Mindlin弹性板理论的修正及其效果

2006 届 工 学 院 毕业（ 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 ）论文 题 目 Mindlin弹性板理论的修正及其效果 专 业 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 力学 学 号 024090520 姓 名 徐小花 班 级 023 指导教师 王骥 2006 年 5 月 29 日 1 摘 要 本论文主要用的是修正后的 Mindlin 高阶弹性板理论，是在 Mindlin 弹性板理论 的基础上进行修正后得到的理论,在位移方向增加弯曲模态分量作了很大的进步。其中 Mindlin 板理论都是分析石英晶体谐振器的基础。对于此理论的修正，前人已做过很 多这方面的努力，也得出了有效和精确的结果。我们首先用 Mindlin 弹性板理论分析 了AT切石英晶片中厚度-剪切和弯曲振动模态之间的色散关系，再用修正后的Mindlin 板理论得到色散关系，并对两者进行比较说明，修正后的 Mindlin 板理论得到的结果 明显要优于 Mindlin 板原理论。用修正后的 Mindlin 板理论分析了晶片中厚度-剪切、 弯曲振动和拉伸振动模态耦合的色散关系图和频谱图，其中的频谱图可作为晶片重要 参数选择的依据。随着晶体谐振器向小型化和高性能方向发展，控制这些模态的耦合 问题便成为保证晶片振动性能的关键。所以在实际的生产设计过程中，提出了更高的 要求。 关键词：Mindlin 板，修正，石英晶体，谐振器，模态耦合 ABSTRACT This paper mainly uses improved Mindlin higher-order elastic plate theory, which was improved on the basis of Mindlin elastic plate theory . Significant progress has been made increasing flexural mode component representations . Where Mindlin plate equations are the foundation of quartz crystal resonator analysis . For these theories , great efforts have been made to improve the equations and obtain efficient and accurate solutions in past decades .First , we analyze the relation between thickness-shear and flexural vibrations mode in the AT-cut quartz crystal plate by Mindlin elastic plate theory , then obtain the result by the improved Mindlin plate theory , finally compare them and find the differences . The result of improved Mindlin plate theory excelled the Mindlin plate theory . Next we analyze the dispersion relations and frequency versus length to thickness ratio of coupled thickness-shear ,flexural and extensional vibrations in the AT-cut quartz crystal plate by improved Mindlin plate theory , when we determine the optimal important design parameters of quartz crystal plate , above conclusions may be our basis . With the development of smaller and high quality resonators, the control of coupling of modes is the key to the property of the vibration of quartz crystal . So in the resonator design process of a crystal blank ,presents more challenging problems . Keywords: Mindlin plate, improve , quartz crystal, resonator, coupling mode 2 目 录 第一章 绪 论 ...................................................................................................................................... 4 1. 1 毕业设计（论文）的背景、意义 ...................................................................................... 4 1.2 毕业设计（论文）所作的工作 ............................................................................................... 4 第二章 Midnlin板理论介绍 ................................................................................................................. 5 2.1 无穷幂级数的二维板方程 ....................................................................................................... 5 2.1.1 二维方程中板的位移形式 ............................................................................................ 5 2.1.2 二维方程中板的应变应力形式 .................................................................................... 5 2.1.3 弹性体的运动变分方程 ................................................................................................ 6 2.2 算例 ........................................................................................................................................... 9 2.2.1 AT切石英晶体的自由振动 ........................................................................................... 9 2.2.2 厚度-剪切和弯曲振动模态的色散关系 ..................................................................... 10 第三章 修正后的Mindlin板理论 ....................................................................................................... 12 3.1 修正后的Mindlin板理论的二维方程 .................................................................................... 12 3.1.1 修正后的Mindlin板理论中的位移、应变和应力形式.............................................. 12 3.1.2 修正后的Mindlin板二维运动方程 ............................................................................... 13 3.2 算例 ......................................................................................................................................... 14 3.2.1 AT切石英晶体的运动方程 ......................................................................................... 14 3.2.2 色散关系 ...................................................................................................................... 15 3.2.3 结果比较 ...................................................................................................................... 16 3.3 厚度-剪切和弯曲耦合振动的频谱关系 ................................................................................ 17 第四章 多种模态耦合振动的分析 .................................................................................................... 20 4.1 三种模态耦合振动的色散关系 ............................................................................................. 20 4.2 三种模态耦合振动的频谱关系 ............................................................................................. 21 4.3 位移关系 ................................................................................................................................. 24 第五章 结论和展望 ............................................................................................................................ 27 参考文献 .................................................................................................................................................. 28 致 谢 ................................................................................................................................................ 29 附 录 ................................................................................................................................................ 30 附录 1：毕业设计 说明书 房屋状态说明书下载罗氏说明书下载焊机说明书下载罗氏说明书下载GGD说明书下载 、设计图纸等材料刻录光盘........................................................ 30 附录 2：压电晶体谐振器重要参数的最优设计综述 ……见《附件材料》 .... 30 附录 3：弹性板振动的数学理论介绍 ……见《附件材料》 .... 30 附录 4：Mindlin高阶板理论的修正 ……见《附件材料》 ..... 30 3 第一章 绪 论 1. 1 毕业设计（论文）的背景、意义 本论文主要以修正后的 Mindlin 弹性板高阶理论为基础，来展开理论分析和实际 应用。其中高频振动的 Mindlin 板理论可以用来分析晶体板的振动，然而在压电晶体 谐振器的设计过程中，需对谐振器在使用过程中出现的高频振动现象进行分析。这就 需要应用 Mindlin 弹性板理论,但我们使用的是修正后的 Mindlin 弹性板理论。 压电晶体谐振器核心结构可描述为厚度均匀或变化的、在厚度方向上贴有电极和 支架构件的压电晶体板。压电石英晶体谐振器的切割形式很多，但用得最多的是 AT 切，SC 切和 BT 切。我们这篇文章中用到的是 AT 切，，这是由于 AT 切谐振器在很宽 的温度范围可获得优良的频率稳定度，加工工艺成熟，利于小型化。 AT 切石英晶体谐振器主要是利用厚度方向的剪切模态振动，但是除了厚度剪切 外，还有长度拉伸，弯曲和宽度拉伸等多个振动模态。我们对 AT 切石英晶体谐振器 振动分析的目的在于通过选择合适的频率和长厚比来抑制这些不需要的振动模态。石 英晶体谐振器目前已被广泛地使用在卫星通信、光纤通信、移动通信、家用电器、计 算机、电子仪 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 、日用钟表等各种电子产品以及温度、压力、重力、气体等传感器作 敏感元件。随着电子设备向薄、轻、短、小方向发展，对谐振器性能提出了更高的要 求。为了满足这些要求，所以我们采取各种方法来优化谐振器的设计，避免不该出现 的现象。 我们先用 Mindlin 一阶弹性板理论来分析 AT 切石英晶体谐振器的振动，得出厚 度-剪切和弯曲振动模态的色散关系，再用修正后的 Mindlin 板理论来分析，得出的 结果要优于 Mindlin 板理论得到的结果。所以为了达到更好的效果，对 Mindlin 弹性 板理论进行修正的工作已经做过很多了。在本论文中首先按照一种新的展开模式进行 修正，来得到更优的设计结果，经比较分析得到的结果确实要更好。 1.2 毕业设计（论文）所作的工作 本毕业论文主要包括了四部分的内容。 第一部分是分析了 Mindlin 弹性板高阶理论，并对其进行修正，这部分的主要思 想是在现有相关研究的基础，主要修正 Mindlin 板中的位移形式，增加了代表弯曲模 态的分量，这样我们就建立了修正后的 Mindlin 弹性板的二维分析理论。 第二部分是在利用第一部分得出的修正后的 Mindlin 板理论，来分析板弯曲和厚 度-剪切模态之间的色散关系（即波数与频率的关系），并与为未修正之前的理论得到 的结果进行了对比；分析了两种模态耦合时，板的长厚比与频率的关系（频谱图）。 论文的第三个部分是在前一部分的基础上，对板理论进行深一步的研究，主要讨 论板弯曲，宽度拉伸，厚度-剪切三种模态之间的色散关系，及三种模态耦合时的频 谱关系。从频谱关系中可以找出耦合最强烈点处的位置。 论文的第四个部分是，在第三部分的基础上，分析板的长厚比与各个位移之间 的关系。 本毕业论文主要是对理论推导的验证和数值计算。最后将得到的结果与其它人用 传统方法得出的结果加以比较，从而来分析评价我们所采用的方法的优劣。 4 第二章 Midnlin 板理论介绍 2.1 无穷幂级数的二维板方程 2.1.1 二维方程中板的位移形式 (2.11) ( )1 2 3 2 0 ( , , , ) n ni n u x x x t u x ∞ = = ∑ j ,, 3 (2.11)式[5]是在 方向按幂级数展开的位移形式，是从三维的弹性方程中转换而 来的，其中 是位移， 是 阶位移分量，t 为时间，其中位移是关于板厚 在极限 之间的积分。其中板厚b可见下图 1 所示，(2.11)式的求和值 n 是从零到无穷大， 如果对(2.11)式整体求导，会产生一组无穷阶数的方程，在实际应用中，通常是一些 耦合模态占主导。因此需要一些截断程序来分离那些控制主要模态的方程，这样的话， 对于解析分析就可得到足够的方程。n 阶位移分量是仅仅是关于 的函数，即可 表示为： 2x iu )(n ju n 2x b± txx1 ( )txxuu njnj ,, 31)()( = (2.12) 在(2.12)式[5]括号中的上标不表示幂，仅表示项数的阶数。 2.1.2 二维方程中板的应变应力形式 由弹性力学的几何方程可知，应变分量与位移分量有如下关系： ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ],1 2 1 , 2 1 1 2 1 2,, 0 2 ,, ++ ∞ = ++++= = += ∑ n ji n ij n ij n ji n ij n nn ij ijjiij uunuuS xS uuS δδ (2.13) 由（2.11）式代入(2.13)式得到 阶应变分量，其中 。 n ⎩⎨ ⎧ ≠ == 2,0 2,1 2 j j jδ 应力与应变之间的本构关系如下： ( ) 2 0 ,n nij ijkl kl n T c S x ∞ = = ∑ (2.14) 5 2.1.3 弹性体的运动变分方程 当我们知道了应变能函数U 的形式( klijijkl SScU 2 1= )，所以可得到应力的形式为： ij ij S UT ∂ ∂= (2.15) 位移运动方程可由 Hamilton’s 原理来推导(Love,1927,p.166)。分别令 ， 为整体的总动能和总势能。 ∫= VKdVh ∫= VUdVU (2.16) ∫= S jj dSutW δδ 为当位移在固定的初始时间 和末了时间 之间有一个微小的变化0t 1t juδ 时，在面 上的拉力对其所做的功为(2.15)式。然后利用 Hamilton’s 原理得到： ( ) ∫∫ =+− 1 0 1 0 0 t t t t Wdtdth δδ U (2.18) 现在有： ( ) ( ) dVuudtjj dVu t udtdVuudthdt t t V jjV t t t t jV jV jj t t t t uu ∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫∫ −= ∂ ∂== 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 ] 2 1 δρ δρρδδ δρ && &&& & (2.19) 因为 juδ 在 处都为零，(2.17)式右边的第一项就为零，方程(2.17)成为运动变分方 程，如下： 10 , tt (2.110) ( ) ∫∫ =+ S jjV jj dSutdVUuu δδδρ && 又因为： ( ) ( ) j iiji j ij ij ij ijji ij ij ij u S Uu S U u S Uuu S US S UU δδ δδδδ ,, ,,,2 1 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂= ∂ ∂=+∂ ∂=∂ ∂= (2.111) (2.19)式代入(2.18)式，得到： 0 , =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−+⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∫∫ dSuSUvtdVuuSU jS ijijjV jiij δδρ && (2.110) 上式要成立的话，微分 juδ 的系数必须分别为零，其中 是面力，相应地有： jt j iij u S U &&ρ=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ , ij ij S Uvt ∂ ∂= (2.111) 结合(2.15)、(2.110)、(2.111)三式可得到弹性体的运动变分方程为： 6 ( ) ,02, =−∫ ∫ − dAdxuuT j A b b jiij δρ && (2.112) 把(2.12)式代入上式，得到： ( ) ( ) , 2 2 2 0 0 0. b m nm n ij i j j m nA b T u x u x dx dAρ δ∞ ∞ = =− ⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑∫ ∫ && = nδ (2.113) 对于 i =1 or 3 时，(2.113)式展开后的第一项可表示为： ( ) ( ) ( ) ( ) , 2 2 , b n n n ij i j ij i jb n n T x u dx T uδ− =∑ ∑∫ (2.114) 现在我们定义： ( ) ∫ − = b b n ij n ij dxxTT ,22 (2.115) 式(2.115)表示 阶应力分量。 n 对于 i =2 时，(2.113)式展开后的第一项可表示为： { } ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) 2 ,2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( 1) ( ) 2 b bbn n n n j j j jbb n n n n n j j j n T x u dx x T n T x dx u F nT u δ δ δ − −− − ⎡ ⎤= −⎣ ⎦ = − ∑ ∑∫ ∫ ∑ n jb− j (2.116) 其中 ( ) 2 2 bn n j b F x T −⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (2.117) 式(2.117)表示 阶拉力分量。 n 对(2.113)式展开后的第二项化简，我们得到； (2.118) )()( 2 )()( 22 )( 2 )( 2 n j m m j n mn b b n j m m j n nmb b n n j n m m j m uuB dxuuxdxuxux δ δδ ∑∑ ∫ ∑∑∫ ∑∑ = =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − + − && &&&& 其中 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ =+++= ++ .odd ,0 ,even, 1 2 1 nm nm nm b B nm mn (2.119) 结合(2.114)、 (2.116) 和(2.118)式， (2.113)式最后化简为： ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) , 2 0 n n n m n ij i j j mn j jA n m T nT F B u u dAρ δ−⎛ − + −⎜⎝ ⎠∑ ∑∫ && ⎞ =⎟ m (2.120) 现在我们得到 Mindlin 板的二维运动方程： ( ) ( ) ( ) ( )1 , 2 0 ,n n nij i j j mn j m T nT F B uρ− = − + = ∑ && (2.121) 通过(2.14)和(2.115)式的定义，在均匀厚度板上的 阶本构关系可由在板厚方向上 的加权积分定义，使用的是运动变分方程中的厚度积分。表示为： n 7 ( ) ( ) ( ) , 0 22 0 2 22 ∑ ∫ ∑ ∫ = − = − = = = m m klmnijkl b b n m mm klijkl b b n ij n ij SBc dxxxSc dxxTT (2.122) 其中的 为弹性刚度。(2.122)式展开成缩写的形式为： ijklc ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .0 7 20 5 20 , 7 20 5 20 3 2 ,0 5 20 3 20 , 5 20 3 202 , 3 7 1 5 3 4 7 2 5 0 3 2 3 5 1 3 1 4 5 2 3 00 3 3 2 2 1 1 0 0 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +++++= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++++= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +++++= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++++= ++++= L L L L L qqpqp qqqpqp qqpqp qqqpqp qnqnqnqnpq n p SbSbcT SbSbSbcT SbSbcT SbSbbScT SBSBSBSBcT (2.123) 从(2.13)(2)中得到应变分量为，在这里我们只列出零阶到二阶的应变： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).3,,3,,3, ;2,,2,,2, ;,,,,, 3 1 2 1,2 2 6 2 1,3 2 3,1 2 5 3 3 2 3,2 2 4 2 3,3 2 3 3 2 2 2 2 1,1 2 1 2 1 1 1,2 1 6 1 3,1 1 1,3 1 3,1 1 5 2 3 1 3,2 1 4 1 3,3 1 3 2 2 1 2 1 1,1 1 1 1 1 0 1,2 0 6 0 1,3 0 3,1 0 5 1 3 0 3,2 0 4 0 3,3 0 3 1 2 0 2 0 1,1 0 1 uuSuuSuuSuSuSuS uuSuuuSuuSuSuSuS uuSuuSuuSuSuSuS +=+=+==== +=++=+==== +=+=+==== (2.124) 式(2.121)可以展开为： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 5 0 0 0 0 2 4 1,1 5 ,3 1 1 1 1 3 5 0 0 0 0 2 4 6 ,1 4 ,3 2 2 2 2 3 5 0 0 0 0 2 4 5 ,1 3 ,3 3 3 3 3 3 5 1 1 0 1 1 3 1,1 5 ,3 6 1 1 1 2 22 , 3 5 2 22 , 3 5 2 22 ; 3 5 2 2 , 3 5 b bT T F b u u u b bT T F b u u u b bT T F b u u u b bT T T F u u ρ ρ ρ ρ ⎛ ⎞+ + = + +⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞+ + = + +⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞+ + = + +⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞+ − + = +⎜ ⎟⎝ ⎠ && && && && && && && && && && && ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 5 1 1 0 1 1 3 6 ,1 4 ,3 2 2 2 2 3 5 1 1 0 1 1 3 5 ,1 3 ,3 4 3 3 3 2 2 , 3 5 2 2 . 3 5 b bT T T F u u b bT T T F u u ρ ρ ⎛ ⎞+ − + = +⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞+ − + = +⎜ ⎟⎝ ⎠ && && && && (2.125) 8 2.2 算例 2.2.1 AT 切石英晶体的自由振动 我们研究石英晶体板振动时采用如图 1所示的坐标系，其四边为自由的，厚度为 ，长度为 ，和宽度为 。我们只考虑板在二维状态下振动时沿 方向传播的情 况，首先综合应变和位移的形式，还有在当板振动时的受力情况，从(2.123)式得到 AT 切石英晶体板振动的应力分量： b2 a2 c2 1x ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( ). 3 2 ,2 1 1,111 3 1 1 1 1 0 1,266 0 1,365 0 6 ucbT uucucbT = ++= (2.21) 对(2.21)式需要作几点说明： 1、 AT 切石英晶体的弹性常数为 2910 29.01 2.53 0.00 0.00 0.00 0.00 2.53 68.81 0.00 0.00 0.00 00.0 0.00 0.00 38.61 9.92 5.7 3.65- 0.00 0.00 9.92 102.83 7.42- 27.15 0.00 0.00 5.7 7.42- 129.77 26.8 0.00 0.00 3.65- 27.15 8.26- 74.86 mNcij × ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − = 2、我们只考虑 方向的振动，所以 方向的偏导都为零。 1X 3X 3、 下文中用到的弹性常数和这里的都相同。 4、 我们只考虑零阶和一阶振动模态。 从(2.125)式得到晶片振动的应力运动方程： 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 6,1 2 3 1 0 1,1 6 1 2 , 2 3 T bu bT T u ρ ρ = − = && && 1 (2.22) 现在我们分析 AT 切石英晶体板的厚度-剪切和弯曲振动模态,我们利用如下经典 位移假设： ti ti exAu exAu ω ω ξ ξ 12 )1( 1 11 )0( 2 cos sin = = (2.23) 在这里ξ 代表波数，波数代表了传播过程中，在单位长度上的相位延迟。ω代表振动 频率， 代表振幅。 )2,1( =iAi 结合(2..21)、 (2.22)和 (2.23)式，我们得到以位移表示的运动方程： ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) )1(16621101,2662111,111 )0( 2 66 2 1 1,1 0 11,266 2 3 , 2 uc b uuc b uc uc b uuc ρ πρ ρ πρ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ Ω−=+− ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ Ω−=+ (2.24) 2.2.2 厚度-剪切和弯曲振动模态的色散关系 把(2.23)代入到(2.24)中，在这里我们要对波数和频率进行归一化，归一化的目的 是为了简化后面的计算和编程，所以可定义归一化后的波数和频率为： ; 2 ,, 2 66 0 0 ρ πωω ω π ξ c b b Z ==Ω= (2.25) 其中 ρ为石英晶体的密度， 0ω 为一板厚为 的无限板振动的基本厚度剪切频率。 b2 (2.24)式最后化简，得到如下方程： ( ) .0126 ,02 2 2 2 2 66 11 1 21 22 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ Ω−++ =+Ω− AZ c cZA b ZAbAZ ππ π (2.26) (2.26)式中的振幅 )2,1( =iAi 要有非零解，其系数行列式应为零，所以得到： ( ) .0126 2 2 2 2 66 11 22 = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ Ω−+ Ω− ππ π Z c cZ b ZbZ (2.27) 从(2.27)式，我们能得到厚度-剪切和弯曲振动的色散关系，即归一化后的波数和频率 之间的关系，具体如图 2 所示： 10 Fig. 2 AT 切石英晶体的色散关系示意图 图中的两条线代表了两种振动模态，我们考虑了波数为虚数时的情况，但虚数在 图上是表示不出来的，所以我们把虚数处理成负实数来画图。下文中出现的虚数解都 是按此方法来处理的。图中当波数为零时，我们可以得到厚度-剪切振动的频率，这 个频率处在基频附近。 11 第三章 修正后的 Mindlin 板理论 3.1 修正后的 Mindlin 板理论的二维方程 3.1.1 修正后的 Mindlin 板理论中的位移、应变和应力形式 ( ) ( ) ( )∑∞ = += 0 22 0 ,2321 ,,,, n nn jji xuxutxxxu (3.11) 其中 的形式同式(2.12)，(3.11)式相比于(2.12)式，主要是增加了零阶厚度方向上的 弯曲分量对坐标的求导项，这个修正项是根据 Lee 板理论得来的，因为板的振动主要 是厚度剪切和弯曲振动模态之间的耦合，同式(2.13)，给出修正后的应变形式如下： ( )n ju ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ],1 2 1 , 2 1 1 2 1 2,, 0 ,21 0 ,22 0 ,220 0 2 ,, ++ ∞ = +++++++= = += ∑ n ji n ij n ij n jiijnjiijn n ij n nn ij ijjiij uunuuuuuS xS uuS δδδδδδ (3.12) 应用(2.112)式的弹性体变分运动方程，把(3.11)式代入(2.112)式可得： ( ) ( ) ( ) ( ) .02 0 22 0 ,2 0 22 0 ,2, =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +− ∑∫ ∫ ∑ ∞ =− ∞ = dAdxxuxuxuxuT n nn jj A b b n nn jjiij δρ &&&& (3.13) 现在我们对(3.13)式进行化简，首先对展开后的第一项化简，得到： ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ,2202,2202, 22 0 2,22, 0 2,22 0 ,2, dAdxxuTdsdxxuTn dAdxxuTdAdxxuTdAdxxuT A b b ijij C b b iijj A b b ijij A b b jiijj A b b iij δδ δδδ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫ −− −−− −= −= (3.14) 再对展开后的第二项化简，得到： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,2202 0 2,2 0 ,222 0 2 0 22 0 ,2 22 0 2 0 2,2 0 ,222 , 0 2 0 22 0 ,2 22 0 ,2 0 22 0 ,2 dAdxxuxuxudsdxxuxuxun dAdxxuxuxudAdxxuxuxu dAdxxuxuxu A b b n nn jjjj C b b n nn jjj A b b n nn jjjj A b b jn nn jj j A b b n nn jj ∫ ∫ ∑∫ ∫ ∑ ∫ ∫ ∑∫ ∫ ∑ ∫ ∫ ∑ − ∞ =− ∞ = − ∞ =− ∞ = − ∞ = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + δρδρ δρδρ δρ &&&&&&&& &&&&&&&& &&&& (3.15) 对最后一项进行化简，得到： 12 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,22 0 22 0 ,2, 0 2 0 2 0 22 0 ,2, dAdxxxuxuTu dAdxxuxuxuT n A b b n nn jjiij n n j n nn j A b b n nn jjiij ∫ ∫ ∑∑ ∑∫ ∫ ∑ − ∞ = ∞ = ∞ =− ∞ = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−= ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +− &&&& &&&& ρδ δρ (3.16) 应用(2.122)的定义的 阶应力分量和(2.119)中定义的 ，我们得到板的运动变分 方程： n mnB ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∑ ∫ ∑ ∫ ∑ =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +− +⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−+− + ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−−+− = = − = C m m jmjiijj A n j m m jmnjn n j n j n iij A jj m m jjm m miiijij dsuuBuBTn dAuuBuBFnTT dAuuBuBuBTT ,002 0 1 0 ,211 1 , 0 0 ,21 1 2, 0 2 0 ,211 0 ,120 0 ,2 1 , δρ δρ δρ &&&& &&&& &&&&&& (3.17) 从式(3.17)中我们可得到板的二维方程如下： ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , 0 1 0 ,211 1 , 0 0 ,21 1 2, 0 ,211 0 ,120 0 ,2 1 , ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +=+− ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−=+− ∑ ∑ ∑ = = − = m m jmjiij m m jmnjn n j n j n iij jj m m jjm m miiijij uBuBT uBuBFnTT uBuBuBTT &&&& &&&& &&&&&& ρ ρ ρ (3.18) 在这里我们使用了与(2.122)和(2.123)式相同的应力分量表达式。 从(3.12)2中，我们得到与(2.124)相似的应变分量表达式： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).3,,3,,3, ;2, ,2, 2 1,2, 2 1 ;2,,2,,, 3 1 2 1,2 2 6 2 1,3 2 3,1 2 5 3 3 2 3,2 2 4 2 3,3 2 3 3 2 2 2 2 1,1 2 1 2 1 1 1,2 1 6 1 3,1 1 1,3 0 13,2 1 5 2 3 1 3,2 1 4 0 33,2 1 3,3 1 3 2 2 1 2 0 11,2 1 1,1 1 1 1 1 0 1,2 0 6 0 1,3 0 3,1 0 5 1 3 0 3,2 0 4 0 3,3 0 3 1 2 0 2 0 1,1 0 1 uuSuuSuuSuSuSuS uuSuuuS uuSuuSuSuuS uuSuuSuuSuSuSuS +=+=+==== +=++= +=+==+= +=+=+==== (3.19) 3.1.2 修正后的 Mindlin 板二维运动方程 通过对(3.17)式中的第三个式子应用散度定理，我们可以得到： ( ) ( ) ( ) , 0 ,1 0 ,211 1 , ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += ∑ =m m jjmjjijij uBuBT &&&&ρ (3.110) 再把(3.110) 代入到(3.17)1中，得到： ( ) ( ). 0 20 0 ,2 ∑ = = m m mii uBT &&ρ (3.111) 13 结合(3.18)、(3.110)和(3.111)式，我们最后得到修正完整的二维 Mindlin 板方程： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , 0 0 ,21 1 2, 0 20 0 ,2 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +=+− = ∑ ∑ = − = m m jmnjn n j n j n iij m m mii uBuBFnTT uBT &&&& && ρ ρ