭代法求其通项公式; n1n+ an+1()=fn 类型3 形如的递推数列利用迭乘法或迭代法求其通项公式 an (3)通过猜测， 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 归纳法 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 来求解通项公式 例10 (2007重庆?理?14)在数列中，若，则该aaaan,,，,1,23(1),,n11nn，数列的通项 . a,n 解:原递推关系可化为成等比数列，首项为4，公比为2，aaa，,，？323,，，,,nnn，1 nnn,，，111 ？，,,,？,,aa3422,23.nn k()aa1,=+-a1={}a 例11 (2004全国?理?22)已知数列中，且 1n-2k2k1 kk1,2,3,=La=+a3,其中， k+212k {}aa,a (1)求;(2)求的通项公式( n35 a3,a13.== 解:(1) 35 kkk()()2aa3a13,Q=+=+-+2k+12k2k-1 kk\-=+-aa31,2k+12k-1() ,,k1k1aa31,-=+-2k-12k-3 LL() ()aa31,-=+-31 ()()()---aaaaaa-+-++-L 2k+12k12k12k331 --()()()kk1kk1()轾=++++-+-++-333111LL臌 31kk轾()\-=-+--aa3111.() 2k+11臌22 k+131k()于是 ，=+--a11,2k+122k31,kk1k--=+-=+- -aa111+12k2k122()()()k31k=+--11.22 () 例12 (2007北京?文?16)数列中，(是常数，aa,2aacn,，c,,nnn，11 n,123，，，？)，且成公比不为的等比数列( 1aaa，，123 (I)求的值; c (II)求的通项公式( a,,n 2解:(I)，，，因为，，成等比数列，所以， a,2ac,，2aaa(2)2(23)，,，ccac,，23121233 2c,0c,2所以，解得或( (2)2(23)，,，cc c,0c,2 当时，，不符合题意舍去，故( aaa,,123 (II)当时，由于 ， aac,,n?221 ， aac,,232 ？？ ， aanc,,,(1)nn,1 nn(1), 所以( aancc,,，，，,,[12(1)]？n12 2c,2n,1 又a,2，，故(当时，上式也成annnnn,，,,,，,2(1)2(23)，，？1n 2立，所以( annn,,，,2(12)，，？n *an,Na,4 例13 (2007江西?理?22)设正整数数列满足:，且对于任何，,,n2 11，aa11nn，1有( ，,,，2211aann，1,nn，1 aa (1)求，; 13 aa(3)求数列的通项( ,,nn ,,1111解:(1)据条件得 ? 2(1)2，,，，,，nn,,aaaannnn，，11,, ,,11111221 当时，由，即有， n,1222，,，,，22，,，,，,,aaaa44aa11,,2121 28 解得(因为为正整数，故( aa,1,,a11137 ,,1111 当时，由， n,2262，,，,，,,aa4433,, 解得，所以( 810,,aa,933 2(2)由，，，猜想:( a,1a,9a,4an,132n 下面用数学归纳法证明( ,2n,12 1当，时，由(1)知均成立; an,n ,2 2假设成立，则，则时 nk,，1nkk,(2)?ak,k ,,1111 由?得 2(1)2，,，，,，kk,,22akak11kk，，,, 22kkkkk(1)(1)，，, ,,,ak，12kkk,，,11 2(1)1k，22 ,，,,,，，(1)(1)kakk，12kk，,11 222(1)k，k?2 因为时，，所以( (1)(1)(1)(2)0kkkkk，,，,，,?,01，，,2k，1 1k,11?，所以( ,01，，,k,1 22* 又，所以( (1)(1)kak，，??a,Nk，k，11 22nk,，1 故，即时，成立( an,ak,，(1)k，1n ,,*2 由1，2知，对任意，( n,Nan,n 4、数阵 在近年的高高试题中，涉及数阵的试题也很常见，解决此类问题的核心是要找出数阵的 摆放规则。 例14 (2007湖南?理?15)将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示 的0-1三角数表(从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，„，第次全行的数都为1的是第 行;第61行中1的个数是 ( n 第1行 1 1 第2行 1 0 1 1 1 1 1 第3行 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 „„ „„„„„„„„„„„„ 图1 解:如此继续，第6行的数为 1 0 1 0 1 0 1 第7行的数为 1 1 1 1 1 1 1 1 第8行的数为1 0 0 0 0 0 0 0 1 k由此猜想:第行的数都为1(证明略); 21, 由以上猜想可知，第63行为1 1 1 1 1 1„„„„1 1 1 1 1 1 第62行为 1 0 1 0 1 0„„0 1 0 1 0 1 第61行为 1 1 0 0 1 1„1 1 0 0 1 1 所以，第61行共有32个1. n!例15 (2005上海?理?12)用个不同的实数a,a,？,a可得到个不同的排列，n12n n!i每个排列为一行写成一个行的数阵。对第行a,a,？,a，记i1i2in n，. b,,a，2a,3a，，(,1)nai,1,2,3,？,n!ii1i2i3in 例如:用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以， ， 3b，b，？，b,,12，2，12,3，12,,2421126 231 b，b，？，b那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，=_________。 12120312 132解:在用1，2，3，4，5形成的数阵中，每一列各数之和都是360， 213 321b，b，？，b,,360，2，360,3，360，4，360,5，360,,1080 12120 图2 5、点列 此类问题通常都是按某种规则在曲线上生成一列点，然后来探索这一列fxy,0,，， 点的横坐标或纵坐标之间存在的关系。 2 例16 (2007四川?文?22)已知函数f(x)=x,4，设曲线y,f(x)在点(x，fn (x))处的切线与x轴的交点为(x,0)，其中为正实数. (*)nN,nn+1 (?)用x表示x; xn+1 x，2n (?)若a=4，记a=lg，证明数列,a,成等比数列，并求数列,x,的通项公1n1nx,2n 式; (?)若x,4，b,x,2，T是数列,b,的前n项和，证明T<3. 1nnnnn解:(?)由题可得( fxx'()2, 所以曲线在点处的切线方程是:( (,())xfxyfxfxxx,,,()'()()yfx,()nnnnn 2即( yxxxx,,,,(4)2()nnn 2令，得( y,0,,,,(4)2()xxxxnnnn，1 2即( xxx，,42nnn，1 x2n显然x,0，?( ,，x，1nn2xn 22xx(2)，(2)x,x22nnnn(?)由,，，知，同理( xx，,，，,22x,,2，1n，，nn112x2x22xxnnnn xx，，222nn，1,() 故( xx,,22nn，1 xx，，22nn，1lg2lg,aa,2{}a从而，即(所以，数列成等比数列( nn，1nxx,,22nn，1 x，2nnn,,,1111故( aa,,,22lg2lg3n1x,21 x，2n,1n即( lg2lg3,x,2n n,1x，22n从而 ,3x,2n n,122(31)，所以 x,n,1n231, n,122(31)，(?)由(?)知x， ,n,1n231, 4bx,,,,20? n,1nn2,31 n,12b311111,n，1? ,,,,,nnn,,,11112222b3313133,，n n,1当时，显然( Tb,,,2311 11121n,n,1bbbb,,,,？当时， ()()nnn,,121333 ? Tbbb,，，，？nn12 11n,1,，，，bbb？ ()11133 1nb[1()],13 ,1,13 1n,,,,33()3( 3 综上，T,3( (*)nN,n xn,N* 例17 (2007湖南?理?22)已知Aab()，aa,()是曲线上的点，，ye,nnn1 222n,234，，，S{}aa,0是数列的前n项和，且满足，，„( SnaS,，3nnnnnn,1 ,,bn，2n?2 (I)证明:数列()是常数数列; ,,bn,, aM,M{}aa (II)确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列; n aM,n,N*AAn (III)证明:当时，弦()的斜率随单调递增( nn，1 6、数列求和 常见的数列求和方式有:分组求和法、裂项相消法、错位相减法、基本公式法等。 nnn(1)(21)，，222常用的求和公式:; 12，，，,？n6 22nn(1)，333 ; 12，，，,？n4 012nn CCCC，，，，,？2.nnnn 类型1 若数列成等比数列，数列成等差数列，则数列的前n项和可abab,,,,,,nnnn 用错位相减法求解。 ,,1类型2 若数列成等差数列，则数列的前n项和可用裂项相消法求解。 a,,,,n,aann，1,, 类型3 与组合数有关的求和问题，常逆用二项式定理求解。 n21n,，，，，,333… 例18 (2007山东?理?17)设数列a满足，aaaa,,123nn3 *a,N( a (?)求数列的通项; ,,n nb(?)设，求数列的前项和( Snb,,,nnnan n21n,？，，，，,333…aaaa解:(?)， ? 123n3 n,122n,n?2 当时，aaaa，，，，,333…( ? ？1231n,3 11n,1a,a,3 ?-?得，( nnn33 1n,1a, 在?中，令，得( 13 1？,a ( nn3 nn (?)， ？,bn3( ？b,nnan 23n ？,，，，，，，Sn323333…， ? n 2341n，？,，，，，，，3323333Sn… ( ? n n3(13),，1nnn，123 ?-?得( 即， Sn23,,23(3333)Sn,,，，，，…nn13, n，1(21)33n, ( ？,，Sn44 k 例19 (2007陕西?理?22)已知各项全不为零的数列的前项和为，且{}aSnk 1Saak,,N*，其中( ()a,1kkk，112 (I)求数列的通项公式; {}an bkn,k，1(II)对任意给定的正整数，数列满足{}b,nn(2)?nabk，1kkn,,121，，，？()，，求( b,1bbb，，，？12n1 1k,1解:(?)当，由及，得( aSaa,,a,1a,21112122 11k?2aSSaaaa,,,, 当时，由，得( aaaa()2,,kkkkkkk,，,111kkkk，,1122 因为，所以(从而( a,0aa,,2amm,，,,,1(1)221 k21m,kk，,11 **m,N ，(故( amm,，,,2(1)22 akk,,()N2mk bnknk,,k，1 (?)因为，所以( ak,,,,,k1bak，kk，1 bbbnknkn(1)(2)(1),，,，,？k,1kk,12 所以 bb,,, ？ (1)1k1bbbkk ？ (1)21,kk,,121 1kk,1 ( ,,, ？Ckn，，，(1)(12)nn 11231nn,bbbb，，，，？ 故 ，，,,，,，,CCCC？(1)123nnnnn，，n 11012nn ( ，，,,,，,，,,CCCC？ 1(1),,nnnn，，nn 7、数列综合问题 数列与函数、不等式、方程等知识的综合问题常以数列知识为主线，涉及数列的单调性、数列的最大项、数列不等式的证明等。 aSS,1n 例20 (2007重庆?理?21)已知各项均为正数的数列的前项和满足，,,n1n n,N且，( 6(1)(2)Saa,，，nnn (?)求的通项公式; a,,n bn (?)设数列满足，并记为的前项和，求证: bbTna(21)1,,,,,,nnnn ( 31log(3)Tan,,，,，Nnn2 1 解:(I)解由，解得或，由假设，因此a,1a,2aS,,1aSaa,,，，(1)(2)111111116 ， a,21 11 又由， aSSaaaa,,,，，,，，(1)(2)(1)(2)nnnnnnn，，，，111166 得， ()(3)0aaaa，,,,nnnn，，11 即或，因，故不成立，舍去( aa,,,30aa,,a,0aa,,nn，1nn，1nnn，1 32 因此，从而a是公差为，首项为的等差数列，故a的通项为aa,,3,,,,nnnn，1 ( an,,31n b,,13nn (II)证:由可解得; a(21)1,,b,，,log1logn,,n22an31,,,2 363n,, 从而( Tbbb,，，，,？ ？ lognn122,,2531n,,, 33632n,, 因此( 31log(3)logTa，,，, ？ nn,,22253132nn,，,, 332fnnnn(1)3233(33)，，，，,,3632n,, 令，则( ,, fn(), ？ ,,,,2fnnnnn()3532(35)(32)，，，，253132nn,，,,,, 32 因，故( fnfn(1)()，,(33)(35)(32)970nnnn，,，，,，, 27 特别地，从而( 31log(3)log()0Tafn，,，,,fnf()(1)1?,,nn2220 31log(3)Ta，,， 即( nn2 2 例21 (2007广东?21)已知函数,,，fx()0,，是方程的两个fxxx()1,，, fa()n,a,1fx()fx()根(,,,)，是的导数，设，( ,,,，，？aan(12)1，1nn,fa()n (1)求的值; ,,， (2)证明:对任意的正整数，都有; a,,nn a,,n(3)记，求数列的前项和( bSln(12)nbn,,，，？,,nnna,,n 2解:(1)?，是方程f(x)=0的两个根， ,,,(),,,fxxx()1,，, ,，,,1515?; ,,,,,22 115aaa，，，,(21)(21)2nnnaa，,1nn244aaa,,,, (2)， fxx'()21,，，nnn1aa，，2121nn 5 114a，，,(21) =， na，4212n 51,51, ?，?有基本不等式可知(当且仅当时取等号)， a,1a,,0a,12122 51,51,51, ?同，样，„„，a,(n=1,2,„„)， a,a,,0,,23n222 ()()aaa,,,,,,nnnaaa,,,,,，，(1),,,,,，,,1,,，,,1 (3)，而，即， ，1nnn2121aa，，nn 22()a,,()a,,13535,，，,nna,,a,,,,b,,,lnln2ln，同理，，又 bb,2，，nn111nn，121a，21a，12,,35,nn ，35nS,, ? 2(21)lnn2 a 例22 (2007全国I?理?22)已知数列中a,2，，aa,,，(21)(2),,n1nn，1 n,123，，，…( a (?)求的通项公式; ,,n 34b，nn,123，，，…bb,2?)若数列 (中，，， ,,b,n1，1n23b，n n,123，，，… 证明:，( 2,ba?nn43, 解:(?)由题设: aa,,，(21)(2),,,，,，(21)(2)(21)(22)ann，1n ， ,,,，(21)(2)2an ? ( aa,,,,2(21)(2)nn，1 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 22,21,a,2,,n n ， a,,,22(21)n n，，n,123，，，… 即的通项公式为，( aa,,，2(21)1nn，， (?)用数学归纳法证明( n,1 (?)当时，因，，所以，结论成立( 22,ba,,22,ba?1111 nk, (?)假设当时，结论成立，即，也即2,ba?kk43, ( 023,,,ba?kk43, nk,，1 当时， 34b，(322)(432),，,b(322)(2),,bkkk ， b,,,22,,,0，1k23b，23b，23b，kkk 11 又， ,,,322b，23，223k (322)(2),,b2k 所以 ,,,(322)(2)bb,,2k，1k23b，k 4 ?(21)(2),,ak,43 ( ,,a241k， nk,，1 也就是说，当时，结论成立( n,123，，，… 根据(?)和(?)知，(2,ba?nn43,