弹性力学精简ppt课件

弹性力学上海大学*第一节弹性力学的基本任务第二节弹性力学的基本假设第三节弹性力学的基本概念第一章緖论板、壳和实体，较精确 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 杆。与材料力学等的关系：相同：基本任务：分析、校核、优化区别：第一节弹性力学的基本任务1)研究对象：材料力学：研究杆状结构；结构力学：研究杆系结构；弹性力学：2)研究方法：例如，对于高度较大的梁（深梁），材料力学基于平面假设的公式不再成立。弹性力学不引用平面假设，得到较为精确的答。对于带孔的拉伸构件平面假设也不再成立，应力的分布是不均匀的，弹性力学的计算表明，在孔边发生应力集中。弹性力学：较少的假设，得出较精确的结果。材料力学：较多的假设，得出近似的结果。第二节弹性力学的基本假设（1）连续性假设：（2）完全弹性假设：（3）均匀性假设：（4）各向同性假设：（5）小变形假设：应力、应变和位移等物理量可用连续函数表示。假定物体服从胡克定律。材料常数不随位置坐标变化。物体内一点的弹性性质在各个方向上相同。可以用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。xyzo第三节弹性力学的基本概念1）体力：方向与正轴方向一致为正。2）面力：方向与正轴方向一致为正。1.外力正面：外法线方向与坐标轴正向一致。负面：外法线方向与坐标轴正向相反。τyx:第一下标y表示作用面，第二下标x表示作用方向。σyτyxτyz2〕应力符号规定：σy：其下标y表示作用面和作用方向。正面上：应力方向与正轴方向一致为正。负面上：应力方向与正轴方向相反为正。2.应力yoxz1〕单元体：x、y、z正面上的应力分量表示如图。凡正面上的应力沿坐标正向为正，逆坐标正向为负。xyzoxyzo3)9个应力分量，独立分量6个。4〕已知6个应力分量，可求得任意斜截面上的应力。凡负面上的应力沿坐标负向为正，沿坐标正向为负。注意弹性力学切应力符号和材料力学是有区别的，图示中，弹性力学里，切应力都为正，而材料力学中相邻两面的的符号是不同的。弹性力学材料力学1〕正应变：单位长度的伸缩。伸长为正xyzo3.形变x方向上的正应变εx2〕剪应变：线段间直角的变化。直角变小为正x与y方向上的线段间直角的变化γxy4.位移x方向的位移:uy方向的位移:vz方向的位移:w与正轴方向一致为正。3〕已知6个应变分量，可确定该点的应变状态。第二章平面问题的基本理论要点—建立平面问题的基本方程包括：平衡微分方程；几何方程；物理方程；变形协调方程；边界条件的描述；方程的求解方法等。一.平面应力问题与平面应变问题（Problemsofplanestressandplanestrain）1.平面应力问题(1)几何特征一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。——平板如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等(2)受力特征外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿z方向不变化。(3)简化的应力特征如图选取坐标系，以板的中面为xy平面，垂直于中面的任一直线为z轴。由于板面上不受力，有:因板很薄，且外力沿z轴方向不变。可认为整个薄板的各点都有：由剪应力互等定理，有:结论：(a)平面应力问题只有三个应力分量：(b)应变分量、位移分量也仅为x、y的函数，与z无关。(c)2.平面应变问题(1)几何特征一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。——近似认为无限长。(2)外力特征外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度z方向不变化。约束——沿长度z方向不变化。可近似为平面应变问题的例子：煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。(3)简化的变形特征如图坐标系：以任一横截面为xy面，任一纵线为z轴。设z方向为无限长，则沿z方向都不变化，仅为x，y的函数。任一横截面均可视为对称面则有——平面应变问题(c)结论：(a)(b)如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？平面应力问题平面应变问题非平面问题两类平面问题：平面应力问题平面应变问题几何特征受力特征应力特征几何特征;受力特征;应变特征。外力、应力、形变、位移。基本假定：（1）连续性假定；（2）线弹性假定；（3）均匀性假定；（4）各向同性假定；（5）小变形假定。（注意：剪应力正负号规定）（掌握这些假定的作用）基本概念：t=1.AC：BC:二.平面问题的平衡微分方程(Equilibriumequations)Dividedtheequationbydxdy：Dividedtheequationbydxdy：when直角坐标下的应力平衡微分方程说明：（1）两个平衡微分方程，三个未知量：——超静定问题，需找补充方程才能求解。（2）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用；（3）平衡方程中不含E、μ，方程与材料性质无关（钢、石料、混凝土等）；（4）平衡方程对整个弹性体内都满足。undeformeddeformed注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。建立：平面问题中应变与位移的关系一点的变形线段的伸长或缩短；线段间的相对转动；考察P点邻域内线段的变形：三.几何方程(Thegeometricalequations)NormalstrainofPA:NormalstrainofPB:ShearstrainofpointP：P点两直角线段夹角的变化:——几何方程Thegeometricalequations建立：平面问题中应力与应变的关系物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料力学中的广义虎克（Hooke）定律。其中：E为拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；μ为侧向收缩系数，又称泊松比。四.物理方程1.平面应力问题的物理方程由于平面应力问题中——平面应力问题的物理方程注：(1)(2)——物理方程的另一形式2.平面应变问题的物理方程由于平面应变问题中——平面应变问题的物理方程注：由式虎克定律第三式，得3.两类平面问题物理方程的转换——平面应变问题的物理方程——平面应力问题的物理方程(1)平面应力问题平面应变问题材料常数的转换为：(2)平面应变问题平面应力问题材料常数的转换为：平面问题的求解问题：已知：外力（体力、面力）、边界条件，求：——仅为xy的函数需建立三个方面的关系：（1）静力学关系：（2）几何学关系：（3）物理学关系：应变与应力间的关系。应力与体力、面力间的关系；应变与位移间的关系；建立边界条件：——平衡微分方程——几何方程——物理方程（1）应力边界条件；（2）位移边界条件；五.边界条件（Boundaryconditions）1.弹性力学平面问题的基本方程（1）平衡方程：（2）几何方程：（3）物理方程：未知量数：8个方程数：8个结论：在适当的边界条件下，上述8个方程可解。2.边界条件及其分类边界条件：建立边界上的物理量与内部物理量间的关系。是力学计算模型建立的重要环节。边界分类（1）位移边界（2）应力边界（3）混合边界——三类边界（1）位移边界条件位移分量已知的边界——位移边界——平面问题的位移边界条件说明：称为固定位移边界。（2）应力边界条件由又：l、m为边界外法线关于x、y轴的方向余弦。——平面问题的应力边界条件在边界上取直角三角形微元体PAB，其斜面AB与边界面重合。N为其法线。得则：（3）混合边界条件(1)物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。(2)物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另一为应力边界条件。图(a)：——位移边界条件——应力边界条件图(b)：——位移边界条件——应力边界条件特殊边界应力边界条件：垂直x轴边界：垂直y轴边界：例1如图所示，试写出其边界条件。q(1)(2)(3)平面问题的基本方程1.平衡微分方程2.几何方程3.物理方程（平面应力问题）4.边界条件位移：应力：问题的提出：求解弹性力学问题时，使应力分量、形变分量、位移分量完全满足8个基本方程相对容易，但要使边界条件完全满足，往往很困难。如图所示，其力的作用点处的应力边界条件无法列写。1).静力等效的概念两个力系，若它们的主矢量、对于同一点的主矩相等，则两个力系为静力等效力系。这种等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正确，但对变形体而言一般是不等效的。3.圣维南原理(Saint-VenantPrinciple)2).圣维南原理(Saint-VenantPrinciple)原理：若把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有显著改变，而远处所受的影响可忽略不计。只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。注意事项：必须满足静力等效条件图a是一端固支、一端受集中力作用的杆件，其厚度为1mm，容易计算出杆内的应力为100MPa。图b是该杆件的应力分布图，不同的颜色代表不同的应力值。由于上部固定端和下部加力端的影响，明显看出从上部固定端向下大约20mm区域内应力并不是均匀分布，在杆的下端，从集中力作用处向上大约25mm的区域内应力也不是均匀分布的。图b中，只有杆中间部分横截面上的应力才是均匀分布的，且其大小为100MPa。圣维南原理说，力作用于杆端的分布方式，只影响杆端局部范围的应力分布，影响区的轴向范围约离杆端1-3个杆的最大横向尺寸。例图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。例图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。左面：代入右面：代入应力边界条件公式，有左右面为主要边界，须精确满足。注意：例图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。上端面：上端面为次要边界，可近似满足，由圣维南原理求解。y方向力等效：对O点的力矩等效：x方向力等效：注意：必须按正向假设！上端面：（方法2）取图示微元体，可见，与前面结果相同。由微元体的平衡求得，六.按位移求解平面问题1.弹性力学平面问题的基本方程（1）平衡方程：（2）几何方程：（3）物理方程：（4）边界条件：（1）（2）2.弹性力学问题的求解方法（1）按位移求解（位移法、刚度法）以u、v为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用u、v表示，并求出u、v，再由几何方程、物理方程求出应力与应变分量。（2）按应力求解（力法，柔度法）以应力分量为基本未知函数，将所有方程都用应力分量表示，并求出应力分量，再由几何方程、物理方程求出应变分量与位移。（3）混合求解以部分位移分量和部分应力分量为基本未知函数，将，并求出这些未知量，再求出其余未知量。3.按位移求解平面问题的基本方程（1）将平衡方程用位移表示由应变表示的物理方程将几何方程代入，有（a）将式(a)代入平衡方程，化简有（2）将边界条件用位移表示位移边界条件：应力边界条件：将式（a）代入，得说明：（1）对平面应变问题，只需将式中的E、μ作相替换即可。（2）一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。（3）按位移求解平面问题的基本方程（1）平衡方程：（2）边界条件：位移边界条件：应力边界条件：七.按应力求解平面问题相容方程1.变形协调方程（相容方程）按应力求解的未知函数：平衡微分方程：2个方程，3个未知量，为超静定问题。需寻求补充方程。将几何方程：作如下运算：显然有：——变形协调方程（或相容方程）例：其中：C为常数。显然，此组位移分量不能满足形变协调方程，因而不能存在.2.变形协调方程的应力表示（1）平面应力情形将物理方程代入相容方程，得：利用平衡方程将上述化简：（a）将上述两边相加：（b）将(b)代入(a)，得：将上式整理得：应力表示的相容方程（2）平面应变情形（平面应力情形）应力表示的相容方程（平面应变情形）注意：当体力X、Y为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即3.按应力求解平面问题的基本方程（1）平衡方程（2）相容方程（形变协调方程）（3）边界条件：（平面应力情形）说明：（1）对位移边界问题，不易按应力求解。（2）对应力边界问题，且为单连通问题，满足上述方程的解是唯一正确解。（3）对多连通问题，满足上述方程外，还需满足位移单值条件，才是唯一正确解。八.常体力情况下的简化应力函数1.常体力下平面问题的相容方程令：——拉普拉斯（Laplace）算子则相容方程可表示为：——平面应力情形——平面应变情形当体力X、Y为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即或2.常体力下平面问题的基本方程（1）平衡方程（2）相容方程（形变协调方程）（3）边界条件（4）位移单值条件——对多连通问题而言。讨论：（1）——Laplace方程，或称调和方程。（2）常体力下，方程中不含E、μ（b）不同材料，具有相同外力和边界条件时，其计算结果相同。——光弹性实验原理。（3）用平面应力试验模型，代替平面应变试验模型，为实验应力分析提供理论基础。常体力下问题的基本方程：边界条件、位移单值条件。(a)(b)式(a)为非齐次方程，其解：全解=齐次方程通解3.平衡微分方程解的形式(1)特解常体力下特解形式：+非齐次方程的特解。(1)(2)(3)(2)通解式(a)的齐次方程：(c)(d)的通解。将式(d)第一式改写为由微分方程理论，必存在一函数A(x,y)，使得(e)(f)同理，将式(d)第二式改写为(g)(h)比较式(f)与(h)，有也必存在一函数B(x,y)，使得(2)通解式(a)的齐次方程：(d)的通解。由微分方程理论，必存在一函数φ(x,y)，使得(i)(j)将式(i)、(j)代入(e)、(f)、(g)、(h)，得通解：(k)(2)通解式(a)的齐次方程：(d)的通解：——对应于平衡微分方程的齐次方程通解。(3)全解取特解为：则其全解为：——常体力下平衡方程的全解。由上式看：不管φ(x,y)是什么函数，都能满足平衡方程。φ(x,y)——平面问题的应力函数——Airy应力函数4.相容方程的应力函数表示将右边式代入常体力下的相容方程：有：注意到体力X、Y为常量，有将上式展开，有——应力函数表示的相容方程给出了应力函数满足的条件。——应力函数表示的相容方程上式可简记为：或：式中：满足相容方程的函数φ(x,y)称为重调和函数（或双调和函数）结论：应力函数φ应为一重调和函数按应力求解平面问题（X=常量、Y=常量）的归结为：（1）（2）（3）例图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。例图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。左侧面：代入应力边界条件公式右侧面：代入应力边界条件公式，有上端面：为次要边界，可由圣维南原理求解。y方向力等效：对O点的力矩等效：x方向力等效：注意：必须按正向假设！上端面：（方法2）取图示微元体，可见，与前面结果相同。由微元体的平衡求得，（1）（2）下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。思考题1.2.试用圣维南原理写出梁固定端的应力边界条件。第三章平面问题的直角坐标解答要点——用逆解法、半逆解法求解平面弹性力学问题。1.多项式解答2.位移分量的求出3.简支梁受均布载荷主要内容（1）逆解法（1）假设各种满足相容方程的φ(x,y)的形式；（2）——主要适用于简单边界条件的问题。（3）利用应力边界条件式，考察这些应力函数φ(x,y)对应什么样的边界面力，从而得知所设应力函数φ(x,y)可以求解什么问题。（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），（2）（3）一.求解方法——逆解法与半逆解法二.多项式解答适用性：由一些直线边界构成的弹性体。目的：考察一些简单多项式函数作为应力函数φ(x,y)，能解决什么样的力学问题。——逆解法其中：a、b、c为系数。检验φ(x,y)是否满足相容方程：显然φ(x,y)满足相容方程，因而可作为应力函数。1.一次多项式（1）（2）对应的应力分量：（不计体力：X=Y=0）（3）应力边界条件得结论1：（1）（2）一次多项式对应于无体力、无面力和无应力状态；在该函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。2.二次多项式其中：a、b、c为系数。(假定：X=Y=0)相容方程（1）(可作为应力函数)（2）应力分量：2c2c2a2a结论2：二次多项式对应于均匀应力分布。（3）边界条件(a>0,b>0,c>0)试求图示板的应力函数。例：3.三次多项式a为系数相容方程（1）(可作为应力函数)(假定：X=Y=0)（2）应力分量（3）边界条件结论3：——对应于线性应力分布，矩形截面梁的纯弯曲。（3）边界条件（确定常数a与弯矩M的关系）三.矩形梁的纯弯曲（不计体力）相容方程（1）设应力函数满足（2）应力分量上下边界；精确满足左右边界；满足满足说明：(1)组成梁端力偶M的面力须线性分布，且中心处为零，结果才是精确的。(2)若按其它形式分布，如：则此结果不精确，有误差；但按圣维南原理，仅在两端误差较大，离端部较远处误差较小。(3)当l远大于h时，误差较小；反之误差较大。可见：此结果与材力中结果相同，说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。四.位移分量的求出以纯弯曲梁为例，说明如何由求出应变分量、位移分量？1.应变分量与位移分量由前节可知，其应力分量为：平面应力情况下的物理方程：（1）应变分量(a)将式（a）代入得：(b)（2）位移分量将式（b）代入几何方程得：(c)将式（c）前两式积分，得：(d)将式(d)代入(c)中第三式，得：式中：为待定函数。整理得：（仅为x的函数）（仅为y的函数）要使上式成立，须有(e)式中：ω为常数。积分上式，得将上式代入式（d），得(f)（1）(f)讨论：式中：u0、v0、ω由位移边界条件确定。当x=x0=常数——u关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。说明：同一截面上的各铅垂线段转角相同。横截面保持平面——材力中“平面保持平面”的假设成立。（2）说明：在微小位移下，梁纵向纤维的曲率相同。即——材料力学中挠曲线微分方程2.位移边界条件的利用（1）两端简支其边界条件：将其代入(f)式，有将其代回(f)式，有梁的挠曲线方程：——与材力中结果相同按应力求解的应力函数法基本方程：（1）对多连体问题，还须满足位移单值条件。位移边界条件应力边界条件应力函数表示的相容方程应力函数表示的应力分量（对常体力情形）说明：（2）应力函数确定方法：逆解法、半逆解法。五.简支梁受均布载荷要点——用半逆解法求解梁、长板类平面问题。1.应力函数的确定(1)分析：——主要由弯矩引起；——主要由剪力引起；——由q引起（挤压应力）。推得：(2)积分得：(a)(b)——任意的待定函数代入相容方程：2.相容方程方程的特点：关于x的二次方程，且要求－l≤x≤l内方程均成立。由“高等代数”理论，须有x的一、二次的系数、自由项同时为零。即：对前两个方程积分：(c)此处略去了f1(y)中的常数项对第三个方程得：积分得：(d)(c)(d)将(c)(d)代入(b)，有(e)此处略去了f2(y)中的一次项和常数项式中含有9个待定常数。3.应力分量的确定(f)(g)(h)4.对称条件与边界条件的应用（1）对称条件的应用：由q对称、几何对称：——x的偶函数——x的奇函数由此得：要使上式对任意的y成立，须有：（2）边界条件的应用：(a)上下边界（主要边界）：由此解得：代入应力公式(i)(j)(k)(b)左右边界（次要边界）：（由于对称，只考虑右边界即可。）——难以满足，需借助于圣维南原理。静力等效条件：轴力N=0；弯矩M=0；剪力Q=－ql；可见，这一条件自动满足。(p)截面上的应力分布：4.与材料力学结果比较材力中几个参数：截面宽：b=1,截面惯矩：静矩：弯矩：剪力：将其代入式(p)，有比较，得：（1）第一项与材力结果相同，为主要项。第二项为修正项。当h/l<<1，该项误差很小，可略；当h/l较大时，须修正。（2）为梁各层纤维间的挤压应力，材力中不考虑。（3）与材力中相同。注意：梁的左右边界存在水平面力：说明此应力表达式在两端不适用。解题步骤小结：（1）（2）（3）（4）（5）用半逆解法求解梁、矩形长板类弹性力学平面问题的基本步骤：《弹性力学平面问题的基本理论》小结一、两类平面问题及其特征体力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿板厚不变化。体力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿z向不变化。z方向的尺寸远小于板面内的尺寸（等厚度薄平板）z方向的尺寸远大于xoy平面内的尺寸（等截面长柱体）名称平面应力问题平面应变问题未知量已知量未知量已知量位移应变应力外力几何形状二、平面问题的基本方程（1）平衡微分方程（假定：小变形、连续性、均匀性）（2）几何方程（假定：小变形、连续性、均匀性）（3）物理方程（平面应力）（平面应变）（假定：小变形、连续性、均匀性、线弹性、各向同性）三、平面问题的基本求解方法及基本方程思路：（1）按位移求解以位移u、v为基本未知量，在所有基本方程中消去其余6个量，得到以位移表示的基本方程，从中求出u、v，再由几何方程、物理方程求出其余未知量。基本方程：位移表示的平衡方程位移表示的应力边界条件位移边界条件（2）按应力求解思路：基本方程：平衡方程相容方程基本控制方程（平面应力情形）位移边界条件应力边界条件边值条件（3）两类平面问题物理方程的互相转换：平面应力问题平面应变问题平面应变问题平面应力问题（4）边界条件——位移边界条件——应力边界条件（5）按应力求解的应力函数法基本方程：（1）对多连体问题，还须满足位移单值条件。位移边界条件应力边界条件应力函数表示的相容方程应力函数表示的应力分量（对常体力情形）说明：（2）应力函数确定方法：逆解法、半逆解法。四、关于平面问题的变形协调方程（相容方程）(平面应力情形)(平面应变情形)形变表示的相容方程应力表示的相容方程应力函数表示的相容方程(基本形式)(常体力情形)适用情形：小变形、任意弹塑性材料。(常体力情形)五、边界条件与圣维南原理位移边界条件应力边界条件圣维南原理的要点：（1）小部分边界（次要边界）；（2）静力等效；（3）结果影响范围：近处有影响，远处影响不大。圣维南原理的应用：（1）面力分布复杂的边界（次要边界）如：集中力，集中力偶等；（2）位移边界（次要边界）；一.平衡微分方程周向φ的平衡第四章平面问题的极坐标解答径向ρ的平衡应力分量仍为三个，平衡方程二个二.几何方程ρ向线段PA，变形后为P'A'先假定只有径向位移而无环向位移：PA:φ方向上的位移为零。φ向线段PB，变形后为P'B'PB:角APB的变化为PB的转角：再假定只有环向位移而无径向位移：线段PA，变形后为P‘A’ρ方向的位移为零，二.几何方程线段PA的转角是PB正应变为线段PB，变形后为P'B'，B'点ρ方向上的位移为零。PB方向线1，PB方向线2.PB的转角POP'：（向角外转为负）12总和上述两个方向的应变，得到：二.几何方程三.物理方程极坐标也是正交坐标，因此物理方程与直角坐标相同：基本方程极坐标问题的解法和平面问题类似，通常采用应力函数法，为此需要将应力函数的直角坐标表达式化为极坐标，将相容方程化为极坐标。物理方程平衡方程几何方程利用极坐标和直角坐标的关系：得到四.应力函数和相容方程代入直角坐标应力函数在常体力情况下的表达式上式是极坐标中的重调和函数。现在的问题是求解上述方程的边值问题。代入直角坐标应力函数在常体力情况下的表达式和直角坐标系中类似，它的解答一般都不可能直接求出，在解决具体问题时，只能采用逆解法、半逆解法。得到极坐标中应力函数应满足的相容方程在φ=0时，极坐标的各分量和直角坐标各分量相同。将上面各式代入应力分量的表达式（常体力）得到五.轴对称问题2.相容方程简化为:轴对称问题：几何形状和受力对称于通过z轴的任一平面。1.应力函数引入变换变换为常系数的微分方程欧拉方程展开正应力（正应变）分量仅是半径ρ的函数，与φ无关，并且切应力（切应变）为零，称为轴对称应力（应变）。（半逆解法）仅是径向坐标的函数:3.应力分量:通解为注意到t=lnr，则应力轴对称4.应变分量和位移分量应变轴对称再代入位移与应变的几何方程将上述应力的表达式代入应力应变关系式中，可以得到应变的表达式:积分后,得到位移的积分形式:轴对称应力的对应位移A，B，C，H，I，K都是待定常数，取决于边界条件位移轴对称——位移与坐标j无关;B=H=I=K=0六.受均布压力的圆环由边界条件得到:内半径为a，外半径为b的圆环受内压力qa，外压力为qb的圆环，为轴对称问题2.边界条件:1.应力分量:只有两个方程，而有三个待定常数，需要从多连体的位移单值条件补充一个方程在环向表达式中，第一项是多值的，在同一ρ处，φ=φ0和φ=φ0+2π时，环向位移成为多值，这是不可能的，因此，从位移单值条件必须有B=03.位移单值条件于是:从上两方程可解出A和C，代入应力分量表达式，得到拉密解答。拉密解答：1.单受内压时，径向受压，环向受拉。2.单受外压时，径向、环向均受压。若若七.压力隧洞有一内半径为a，外半径为b(如图所示)，受内水压力q作用的压力隧洞埋在岩层中。此为轴对称问题2.边界条件:1.应力分量:（已考虑位移单值条件）a.内边界:b.远离圆筒处:c.接触处:该方程在接触面上任意一点均应成立，即对任意值成立，故由从上四方程可解出待定系数，代入应力分量表达式，得到所需解答。七.压力隧洞接触问题：是指两个或两个以上不同弹性体互相接触。1）完全接触：接触条件应力方面位移方面正应力相等剪应力相等法向位移相等切向位移相等既不互相滑动也不互相脱离。2）非完全接触：接触条件应力方面位移方面正应力相等剪应力等于零法向位移相等（切向位移不相等）光滑接触八.应力分量的坐标变换式由平衡方程式得出应力分量由极坐标向直角坐标的变换公式:由平衡方程式得出应力分量由直角坐标向极坐标的变换公式:九.圆孔的孔边应力集中圆孔孔边应力集中在板边受力简单时，在这里进行分析，较为复杂的情况一般用复变函数方法。板中开有小孔，孔边的应力远大于无孔时的应力，也大于距孔稍远处的应力，这种现象称为孔边应力集中。并非由于截面减少而起；特点：应力集中是局部现象；应力集中的程度与孔的形状有关。圆孔的孔边应力集中程度最低。1.开有小圆孔的矩形薄板四边受均布拉力q矩形板在离边界较远处有半径为a的小孔。直边的边界条件，宜用直角坐标，圆孔边界宜用极坐标，因此需要将直边的边界条件变为圆边的边界条件。为此，以远大于a的半径b，以小孔中心为圆心作圆。可见，问题与受外压力的圆环相同，其解可由拉密解答得出。根据坐标变换公式，大圆边界上的应力为:由应力集中的局部性,大圆周处的应力为：以远大于a的半径，以小孔中心为圆心作圆。2.一对边受集度均布拉力q，另一对边受集度均布压力q1）.应力函数假设为：φ2）.相容方程由坐标变换式，大圆边界上的应力为:大圆周处的应力为：代入相容方程得到于是:求解方程,得到本征根：=4,2,0,-2并引入上式变换为常系数的微分方程约去因子cos2得到应力函数4）边界条件5）回代应力分量联立可确定待定常数A、B、C、D3）应力分量以远大于a的半径，以小孔中心为圆心作圆，根据直角坐标与极坐标的变换公式，得到大圆的边界条件3.矩形板一对边受集度为q的均布拉力边界条件比较复杂，须找到合适的应力函数。矩形板一对边受集度为q的均布拉力的解答可由矩形板四边受集度为q/2的均布拉力与一对边受集度为q/2的均布拉力，一对边受集度为q/2的均布压力的解答叠加而得。=+厚壁圆筒正应力切应力轴对称应力矩形板一对边受集度为q的均布拉力的解答可由矩形板四边受集度为q/2的均布拉力与一对边受集度为q/2的均布拉力，一对边受集度为q/2的均布压力的解答叠加而得。孔口应力最大环向应力圆孔边界j=p/2和j=3p/2处sjmax=3q应力集中因子薄壁圆孔的孔口应力集中因子为3十.楔形体在楔顶或楔面受力楔形体内一点的应力分量决定于α、β、F、ρ、φ，因此，应力分量的表达式中只包含这几个量。其中α、β、φ是无量纲的量，因此根据应力分量的量纲，应力分量的表达式应取FN/ρ的形式，其中N是α、β、φ、组成的无量纲的量。由应力函数的表达式可以看出应力函数中ρ的幂次应当比各应力分量的幂次高出两次，因此可设1.在顶部受集中力F1)应力函数(量纲分析方法)2).相容方程求解这一微分方程，得：取:代入得：3).应力分量:应力分量满足该边界条件。集中力F按圣维南原理处理，取出任一圆柱面ab，则该截面上的应力和F成平衡力系：将σρ的表达式代入，可求出C、D边界条件楔形体左右两面：4).边界条件:5).回代应力分量最后得到解答：当时成为弹性半平面受垂直集中力的问题，该问题在建筑工程中有十分重要的意义。2.设在顶部受有力偶M作用根据和前面相似的分析，应力分量应为MN/ρ2的形式，而应力函数应与ρ无关代入相容方程后得求解这一微分方程，得1)应力函数2).相容方程力偶可看成反对称力，正应力和应力函数应当是φ的奇函数，从而A=D=0,于是3).应力分量:4).边界条件:楔形体左右两面边界上述应力分量自动满足第一式，根据第二式，可得集中力偶M按圣维南原理处理，取出任一圆柱面ab，则该截面上的应力M成平衡力系：5).回代应力分量最后得到解答：求解这一微分方程，得:3.一面受均布压力q应力分量应为qN的形式，而应力函数应为qNρ2的形式代入得ρ1)应力函数2).相容方程3).应力分量:求解常数，A、B、C、Dρ4).边界条件:5).回代应力分量最后得到解答：极坐标习题解：1.检验相容条件:满足相容条件:2.应力分量:图示的圆环,试证应力函数能满足相容条件，并求出对应的应力分量。设在内半径为a，外半径为b的圆环中发生上述应力，试求出边界上的面力，并求出每一边界上的主矢量与主矩。极坐标习题3.边界条件(面力):此 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