概率论与数理统计作业交两面内容全学的页码.1990年，美国《Parade展示》杂志“AskMarilyn”专栏的主持人玛莉莲·莎凡收到了一名读者的提问：假设你正在参加一个游戏节目，你被
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在三扇门中选择一扇。其中一扇后面有一辆汽车，其余两扇后面则是山羊。你选择了一扇门，假设是一号门，然后知道门后面有什么的主持人开启了另一扇后面有山羊的门,假设是三号门。他然后问你:“你想选择二号吗？一个教授都容易回答错误的概率问题.§1.4条件概率与事件的独立性一、条件概率1．问题E~产品(N个产品中含M个次品)随机抽样。Ai={第i次抽到次品},i=1,2，放回抽样时，不放回抽样时，
P(A2)P(Ai)P(A2).2．定义为在B发生的条件下，A发生的条件概率。Ω注2．条件概率满足三条公理及概率的其它性质。AB设A、B为两随机事件，且P(B)>0，则称.例1设某地区历史上从某次特大洪水发生以后在30年内发生特大洪水的概率为80%，在40年内发生特大洪水的概率为85%，现已知该地区已经30年未发生特大洪水，问未来10年内将发生特大洪水的概率是多少？解记A={30年内无特大洪水}，B={未来10年内有特大洪水}，则二、乘法
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A={40年内无特大洪水}.例2设A盒内有M个黑球，B盒内有同种质地、大小的M个白球。现让某人从B盒内随机摸取一球放入A盒中，然后再从A盒中随机摸取一球放入B盒中，称此为一次交换。若经M次交换后，A中恰有M个白球则此人可获奖。问此人获奖的概率是多少？解设.例3袋中有5个球：3个红球，2个白球。现每次任取1个，取后放回，并同时放入3个同色的球。记Ai为第i次取到红球，求概率P(A2)。解问题：A3由哪几个原因引起？.三、全概率公式ΩB则对任何事件B有证A1A2……AnBA1BA2BAi...BAn注意：解题时先画因果关系图(多因一果)。A1Ai…AnP(B/Ai)BP(Ai)例1.17(P10：矿工逃生问题)。BA1.例从一副不含有大小王的扑克牌中不放回的抽取两张，求两张牌点数相同的概率。.例从一副不含有大小王的扑克牌中不放回的抽取两张，求第二张牌点数大于第一张的概率。.例[2005]从数1,2,3,4中任取一个,记为X,再从1,…,X中任取一个,记为Y,则.解:试验分为两个阶段,Y=2是第2阶段的结果,第1阶段的所有结果是Y=2发生的一组前提条件..例某种产品的商标为“MAXAM”,其中有两个脱落，有人捡起随意放回，求放回仍为“MAXAM”的概率.解:试验分两阶段第一阶段是字母脱落,第2阶段是捡起放回,放回仍为“MAXAM”是第2阶段的结果,设为A,它与第1阶段脱落的情况有关.则代入即得用B表示脱落的两个字母相同..赌徒输光问题:设甲乙二人赌博,每局输赢1元钱,每局甲赢的概率为p,开始时甲乙二人各有m,n元钱,约定赌到一个人输光为止,求甲输光的概率..可以解得.四、Bayes公式P(Ai)P(Ai/B)A1A2…AnP(B/Ai)BP(Ai)——先验概率P(Ai/B)后验概率BB证明.例4一台机床正常时，产品的合格率为90%，非正常时，产品的合格率为30%。每天上班开动机床时，机床正常的概率为75%。检验人员为检验机床是否正常，开动机床生产出了一件产品，经检验，该产品为不合格品，问此时机床处于正常状态的概率是多少？解记A={机器处于正常状态}B={生产出的一件产品为不合格品}0.750.250.10.7此时机器处于不正常状态的概率为0.7，应检修。.注Ⅰ.已知某事件已发生，求另一事件的概率则为求条件概率。Ⅱ.已知每种原因出现的概率及每种原因导致某结果出现的条件概率，则由全概率公式，可求得某结果出现的概率P(B)(非条件概率)；由Bayes公式，可求得结果B是由某原因引起的(后验,条件)概率。Ⅲ.应用全概率公式和Bayes公式时要注意其条件(原因两两不相容)。..关于条件概率的问题.例从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张,将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞.求2张都是假钞的概率.解令A表示“从两张中任抽一张，结果是假钞”.例2C表示“2张至少有一张是假钞”..女孩问题:设有两个孩子的一对新夫妇刚搬到某小镇,假定有人在路上遇到母亲与她的一个孩子散步,若这个孩子是女孩,问她的两个孩子都是女孩的概率是多少?....一个教授都容易回答错误的问题的解答.一、什么是贝叶斯推断.......什么是贝叶斯过滤器？......五、事件的独立性引例E~传染病抽检(已知该病犯病率为1%)，A={前99位查没病}，B={第100位有病}定义1若事件A、B满足：P(AB)=P(A)P(B)，则称A与B相互独立。(通常根据直观意义判断独立性，再反用定义).定理下面四个等式是等价的：证明(1)(2)类似地可证:(2)(3)，(3)(4)，(4)(1)，.定义2称A、B、C相互独立，是指下面等式成立：例5设有四张卡片，一张涂有红色，一张涂有白色，一张涂有黑色，一张涂有红、白、黑三种颜色。从中任意取一张，令A={抽出的卡片上出现红色}，B={抽出的卡片上出现白色}，C={抽出的卡片上出现黑色}，试
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A、B、C的独立性。A={}，B={}，C={}但即A、B、C两两独立，但A、B、C不相互独立的。对比乘法公式看其意义.一般称A1,A2,…,An相互独立，是指下面等式成立：P(Ai1Ai2…Aik)=P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik)，1≤i1P(A2)P(Ai)P(A2).2．定义为在B发生的条件下，A发生的条件概率。Ω注2．条件概率满足三条公理及概率的其它性质。AB设A、B为两随机事件，且P(B)>0，则称.例1设某地区历史上从某次特大洪水发生以后在30年内发生特大洪水的概率为80%，在40年内发生特大洪水的概率为85%，现已知该地区已经30年未发生特大洪水，问未来10年内将发生特大洪水的概率是多少？解记A={30年内无特大洪水}，B={未来10年内有特大洪水}，则二、乘法公式A={40年内无特大洪水}.例2设A盒内有M个黑球，B盒内有同种质地、大小的M个白球。现让某人从B盒内随机摸取一球放入A盒中，然后再从A盒中随机摸取一球放入B盒中，称此为一次交换。若经M次交换后，A中恰有M个白球则此人可获奖。问此人获奖的概率是多少？解设.例3袋中有5个球：3个红球，2个白球。现每次任取1个，取后放回，并同时放入3个同色的球。记Ai为第i次取到红球，求概率P(A2)。解问题：A3由哪几个原因引起？.三、全概率公式ΩB则对任何事件B有证A1A2……AnBA1BA2BAi...BAn注意：解题时先画因果关系图(多因一果)。A1Ai…AnP(B/Ai)BP(Ai)例1.17(P10：矿工逃生问题)。BA1.例从一副不含有大小王的扑克牌中不妨会的抽取两张，求两张牌点数相同的概率。.例从一副不含有大小王的扑克牌中不妨会的抽取两张，求第二张牌点数大于第一张的概率。.例[2005]从数1,2,3,4中任取一个,记为X,再从1,…,X中任取一个,记为Y,则.解:试验分为两个阶段,Y=2是第2阶段的结果,第1阶段的所有结果是Y=2发生的一组前提条件..例某种产品的商标为“MAXAM”,其中有两个脱落，有人捡起随意放回，求放回仍为“MAXAM”的概率.解:试验分两阶段第一阶段是字母脱落,第2阶段是捡起放回,放回仍为“MAXAM”是第2阶段的结果,设为A,它与第1阶段脱落的情况有关.则代入即得用B表示脱落的两个字母相同..赌徒输光问题:设甲乙二人赌博,每局输赢1元钱,每局甲赢的概率为p,开始时甲乙二人各有m,n元钱,约定赌到一个人输光为止,求甲输光的概率..可以解得.四、Bayes公式P(Ai)P(Ai/B)A1A2…AnP(B/Ai)BP(Ai)——先验概率P(Ai/B)后验概率BB证明.例4一台机床正常时，产品的合格率为90%，非正常时，产品的合格率为30%。每天上班开动机床时，机床正常的概率为75%。检验人员为检验机床是否正常，开动机床生产出了一件产品，经检验，该产品为不合格品，问此时机床处于正常状态的概率是多少？解记A={机器处于正常状态}B={生产出的一件产品为不合格品}0.750.250.10.7此时机器处于不正常状态的概率为0.7，应检修。.一个教授都容易回答错误的问题的解答.一、什么是贝叶斯推断.......什么是贝叶斯过滤器？......注Ⅰ.已知某事件已发生，求另一事件的概率则为求条件概率。Ⅱ.已知每种原因出现的概率及每种原因导致某结果出现的条件概率，则由全概率公式，可求得某结果出现的概率P(B)(非条件概率)；由Bayes公式，可求得结果B是由某原因引起的(后验,条件)概率。Ⅲ.应用全概率公式和Bayes公式时要注意其条件(原因两两不相容)。.五、事件的独立性引例E~传染病抽检(已知该病犯病率为1%)，A={前99位查没病}，B={第100位有病}定义1若事件A、B满足：P(AB)=P(A)P(B)，则称A与B相互独立。(通常根据直观意义判断独立性，再反用定义).定理下面四个等式是等价的：证明(1)(2)类似地可证:(2)(3)，(3)(4)，(4)(1)，.定义2称A、B、C相互独立，是指下面等式成立：例5设有四张卡片，一张涂有红色，一张涂有白色，一张涂有黑色，一张涂有红、白、黑三种颜色。从中任意取一张，令A={抽出的卡片上出现红色}，B={抽出的卡片上出现白色}，C={抽出的卡片上出现黑色}，试分析A、B、C的独立性。A={}，B={}，C={}但即A、B、C两两独立，但A、B、C不相互独立的。对比乘法公式看其意义.一般称A1,A2,…,An相互独立，是指下面等式成立：P(Ai1Ai2…Aik)=P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik)，1≤i1
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