对弧长的曲线积分

对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分曲线形构件的质量: 设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上～已知曲线形构件在点(x～ y) 处的线密度为,(x～ y), 求曲线形构件的质量, 把曲线分成n小段～ ,s～ ,s～ , , ,～ ,s(,s也表示弧长), 12ni 任取(,～ ,),,s～得第i小段质量的近似值,(,～ ,),s, i iii ii n 整个物质曲线的质量近似为M,,(,,,),s, ,iiii,1 令,,max{,s～ ,s～ , , ,～ ,s},0～则整个物质曲线的质量为 12n n ...

对弧长的曲线积分曲线形构件的质量: 设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上～已知曲线形构件在点(x～ y) 处的线密度为,(x～ y), 求曲线形构件的质量, 把曲线分成n小段～ ,s～ ,s～ , , ,～ ,s(,s也表示弧长), 12ni 任取(,～ ,),,s～得第i小段质量的近似值,(,～ ,),s, i iii ii n 整个物质曲线的质量近似为M,,(,,,),s, ,iiii,1 令,,max{,s～ ,s～ , , ,～ ,s},0～则整个物质曲线的质量为 12n n M,lim,(,,,),s, ,iii,,0i,1 这种和的极限在研究其它问题时也会遇到, 定义设L为xOy面内的一条光滑曲线弧～函数f(x～ y)在L上有界, 在L上任意插入一点列M～ M～ , , ,～ M把L分在n个小段. 设第i个小段的长度为,s～又(,～ ,)为第i个小段12n,1iii n上任意取定的一点～作乘积f(f(,,,),s,～ ,),s～ (i,1～ 2～, , ,～ n )～并作和～如果当各小iii,iiii,1弧段的长度的最大值,,0～这和的极限总存在～则称此极限为函数f(x～ y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分～记作f(x,y)ds～即,L n f(x,y)ds,limf(,,,),s, ,iii,L,,0i,1 其中f(x～ y)叫做被积函数～ L 叫做积分弧段, 设函数f(x～ y)定义在可求长度的曲线L上～并且有界, 将L任意分成n个弧段: ,s～ ,s～ , , ,～ ,s～并用,s表示第i段的弧长, 12ni n 在每一弧段,sf(,,,),s上任取一点(,～ ,)～作和, iii,iiii,1 令,,max{,s～ ,s～ , , ,～ ,s}～如果当,,0时～这和的极限总存在～则称此极限为函数12n f(x～ y)在曲线弧L上对弧长的 1 曲线积分或第一类曲线积分～记作～即 f(x,y)ds,L n f(x,y)ds,limf(,,,),s, ,iii,L,,0i,1 其中f(x～ y)叫做被积函数～ L 叫做积分弧段, 曲线积分的存在性: 当f(x～ y)在光滑曲线弧L上连续时～对弧长的曲线积分是存在的, 以后我们总假定f(x～ y)在L上是连续的, f(x,y)ds,L 根据对弧长的曲线积分的定义～曲线形构件的质量就是曲线积分的值～其,(x,y)ds,L 中,(x～ y)为线密度, n 对弧长的曲线积分的推广: f(x,y,z)ds,limf,(,,,,),s, ,iiii,,,,0i,1 如果L(或,)是分段光滑的～则规定函数在L(或,)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和, 例如设L可分成两段光滑曲线弧L及L～则规定 12 f(x,y)ds,f(x,y)ds，f(x,y)ds, ,,,L，LLL1212 闭曲线积分: 如果L是闭曲线～那么函数f(x～ y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作 f(x,y)ds, ,L 对弧长的曲线积分的性质: 性质1 设c、c为常数～则 12 [cf(x,y)，cg(x,y)]ds,cf(x,y)ds，cg(x,y)ds, 1212,,,LLL 性质2 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L和L～则 12 f(x,y)ds,f(x,y)ds，f(x,y)ds, ,,,LLL12 性质3设在L上f(x～ y),g(x～ y)～则 f(x,y)ds,g(x,y)ds, ,,LL 特别地～有 |f(x,y)ds,||f(x,y)|ds ,,LL 二、对弧长的曲线积分的计算法 2 根据对弧长的曲线积分的定义～如果曲线形构件L的线密度为f(x～ y)～则曲线形构件L 的质量为 , f(x,y)ds,L 另一方面～若曲线L的参数方程为 x,,(t)～ y,, (t) (,,t,,)～则质量元素为 22 ,,～ f(x,y)ds,f[,(t),, (t)],(t)，,(t)dt曲线的质量为 ,22 ,,，,f[(t,), (t)],(t),(t)dt, ,, ,22即 ,,,，f(x,y)ds,f[(t,), (t)],(t),(t)dt, ,,,L 定理设f(x～ y)在曲线弧L上有定义且连续～ L的参数方程为 x,,(t)～ y,,(t) (,,t,,)～ 22其中,(t)、,(t)在[,～ ,]上具有一阶连续导数～且,,(t)，,,(t),0～则曲线积分f(x,y)ds存,L 在～且 ,22 ,,,，f(x,y)ds,f[(t,),(t)],(t),(t)dt(,<,), ,,,L 证明（略）应注意的问题: 定积分的下限,一定要小于上限,, 讨论: (1)若曲线L的方程为y,,(x)(a,x,b)～则f(x,y)ds,? ,L提示: L的参数方程为x,x～ y,,(x)(a,x,b)～ b2 ,(,),[,()]1，()fxydsfx,x,xdx, ,,La (2)若曲线L的方程为x,f(x,y)ds,(y)(c,y,d)～则,? ,L提示: L的参数方程为x,(y)～ y,y(c,y,d)～ , d2 ,f(x,y)ds,f,[(y),y],(y)，1dy, ,,Lc 3 (3)若曲,的方程为x,,(t)～ y,,(t)～ z,,(t)(,,t,,)～则,? f(x,y,z)ds,, ,222提示: ,,,,，，f(x,y,z)ds,f[,(t),(,t),(t)],(t),(t),(t)dt, ,,,, 2 例1 计算～其中L是抛物线y,x上点O(0～ 0)与点B(1～ 1)之间的一段弧, yds,L 2 解曲线的方程为y,x (0,x,1)～因此 1112222 ,,，ydsx1(x)dx,x1，4xdx, ,(55,1),,,00L12 例2 计算半径为R、中心角为2,的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度为 ,,1), 2 解取坐标系如图所示～则I,yds, ,L 曲线L的参数方程为 x,Rcos,～ y,Rsin, (,,,,<,), ,22222于是 ,Rsin,(,Rsin,)，(Rcos,)d, I,yds,,,,L ,332 ,Rsin,d,,R(,,sin, cos,), ,,, 222 例3 计算曲线积分(x，y，z)ds～其中,为螺旋线x,acost、y,asint、z,kt上相应,, 于t从0到达2,的一段弧, 2222222 2 2 解在曲线,上有x，y，z,(a cos t)，(a sin t)，(k t),a，kt～并且 22222 ～ ds,(,asin)t，(acos)t，kdt,a，kdt 2,22222222于是 ,(a，kt)a，kdt(x，y，z)ds ,,0, 222222 , ,,a，k(3a，4,k)3 : 用曲线积分解决问题的步骤: (1)建立曲线积分, (2)写出曲线的参数方程 ( 或直角坐标方程) ～确定参数的变化范围, (3)将曲线积分化为定积分, (4)计算定积分, 4 5

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