均值定理证明不等式的方法技巧
1( 轮换对称型
222若a,b,c是互不相等的实数，求证:a，b，c,ab，bc，ac.例1
22a,b,ca，b,2ab策略:所证不等式是关于的轮换对称式，注意到，然后轮换相加即可。
？a,b,c是互不相等的实数， 证明:
222222？a，b,2ac,b，c,2bc,a，c,2ac.
222将上面三个同向不等式相加得: 2a，b，c,2，，ab，bc，ac。，，
222即 a，b，c,ab，bc，ac.
点评:分段应用基本等式，然后整体相加(乘)得结论，是证明轮换对称不等式的常用技巧。
2( 利用“1”的代换型
111，已知abcR且abc求证:,,,, ，，,1, ，，,9.abc例2
策略:做“1”的代换。
111a，b，ca，b，ca，b，c，，,，，abcabc证明:
bacacb,,,,,,,3，，，，，，,3，2，2，2,9,,,,,,abacbc,,,,,,. 3.逆向运用公式型
1111,,,,a，,b，转换成 1,a，,1,b，,然后逆向运,,,,2222,,,,策略:为脱去左边的根号，将
a，b，a,b,R则 ab,.用均值不等式: 若2
11，a,b,R,a，b,1求证: a，，b，,2.22例3 已知
11，a，113a,,2证明: ？a，,1,a，,,，.,,22242,,
13b同理 b，,，242
1131，，于是有 a，，b，,，a，b,2.2222
点评:依据求证式的结构，凑出常数因子，是解决此类问题的关键。 4( 挖掘隐含条件证明不等式
111,,,,，abRab求证:,,,，,11，1，,.,,,,ab9,,,,例4 已知
，,a,b,R,a，b,1
1,，2,ab,说明a,b,R,a，b,1的背后隐含,a，b,,4ab,,,,2,,,策略:由于
1着一个不等式 ab,.4
1，,,,，,1？,？abRabab4证明:。
11111a，b12,,,,而 1，1，,1，，，,1，，,1，,1，8,9.,,,,abababababab,,,,
11,,,,？1，1，,9.,,,,ab,,,, 5( 用均值不等式的变式形式证明不等式
，222222，，a,b,c,R,求证: a，b，b，c，c，a,2a，b，c.例5 已知
222222a，b,b，c,c，a的处理， 如果能找出策略:本题的关键在于对 222222，，a，b与a，b间的关系，问题就可以解决，注意到a，b,2ab,2a，b,
222，，，，，a，b,2a，b,a，b，，其中a,b,c,R 即可。
，？a,b,c,R证明:
222，，？a，b,a，b2
222，，b，c,b，c2
222，，c，a,c，a2 。
三式相加, 得
222222，，a，b，b，c，c，a,2a，b，c
22a，ba，b,2222a，b,2ab点评:解题时要注意的变式应用。常用(其中，a,b,R)来解决有关根式不等式的问题.
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