初中数学九年级下册《余弦函数和正切函数》教案、教学设计

初中数学九年级下册《余弦函数和正切函数》教案、教学设计九年级下册数学余弦函数和正切函数教案、教学设计一、教学目标1．理解余弦、正切的概念；(重点)2．熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算。(重点)二、教学过程1、情境导入教师提问：我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？为什么可以这样定义？学生回答后教师提出新问题：在上一节课中我们知道，如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角∠A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定了．现在我们要问：其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？2、合作探究探究点一：余弦函数和正切函数的定义【类型一】利用余弦的定义求三角函数值在...

九年级下册数学余弦函数和正切函数教案、教学设计一、教学目标1．理解余弦、正切的概念；(重点)2．熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算。(重点)二、教学过程1、情境导入教师提问：我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？为什么可以这样定义？学生回答后教师提出新问题：在上一节课中我们知道，如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角∠A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定了．现在我们要问：其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？2、合作探究探究点一：余弦函数和正切函数的定义【类型一】利用余弦的定义求三角函数值在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则cosA＝(　　)A.eq\f(5,13)B.eq\f(5,12)C.eq\f(12,13)D.eq\f(12,5)解析：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，∴cosA＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(12,13).故选C。方法总结：在直角三角形中，锐角的余弦等于这个角的邻边与斜边的比值。【类型二】利用正切的定义求三角函数值如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA＝(　　)A.eq\f(3,5)B.eq\f(4,5)C.eq\f(3,4)D.eq\f(4,3)解析：在直角△ABC中，∵∠ABC＝90°，∴tanA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(4,3).故选D.方法总结：在直角三角形中，锐角的正切等于它的对边与邻边的比值．探究点二：三角函数的增减性【类型一】判断三角形函数的增减性随着锐角α的增大，cosα的值(　　)A．增大B．减小C．不变D．不确定解析：当角度在0°～90°之间变化时，余弦值随着角度的增大而减小，故选B.方法总结：当0°＜α＜90°时，cosα的值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)．【类型二】比较三角函数的大小sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是(　　)A．tan70°＜cos70°＜sin70°B．cos70°＜tan70°＜sin70°C．sin70°＜cos70°＜tan70°D．cos70°＜sin70°＜tan70°解析：根据锐角三角函数的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1.又∵cos70°＝sin20°，正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞cos70°＝sin20°.故选D.方法总结：当角度在0°≤∠A≤90°之间变化时，0≤sinA≤1，0≤cosA≤1，tanA≥0.探究点三：求三角函数值【类型一】三角函数与圆的综合如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD.(1)求证：DC＝BC；(2)若AB＝5，AC＝4，求tan∠DCE的值．解析：(1)连接OC，求证DC＝BC可以先证明∠CAD＝∠BAC，进而证明eq\o(DC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))；(2)由AB＝5，AC＝4，可根据勾股定理得到BC＝3，易证△ACE∽△ABC，可以求出CE、DE的长，在Rt△CDE中根据三角函数的定义就可以求出tan∠DCE的值．(1)证明：连接OC.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE＝90°.∵AE⊥CE，∴∠AEC＝∠OCE＝90°，∴OC∥AE，∴∠OCA＝∠CAD，∴∠CAD＝∠BAC，∴eq\o(DC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵)).∴DC＝BC；(2)解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(52－42)＝3.∵∠CAE＝∠BAC，∠AEC＝∠ACB＝90°，∴△ACE∽△ABC，∴eq\f(EC,BC)＝eq\f(AC,AB)，即eq\f(EC,3)＝eq\f(4,5)，EC＝eq\f(12,5).∵DC＝BC＝3，∴ED＝eq\r(DC2－CE2)＝eq\r(32－（\f(12,5)）2)＝eq\f(9,5)，∴tan∠DCE＝eq\f(ED,EC)＝eq\f(\f(9,5),\f(12,5))＝eq\f(3,4)。方法总结：证明圆的弦相等可以转化为证明弦所对的弧相等．利用圆的有关性质，寻找或构造直角三角形来求三角函数值，遇到比较复杂的问题时，可通过全等或相似将线段进行转化．【类型二】利用三角形的边角关系求三角函数值如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝eq\f(3,4)，求sinC的值。解析：根据tan∠BAD＝eq\f(3,4)，求得BD的长．在直角△ACD中由勾股定理可求AC的长，然后利用正弦的定义求解．解：∵在直角△ABD中，tan∠BAD＝eq\f(BD,AD)＝eq\f(3,4)，∴BD＝AD·tan∠BAD＝12×eq\f(3,4)＝9，∴CD＝BC－BD＝14－9＝5，∴AC＝eq\r(AD2＋CD2)＝eq\r(122＋52)＝13，∴sinC＝eq\f(AD,AC)＝eq\f(12,13).方法总结：在不同的直角三角形中，要根据三角函数的定义，分清它们的边角关系，结合勾股定理是解答此类问题的关键。3、板书设计（1）余弦函数的定义；（2）正切函数的定义；（3）锐角三角函数的增减性。三、教学反思在数学学习中，有一些学生往往不注重基本概念、基础知识，认为只要会做题就可以了，结果往往失分于选择题、填空题等一些概念性较强的题目．通过引导学生进行知识梳理，教会学生如何进行知识的归纳、总结，进一步帮助学生理解、掌握基本概念和基础知识。

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