高中数学椭圆焦半径公式及应用专题辅导

高中数学椭圆焦半径公式及应用专题辅导高中数学椭圆焦半径公式及应用专题辅导高中数学椭圆焦半径公式及应用专题辅导任岭云椭圆上的任意一点到焦点F的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。一、公式的推导设P(，)是椭圆上的任意一点，分别是椭圆的左、右焦点，F(,c，0)、F(c，0)xy0012 22yx，,(1a,b,0)椭圆，求证，。 |PF|,a，ex|PF|,a,ex102022ab 222a,xc2222220 证法1:...

高中数学椭圆焦半径公式及应用专题辅导高中数学椭圆焦半径公式及应用专题辅导任岭云椭圆上的任意一点到焦点F的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。一、公式的推导设P(，)是椭圆上的任意一点，分别是椭圆的左、右焦点，F(,c，0)、F(c，0)xy0012 22yx，,(1a,b,0)椭圆，求证，。 |PF|,a，ex|PF|,a,ex102022ab 222a,xc2222220 证法1: |PF|,(x，c)，y,(x，c)，b,,,x，2cx，a1000022aa cx0 。 ,|a，|a cx0 因为，所以 ,a,x,aa，,a,c,00a ? |PF|,a，ex10 又因为，所以 |PF|，|PF|,2a|PF|,a,ex1220 ?， |PF|,a，ex|PF|,a,ex1020 |PF|1 证法2:设P到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知,e，又d、d12d1 222aaaa，所以，而d,|x,(,)|,|x，||PF|,d,e,(x，),a，ex100110cccc 。 |PF|,2a,(a，ex),a,ex200 ?，。 |PF|,a，ex|PF|,a,ex1020 二、公式的应用 229yx 例1 椭圆，,1上三个不同的点A()、B()、C()到焦x，yx，y4，11222595点F(4，0)的距离成等差数列，求的值。 x，x12 25 解:在已知椭圆中，右准线方程为，设A、B、C到右准线的距离为，d、d、dx,1234 252525则、、。 d,,xd,,4d,,x11232444 ?，，，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。 |AF|,d,e|BF|,d,e|CF|,d,e123 2525 ?，即，。 2d,d，dx，x,82(,4),2，,(x，x)213121244 评析:涉及椭圆上点到焦点的距离问题，一般采用焦半径公式求解，即利用焦半径公式可求出A、B、C三点到焦点的距离，再利用等差数列的性质即可求出的值。 x，x12 22yx，,1 例2 设为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上。已知P、F、F是一F、F121294 |PF|1个直角三角形的三个顶点，且|PF|,|PF|，求的值。 12|PF|2 5c,5e, 解:由椭圆方程可知a=3，b=2，并求得，离心率。 3 用心爱心专心由椭圆的对称性，不妨设P(，)()是椭圆上的一点，则由题x,0，y,0xy0000 意知应为左焦半径，应为右焦半径。 |PF||PF|12 55 由焦半径公式，得，。 |PF|,3，x|PF|,3,x102033 5522222 (1)若?为直角，则，即 (3，x),(3,x)PFF|PF|,|PF|，|FF|0021121233 |PF|721，解得，故。 ,，(25)x,50|PF|22 5522222 (2)若?为直角，则，即= (3，x)，(3,x)PFF|PF|，|PF|,|FF|0012121233 |PF|353，121，解得，故。 x,,2,(25)05|PF|3,12 评析:当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离时，常利用焦半径公式把问题转化，此例就利用焦半径公式成功地求出值。 x0 22yx 例3 已知椭圆C:，为其两个焦点，问能否在椭圆C上找一点M，，,1F、F1243 使点M到左准线的距离|MN|是与的等比中项。若存在，求出点M的坐标;若|MF||MF|12 不存在，请说明理由。 2b,3解:设存在点M()，使，由已知得a=2，，c=1，x，y|MN|,|MF|,|MF|0012 1222222，则，即，左准线为x=,45x，32x|x，4|,(a，ex)(a,ex),a,ex,4,x00000004 1248=0，解得，或。 x,,4,[,2，2]x,,,[,2，2]005 因此，点M不存在。评析:在涉及到椭圆上的点与其焦点的距离时，如果直接用两点间距离公式，运算将非常复杂，而选用焦半径公式可使运算简洁明了。用心爱心专心

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