傅里叶级数 傅里叶变换 抽样定理 解释
一、周期信号的傅里叶级数
分析
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已知f?t???Someting?，那么它就可以表示为如下形式:
f?t??a0???ancos(nw1t)?bnsin(nw1t)? -----------------------------------------
公式(1.1)
n?1?
1其中:a0?Tt0?Tt0?2f(t)dt、an?Tt0?Tt0?2f(t)cos(nw1t)dt、bn?Tt0?Tt0?f(t)sin(nwt)dt 1
------------------------------------------ 公式(1.2)
二、狄利克雷条件(存在傅里叶级数的条件)
(1)有限个间断点 (2)有限个极大值、极小值 (3)绝对可积
三、傅里叶级数的另外写法
C型(这样叫比较形象):
f?t??c0?
D型: ??cn?1
??ncos(nw1t??n)? ----------------------------------------------------公式(3.1)
f?t??d0???dnsin(nw1t??n)? ----------------------------------------------------公式(3.2)
n?1
观察以上两个公式和公式<公式(1.1)>不难发现:
c0?d0?a0;
22cn?dn?an?bn;
an?cn?cos?n?dn?sin?n;
bn??cn?sin?n?dn?cos?n;
tan?n?anb,tan?n??n。 bnan
四、指数形式的级数
f?t??
n?????F(nw)e1?jnw1t? ----------------------------------------------------公
式(4.1)
对比公式(1.1)不难发现其中
11(an?jbn)、F(?nw1)?(an?jbn)就可以满足了 22
1t0?T1t0?Tf(t)[cos(nwt)-jsin(nwt)]dt =?f(t)e?jnw1tdt----公式 所以
F(nw1)??(4.2) tt00TT 只要F(nw1)?
那么又可以得到下面的一串
Fn?Fnej?n?1(an?jbn); 2
1F?n?F?ne?j?n?(an?jbn); 2
11122Fn?F?n?cn?dn?an?bn; 222
Fn?F?n?cn。
五、傅里叶变换
由公式4.1和公式4.2得:
??1t0?T?? f?t??????f(t)e?jnwtdt?ejnw1t?--------------------------------公式
(5.1) t?n?????T0?
由上面的中T??时，
???1dw?,???，则得到如下公式: T2?1?jwtjwt f?t???[f(t)edt]edw
---------------------------------公式(5.2) ?2?????
注; 1dw1w?解释下这个，因为?f?，这个就必需懂了～ T2?T2?
?得到公式5.2 那基本就完成了，只需要提取一些东西就可以了。
F(w)?
???f(t)e?jwtdt; ---------------------------------公式(5.3)
?1f?t??2????F(w)ejwtdw。 ---------------------------------
公式(5.4)
六、 抽样定理
(a)
图1 a.取样脉冲信号 b.模拟信号(b)
可以得到抽样后的结果为:
ms(t)?m(t)?T(t) ------------------------------------公式(6.1)
从而Ms(w)?M(w)???(w) ------------------------------------公式(6.2)
2?
易知?T(t)???(t?nT) 得到??(w)?
Tsn???
?
n???
??(w?nw)
s
t0?T
1
t0
?
(注:知公式4.1 f?t??
n???
1
F(nw) =和公式4.2??F(nw)e?T?
1
jnw1t
?
f(t)e?jnw1tdt
可知，
F(nws)?
1
Ts
?
t0?T
t0
f(t)e?jnwstdt?
1Ts
?
?
t0?T
t0
?Te?jnwtdt?1
s
，
f?t??
n???
??F(nw)e
s
?
jnw1t
???e
n???
?
jnws1t
2?
，所以??(w)?
Ts
n???
??(w?nw))
s
2?
Ms(w)?M(w)???(w)?
Ts
n???
?M(w?nw)
s
?
(a)(b)
(c)
(d)
(e)
图2 抽样过程
(f)
抽样过程中相当于把信号的频谱按照fs平移，而信号所占的频谱带宽
最小为2fH所以得出抽样定理fs>=2fH。
浙公网安备 33021202002483