毅力教育辅导讲义
学员编号（卡号）： 年 级：高二 第 8 课时
学员姓名：徐 丹 辅导科目：数学 教师：
课 题
计数原理
授课时间： 月 日
备课时间： 月 日
教学目标
1．理解分类计数原理与分步计数原理．
2．会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题．
3. 巩固分类计数原理和分步计数原理，并能应用两个计数原理解决实际问题．
4．理解并掌握排列的概念．
5．理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题．
重点、难点
1.分类计数原理与分步计数原理的掌握
2.根据具体问题特征选择分类计数原理与分步计数原理解决实际问题．
考点及考试要求
1．进一步理解计数原理和排列、组合的概念．
2．能够运用原理和公式解决简单的计数问题．
3．能用计数原理证明二项式定理．
4．掌握二项式定理及其展开式的通项公式．
5．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题
教学
内容
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两个基本计数原理
【学习要求】
1．理解分类计数原理与分步计数原理．
2．会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题．
【学法指导】
两个计数原理是推导排列数、组合数
计算公式
六西格玛计算公式下载结构力学静力计算公式下载重复性计算公式下载六西格玛计算公式下载年假计算公式
的依据，其基本思想贯穿本章始终，理解两个原理的关键是分清分类与 分步.
探究点一 分类计数原理
1．分类计数原理
完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法．
2．分步计数原理
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法.
例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：
A大学
B大学
生物学
数学
化学
会计学
医学
信息技术学
物理学
法学
工程
路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理
学
(1)如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选 择呢？
(2)若还有C大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学，那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？
小结 如果完成一件事有n类不同
方案
气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载
，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同的方法．
跟踪训练1 某校高三共有三个班，其各班人数如下表：
班级
男生数
女生数
总数
高三(1)
30
20
50
高三(2)
30
30
60
高三(3)
35
20
55
(1)从三个班中选一名学生会主席，有多少种不同的选法？
(2)从(1)班、(2)班男生中或从(3)班女生中选一名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？
探究点二 分步计数原理
例2 某商店现有甲种型号电视机10台，乙种型号电视机8台，丙种型号电视机12台，从这三种型号的电视机中各选一台检验，有多少种不同的选法？
小结 利用分步计数原理解决问题时，一定要正确设计“分步”的程序，即完成这件事共分几步，每一步的具体内容是什么，各步的方法、种数是多少，最后用分步计数原理求解．
跟踪训练2 已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆的个数是多少？
探究点三 两个计数原理的综合应用
例3 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．
(1)从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
(2)从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？
(3)从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？
小结 解两个计数原理的综合应用题时，最容易出现不知道应用哪个原理解题的情况，其思维障碍在于没有区分该问题是“分类”还是“分步”，突破方法在于认真审题，明确“完成一件事”的含义．具体应用时灵活性很大，要在做题过程中不断体会和思考，基本原则是“化繁为简”．
跟踪训练3 现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．
(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？
(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？
(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？
(4)要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？
两个基本计数原理
【学习要求】
巩固分类计数原理和分步计数原理，并能应用两个计数原理解决实际问题．
【学法指导】
用两个计数原理解决具体问题时，首先要分清是“分类”还是“分步”，其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要做到“不重不漏”，在“分步”时要正确设计 “分步”的程序，注意步与步之间的连续性.
探究点一 两个计数原理在排数中的应用
例1 为了确保电子信箱的安全，在注册时，通常要设置电子信箱密码．在某网站设置的信箱中，
(1)密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个数字，这样的密码共有多少个？
(2)密码为4位，每位是0到9这10个数字中的一个，或是从A到Z这26个英文字母中的一个，这样的密码共有多少个？
(3)密码为4～6位，每位均为0到9这10个数字中的一个．这样的密码共有多少个？
小结 用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析——需要分类还是需要分步．分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类计数原理求和，得到总数．分步要做到“步骤完整”——完成了所有步骤，恰好完成任务．当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
跟踪训练1 用0,1，…，9这十个数字，可以组成多少个：
(1)三位整数？
(2)无重复数字的三位整数？
(3)小于500的无重复数字的三位整数？
探究点二 两个计数原理的实际应用
例2 (1)给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A～G或U～Z，后两个要求用数字1～9，最多可以给多少个程序命名？
(2)核糖核酸(RNA)分子是在生物细胞中发现的化学成分．一个RNA分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据．总共有4种不同的碱基，分别用A、C、G、U表示(如图所示)．在一个RNA分子中，各种碱基能以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关．假设有一类RNA分子由100个碱基组成，那么能有多少种不同的RNA分子？
小结 以上两个问题分别表示两个原理在计算机字节与生物学中的应用，要解决好实际问题，首先要将问题与学习过的两个原理联系，确定用分类还是分步，或是分类和分步综合应用．
跟踪训练2 电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态，因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制．为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成．问：
(1)一个字节(8位)最多可以表示多少个不同的字符？
(2)计算机汉字国标码(GB码)包含了6 763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？
排列（一）
【学习要求】
1．理解并掌握排列的概念．
2．理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题．
【学法指导】
排列是分步计数原理的一个重要应用，学习中要理解排列数公式的推导过程，从中体会“化归”的数学思想.
1．排列：一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照 排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement)．
2．排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的
，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 表示．
3．排列数公式：A＝ (n，m∈N*，m≤n)
＝ ，规定：0！＝ .
探究点一 排列(数)的概念
问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的安排方法？
例1 判断下列问题是否是排列问题：
(1)从1、2、3、4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？
(2)从1、2、3、4四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？
(3)会场有50个座位，要求选出3个座位安排3位客人就座，有多少种不同的方法？
小结 判断一个问题是否为排列问题的依据是否是有顺序，有顺序且是从n个不同的元素中任取m (m≤n)个不同的元素的问题就是排列，否则就不是排列．
跟踪训练1 判断下列问题是否是排列问题：
(1)某班共有50名同学，现要投票选举正、副班长各一人，共有多少种可能的选举结果？
(2)从2,3,5,7,9中任取两数分别作对数的底数和真数，有多少不同对数值？
(3)从1到10十个自然数中任取两个数组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？
探究点二 排列的列举问题
例2 写出下列问题的所有排列：
(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？
(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．
跟踪训练2 写出下列问题的所有排列：
(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？
(2)A、B、C、D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有多少种不同的排列方法？
探究点三 排列数公式的推导及应用
问题1 由例2中两个问题知：A＝4×3＝12，A＝4×3×2＝24，你能否得出A的意义和A的值？
例3 (1)计算：.
(2)求证：A＝mA＋A.
1.3组合
【学习要求】
1．理解组合及组合数的概念．
2．能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题．
【学法指导】
组合研究的问题与排列是平行的，两者的区别是有无“顺序”．学习中可和排列相比较，领悟概念的本质，组合数公式推导中要研究组合与排列的关系.
1．组合：一般地，从n个不同元素中
，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(combination)．
2．组合数：从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素的
的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示．
3．组合数公式：C＝＝ ＝ (n，m∈N*，m≤n)．规定：C＝ .
探究点一 组合的概念
例1 判断下列各事件是排列问题，还是组合问题．
(1)10个人相互各写一封信，共写了多少封信？
(2)10个人规定相互通一次电话，共通了多少次电话？
(3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？
(4)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？
小结 判断一个问题是排列问题还是组合问题的关键是正确区分事件有无顺序，区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果解出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化．
跟踪训练1 判断下列各事件是排列问题，还是组合问题．
(1)从50个人中选3个人去参加同一种劳动，有多少种不同的选法？
(2)从50个人中选3个人到三个学校参加毕业典礼，有多少种选法？
(3)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？
(4)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？
探究点二 组合的列举问题
例2 从4个不同元素a、b、c、d中任取3个元素，写出所有的组合形式．
跟踪训练2 写出从A，B，C，D，E 5个元素，依次取3个元素的所有组合．
例3 (1)求值：C＋C；
(2)若C>C，则n的取值集合为________．
小结 处理组合数的计算问题，首先要注意组合数中的隐含条件，涉及具体数字的可以用展开式计算；涉及字母的可以用阶乘式计算．
跟踪训练3 (1)计算：C＋C的值．
(2)求证：C＝·C.
跟踪训练3 (1)某年全国足球甲级(A组)联赛共有10个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？
(2)解不等式：A>6A.
例4 一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：
(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场 方案？
(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？
跟踪训练4 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．
(1)现要从中选出2名去参加会议，有多少种不同的选法？
(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
计数应用题
【学习要求】
1．进一步理解计数原理和排列、组合的概念．
2．能够运用原理和公式解决简单的计数问题．
【学法指导】
两个计数原理是解决计数问题的根本，在解决中要抓住“分类”还是“分步”，“组合”(无序)还是“排列”(有序)．
本节学习过程中，注意以下原则：
(1)特殊元素(或位置)优先安排；
(2)“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”；
(3)混合问题，先“组”后“排”.
1．下列问题中是组合问题的个数是________．
①从全班50人中选出5名组成班委会；
②从全班50人中选出5名分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员；
③从1,2,3，…，9中任取出两个数求积；
④从1,2,3，…，9中任取出两个数求差或商．
2．有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是________．
3．要从5件不同的礼物中选出3件分送3位同学，不同方法的种数是________．
4．5名工人要在3天中各自选择1天休息，不同方法的种数是________．
题型一 排列与组合的简单应用
例1 (1)5个相同的球，放入8个不同的盒子中，每盒至多放1个球，共有多少种放法？
(2)某项化学实验，要把2种甲类物质和3种乙类物质按照先放甲类物质后放乙类物质的顺序，依次放入某种液体中，观察反应结果．现有符合条件的3种甲类物质和5种乙类物质可供使用．问：这个实验一共要进行多少次，才能得到所有的实验结果？
小结 (1)解简单的排列、组合应用题时，首先要判断它是排列还是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序 无关．
(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类和分步时，一定要注意有无重复或遗漏．
题型二 有限制条件的排列、组合问题
例2 将5个不同的元素a，b，c，d，e排成一排．
(1)a，e必须排在首位或末位，有多少种排法？
(2)a，e既不在首位也不在末位，有多少种排法？
(3)a不排在首位，e不排在末位，有多少种排法？
小结 排列与组合的综合问题，首先要分清何时为排列，何时为组合．对含有特殊元素的排列、组合问题，一般先进行组合，再进行排列．对特殊元素的位置有要求时，在组合选取时，就要进行分类讨论，分类的原则是不重、不漏．在用间接法计数时，要注意考虑全面，排除干净．
跟踪训练2 (1)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加某项服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是________．
例3 用0,1,2，…，9这10个数字．
(1)可以组成多少个5位数？
(2)可以组成多少个没有重复数字的5位数？
(3)可以组成多少个没有重复数字且能够被5整除的5位数？
小结 解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰当地进行分类和分步，尤其注意特殊元素“0”的处理．解决该类问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论．
跟踪训练3 用0到9这10个数字．
(1)可以组成多少个没有重复数字的四位数？在这些四位数中，奇数有多少个？
(2)可以组成多少个只含有2个相同数字的三位数？
排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：①以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．
前两种方法叫直接解法，后一种方法叫间接解法，求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答.
小结 利用排列数公式进行运算时，要注意排列数之间的关系，两种形式中，一种形式用于化简，证明等，而另一种形式常用于求解．
1.5.1 二项式定理
【学习要求】
1．能用计数原理证明二项式定理．
2．掌握二项式定理及其展开式的通项公式．
3．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
【学法指导】
二项式定理是计数原理的一个应用，学习中要理解二项式中的有关元素，利用二项式系数及其性质解决有关问题.
1．二项式定理
公式
叫做二项式定理．
2．(a＋b)n展开式共有 项，其中各项的系数
叫做二项式系数．
3．(a＋b)n展开式的第 项叫做二项展开式的通项，记作Tr＋1＝ .
例1 求(3＋)4的展开式．
小结 在展开二项式之前根据二项式的结构特征进行必要变形可使展开多项式的过程得到简化，例如求(1－x)5(1＋x＋x2)5的展开式，可将原式变形为(1－x3)5，再展开较为方便．
跟踪训练1 求4的展开式．
探究点二 二项展开式的通项
例2 (1)求(1＋2x)7的展开式的第4项的二项式系数、项的系数；
(2)求9的展开式中x3的系数．
跟踪训练2 (1)(1＋2x)7的展开式的第几项的二项式系数等于35?
(2)9的展开式中，含有x6项吗？若有，系数为多少？含有x5项吗？若有，系数为多少？
课堂小结：
1．本课主要学习了两个重要的计数原理，应用两个计数原理时，要仔细区分它们的不同，分类计数原理关键在于分类，不同类之间互相排斥，互相独立；分步计数原理关键在于分步，各步之间互相依存，互相联系．
2．通过对这两个计数原理的学习，要进一步体会分类讨论思想及等价转化思想在解题中的应用．
3．排列有两层含义：一是“取出元素”，二是“按照一定顺序排成一列”．这里“一定的顺序”是指每次取出的元素与它所排的“位置”有关，所以，取出的元素与“顺序”有无关系就成为判断问题是否为排列问题的标准．
4．排列数公式有两种形式，可以根据要求灵活选用.
5．排列与组合的联系与区别
(1)联系：二者都是从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素．
(2)区别：排列问题中元素有序，组合问题中元素无序．
6．关于组合数的计算：
(1)涉及具体数字的可以直接用公式C＝＝计算；
(2)涉及字母的可以用阶乘式C＝计算.
毅力教育教务处
浙公网安备 33021202002483