弯矩、剪力、荷载集度 间的关系 叠加法作剪力图和弯矩图

弯矩、剪力、荷载集度 间的关系 叠加法作剪力图和弯矩图 第一节 杆件的内力及其求法 第二节 梁的内力图及其绘制 第三节 弯矩、剪力、荷载集度 间的关系 第四节 叠加法作剪力图和弯矩图 第五节 其它杆件的内力计算方法 小结 返回 第一节 杆件的内力及其求法一、杆件的外力与变形特点 1.弯曲—梁(横向力作用)受力特点:垂直杆轴方向作用外力， 或杆轴平面内作用外力偶;变形特点:杆轴由直变弯。 平面弯曲—荷载与反力均作用在梁的纵向对称平面内，梁轴线也在该平面内弯成一条曲线。 单跨静定梁的基本形式: 返回 下一张 上一张 小结2、轴向拉伸与压缩— 杆(纵向力作用)受力特点:外力与杆轴线方向重合;变形特点:杆轴沿外力方向伸长或缩短。3、扭转—轴(外力偶作用)受力特点:外力偶作用在垂直杆轴平面内;变形特点:截面绕杆轴相对旋转。4、组合变形—两种或两种以上基本变形的组合。 返回 下一张 上一张 小结二、梁的内力及其求法内力—外力引起的受力构件内相邻部分之间相互作用力的改变量。杆件横截面上的内力有:轴力，剪力，弯矩，扭矩等。 1、剪力和弯矩的概念 图示简支梁在荷载及支座反力共同作用下处于平衡状态。 求距支座A为x的横截面m-m.上的内力。用截面法求内力。 步骤:1截开 2代替剪力Q——限制梁段上下移动的内力弯矩M——限制梁段转动的内力偶。单位:剪力Q KN N;弯矩M KN.m ， N.m 3平衡 Y 0 RA Q 0 Q RA M o 0 Mo RAx 0 M o RA x 若取右半段梁为研究对象可得: Q Q Mo Mo 返回 下一张 上一张 小结 2、剪力和弯矩的符号规定 1)剪力Q:截面上的剪力Q使所取脱离体产生顺时针转动趋势时(或者左上右下)为正，反之为负。 2)弯矩M:截面上的弯矩M使所取脱离体产生下边凸出的变形时(或者左顺右逆)为正，反之为负。 为避免符号出错要求: 未知内力均按符号规定的正向假设。 返回 下一张 上一张 小结例3-1:悬臂梁如图所示。求1-1截面和2-2截 面上的剪力和弯矩。解:1)求1-1截面上的内力 1 1 Y 0 P 2 ql Q1 0 Q1 P ql 2 l 1 l M0 0 P× 2 ql × M 1 0 2 4 1 1 2 M 1 Pl ql 2 8 求得的 Q1 、M1 均为负值说明内力实际方向与假设方向相反。矩心 O 是1-1截面的形心。 2)求2-2截面上的内力 Y 0 P ql Q 2 0 Q2 P ql l 1 M0 0 P × l ql × 2 2 M2 Pl ql2 M 0 2 求得的 Q2 、M2 均为负值说明内力实际方向与假设方向相反。矩心 O1是2-2截面的形心。 返回 下一张 上一张 小结例3-2 外伸梁如图，试求1-1，2-2截面上的剪力和弯矩。解:1、求支座反力:由整体平衡 M B 0 P1 × 8 P2 × 3 YA × 6 0 YA 14kNM A 0 P × 2 P2 × 3 YB × 6 0 1 YB 9kN校核: Y YA YB P P 1493200 反力无误。 1 2 2、求1-1截面上的内力:取左半段研究 Y 0 YA P1 Q1 0 Q1 YA P 14311 1 kNM o 0 P × 3 YA × 1 M 1 0 矩心o—1-1截面形心 1 M 1 YA × 1 P × 3 5kN m 1 3、求2-2截面上的内力:取右半段研究 Y 0 Q2 YB 0 Q2 YB 9kNM o 0 YB × 1.5 M 2 0 矩心o’—2-2截面形心 M 2 1 . 5Y B 13 . 5 kN m若取左半段梁研究，则 Y 0 YA P1 P2 Q2 0 Q2 YA P P2 14 3 20 9kN 1M o 0 YA × 4.5 P × 6.5 P2 × 1.5 M 2 0 1 M 2 YA × 4.5 P × 6.5 P2 × 1.5 13.5kN m 1 返回 下一张 上一张 小结 3、直接法求梁的内力:(由外力直接求梁横截面上的内力) (1)梁任一横截面上的剪力在数值上等于该截面一侧(左侧或右侧)所有外力沿截面方向投影的代数和; Q PiQ 符号规定:外力使截面产生顺时针转动趋势时(或左上右下)该截面剪力为正，否则为负; 横截 截 (2)梁任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面一侧(左侧或右侧)所有外力对截面形心力矩的代数和; M M o PiQ 符号规定:外力使梁段产生上凹下凸 变形时(或左顺右逆)该截面弯矩为正， 否则为负; 计算时可 按二看一定的顺序进行:一看截面一侧有几个力，二看各力使梁段产生的变形，最后确定该截面内力的数值。 返回 下一张 上一张 小结例3-3:简支梁如图所示。试计算1-1、2-2、 3-3、4-4 截面上的剪力和弯矩。解:1)求支座反力 pL 2L MA 0 2 P× 3 VB L 0 7P VB ? 6 M B 0 2 P × 3 VA L 0 PL L P V A ? 6 P 7P 校核 Y VA P VB P 6 6 0 反力无误。 2)计算截面内力 1-1截面: P L p L PL 4 PL 2-2截面: Q2 V A M 2 VA × m × 6 3 6 3 2 9 P L L P 2 L PL 7 PL 3-3截面: Q3 V A M 3 V A × m × 6 3 3 6 3 2 18 7P L 7 P L 7 PL 4-4截面: Q 4 V B M 4 VB × × 6 3 6 3 18 返回 下一张 上一张 小结 第二节 梁的内力图及 其绘制一、剪力图和弯矩图的概念 梁各截面的内力随截面位置而变化，其函数关系式 QxQx MxMx称作剪力方程和弯矩方程。 列内力方程即求任意截面的内力。 Q x P qx 0 ? x ? l 1 M x Px qx 2 0 ? x ? l 2 反映剪力(弯矩)随截面位置变化 规律的曲线，称作剪力(弯矩)图。二、剪力图和弯矩图的作法: 1 取平行梁轴的轴线表示截面位置，规定 Pl ql 2 2正值的剪力画轴上侧，正值的弯矩画轴下侧;可先列内力方程再作其函数曲线图。 如悬臂梁:当xo Qx-P Mx0 xl Qx-P-ql Mx-Pl-ql2/2. 其剪力图和弯矩图如图示。 返回 下一张 上一张 小结 例3-4 作图示悬臂梁的内力图。 解:1.列内力方程:(先确定x坐标，再由直接法求x截面的内力。) Q x P 0 x ? l M x Px 0 ? x ? l 2.作内力图:(先取坐标系确定端点坐标，再按内力方程特征绘图。) Qx等于常数，为水平线图形;由 x 0 Q 0 P x l Q l P 作剪力图 Mx等于x的一次函数，为斜直线图形;由 x 0 M 0 0 x l M l Pl 作弯矩图 结论:当梁段上没有荷载q作用时，剪力图为水平线， 弯矩图为斜直线。 返回 下一张 上一张 小结例3-5 作图示简支梁的内力图。解:1.列内力方程:先求支座反力 利用对称性: A V B 1 ql ? V 1 2Q x VA qx ql qx 0 x l 1 2 1M x VA x qx 2 q lx x 2 0 ? x ? l 2 2 2.作内力图:Q 为 的 次函数 Q图为斜直线Qx为x的一次函数，Q图为斜直线; 1 1 x 0 Q 0 ql x l Ql ql 作 2 2 Mx为x的二次函数，M图为抛物线; l l 1 2x 0 M 0 0 x l M l 0 x M ql 作 2 2 8 结论:当梁段上有均布荷载q作用时，Q图为斜直线，M图为二次抛物线。 返回 下一张 上一张 小结 例3-6 作图示简支梁的内力图。 解:1.列内力方程: 求 支座反力:由整体平衡 V Pb ? VB Pa ? 校核无误。 A l l 因P作用，内力方程应分AC和CB两段建立。 Pb PbAC段: Q x VA M x VA x x 0 x a l l Pa PaCB段: Q x1 VB M x1 VB l x1 l x1 l l Pa Pa a x1 l Q x2 M x2 x2 0 x 2 b l l 2.作内力图: Pa AC段:x 0 Q0 l M 0 0 Pb x a Q a M a 0 l Pb Pab CB段: 1 a x2 b Qa x l M a l Pa x1 l x2 0 Q l M l 0. l 返回 下一张 上一张 小结 结论:在集中力P作用截面，Q图发生突变，突变值等于该集中力P的大小;M图有尖角，尖角的指向与集中力P相同。 内力函数的不连续是由于将集中力的作用范围简化为一个点的结果。若考虑集中力为微梁段上的均布荷载 则C截面的中力为微梁段上的均布荷载，则C截面的Q图和M图应为斜直线和抛物线。 因此，当谈到集中力作用出的剪力时，必须指明是集中力的左侧截面(C左)还是集中力的右侧截面(C右)。 返回 下一张 上一张 小结 例3-7 作图示简支梁的内力图。 解:1.列内力方程:求支座反力 m VA VB ? 校核无误。 l m mAC段: x Q M x x 0 x a l l m m Q x1 M x1 l x1 a x1 l CB段: l l m m Q x 2 M x 2 x2 0 x 2 b l l 2. 作内力图: mAC 段:x 0 : Q 0 M 0 0 l m ma x a : Qa M a l l m mbCB段:x1 a : Q a M a l l m x1 l : Q l M l 0. l 结论:在集中力偶作用截面，Q图不受影响;M图有突变，突变值等于该集中力偶的力偶矩。(谈弯矩时，必须指明集中力偶作用截面的左侧或者右侧。) 返回 下一张 上一张 小结 第三节 弯矩、剪力、荷载集度间的关系 一、弯矩、剪力、荷载集度间的关系由梁微段的平衡条件: Y 0 Q x Q x dQ x q xdx 0 dQ x ? q x......a dx M O 0 Mo—矩心O取在右侧截面的形心。 dx M x dM x M x Q xdx q xdx 0 2 x dM x ? Q x......b dx d 2 M x 将b代入a，? 2 q x......c dx a、b、c三式即Q、M、q间的关系。力学意义:微分形式的平衡方程;几何意义:反映内力图的凹凸性;(一阶导数反映切线斜率;二阶导数反映曲线凹凸性。) 返回 下一张 上一张 小结二、M、Q、q三者间关系在内力图绘制中的应用(内力图特征) q0梁段 qc梁段 P作用截面 m 作用梁段梁上外力剪力图弯矩图 返回 下一张 上一张 小结例3-8:用简捷法绘出图示简支梁的内力图。解:1)计算支座反力 VA 6KN? VB 18KN ? Y VA VB q × 4 6 18 6 × 4 0 校核无误。 2 梁分段:为ACCB两段。 3)画内力图:(先求控制截面内力值，再按 内力图特征画图。) 剪力图AB 段: QA Qc VA 6 KNBC 段: QC 6 KN QB VA q × 4 6 6 × 4 18 KN 弯矩图 AB 段: MA 0 M C VA × 2 12 KN m BC 段: VB 18 在Q0处，弯矩有极值数值为:由 Qx VB qx 0 x 3m q 6 3 M 0 VB × 3 q × 3 × 27KN m 2 4)确定内力最大值: Q max 18kN 在B支座处。 M max 27kN .m 在距B支座3m处。 返回 下一张 上一张 小结 三、简捷法绘梁内力图的步骤: 1. 求支座反力;(注意校核～悬臂梁可省略。) 2. 将梁分段;(以梁上荷载变化处为界，包括:P、m作用点，q的起止点，梁的支座和端点等。) 3. 绘内力图;(先确定控制截面内力值，再按 内力图特征绘图，最后用内力图特征检验。控制截面即梁分界截面。注意P、m作用处应取两侧截面。) 4. 确定内力最大值及其位置。从图上直接找 Q max M max 。 简捷法绘梁内力图的关键是 正确确定控制截面内力值 简捷法绘梁内力图的关键是:正确确定控制截面内力值 (一般用直接法);熟记内力图的特征。 确定控制截面内力值的方法有三种: 1)截面法;(三个步骤，两套符号规定。) 2)直接法;(由外力定内力符号看梁的变形。) 3)积分法。(微分关系逆运算的应用。) 返回 下一张 上一张 小结 ,3)积分法求指定截面的内力: 假定梁段上从左向右依次有A、B两个点，A点的QA、MA已知，可由此计算B点的QB、MB.。 A B 由 dQ x q x dQ x q x dx dx B ? QB QA q xdx B B dQ x q xdx A A A 同理，由 A、B两点间分布荷载图形的面积 B dM x Q x x ? M B M A Q xdx A dx A、B两点间剪力图形的面积 如此，可利用积分法从梁左端向右端依次确定各控制截面内力值;按内力图的特征逐段绘图。 这样需知梁端点上的内力值: 梁端点 铰支座无 固定端无 自 由 端 荷载 集中荷载 集中荷载 无集中荷载 集中力P 集中力偶m 剪力值 支反力值 支反力值 零 P力值 零 弯矩值 零 支反力偶 零 零 m力偶矩 矩 返回 下一张 上一张 小结