等腰三角形一个性质的运用
重点难点
形
用
等腰三角形顶角的外角等于底角的两倍,这是等腰三角形的一个重
要性质.在解题的过程中若能巧妙构造三角形,灵活运用上述性质,常能
化难为易,化繁为简,使问题迎刃而解.下面举例说明. 一
,证明线段的相等和不等关系
例1如图,在?ABC中,B:2C,AD是角平分线.求证:AB +D=AC.
证明:延长CB到E,使EB=AB,连结
AE,贝U1=E.,
?
.
'
2C=ABC=2./E,
.
/
.
?
.
E:C.AE:AC.17:-…,
'
.
'
EAD=1+2=C+3:EDA,
..ED=EA..'.EB+BD=EA=AC. .
?
.日+D=AC.
注:本题也可延长A曰到E,使BE=BD,连结DE,或在Ac上取一 点E,使AE=AB,连结DE,利用等腰三角形及全等三角形的性质来证
明.
例2如图,在?ABC中,B=2C,则Ac与2AB的大小关系 为().
(A)AC>2AB(B)AC=2AB (C)AC?2AB(D)AC<2AB 上农艺课时,老师提问:"什么时候摘苹果最合适?"一个学生不假思索
地回答:"在守园人的狗被锁起来的时候." —?
,
重点难点甏
证明:延长CB到D,使BD=AB,连结AD, 则ABC=2/
又ABC=2C,/
.
?
.
C:D.D
.
.
.
AD=AC.
在?ABD中,AD<AB+D=2AB, .
?
.AC<2AB.故选D.
此命题可推广为:在?ABC中,若B=凡C,则AC<nAB,其中
凡为大于1的自然数.
二,证明比例线段问题
例3如图,:(~:/XABC中,AD平分Ac.求证:=. 证明:延长BA到E,使AE=AC,连结EC. .
.
.
AE=AC.
.
?
.E=ACE,BAC=2E.
又AD平分BAC,
.BAD=E.o_oAD7EC. .
?
.
=
BD
.又AE=AC,
.一
一AC—DC'
例4如图,在?ABC中,C=2B.求证:AB一AC=AC?BC.
证明:延长AC到D,使CD=CB,连结DB,则BCA=2D.
'
.
'
CA=2AC,
.
?
.
ABC=D.又A为公共角,
.
'
.
?ABC??ADB.
.
.
.
:
.又AD:AC+CD,一AD—A.一一.' .
?
.AB=AC+AC?CD. .
?
.AB一AC=AC?BC. 三,证明角的相等和不等关系 例5如图,在?ABC中,AD上BC AC=2C.
于D,AB+BD=DC,求证:
证明:延长DB到E,使EB=AB,连结AE,则EAB=E.
老师:"暑假里你什么时侯起床?"小明:"第一缕阳光射进我的l窗户时,
我就起床"老师:"那不是太早了吗?"小明:"噢,我的屋子是朝西的.
';;.'c,,,\Iv/\一,,\一,,\1.\,D... ,
,
久一
AC=2E.
DE=EB+BD,DC=AB+BD, =AB.
.
.
.DE=DC
AD,A
延
CB2
到
D.
们结
/,则=./\
在?AcD中,Ac+CD=2Ac>AD.,,,\\
又.?.AB>~2AC,?.AB>AD?……寺—— BC1
麓AB2AC3CADADAB2BD.===:设=,则=,=?.....一/I延长到,使==,连结.……,—
—.
?
.D=Ac=15.,DC=AD+AC=2+.
.
tanl5~=tan.=BC
=
1
-
2-,/3.
例8如图,在RtAABC中,c=90.,设=a.求证:c.t号一 cota>1.
证明:延长CB到D,使BD=AB,连结AD, 贝uAD=号.
.
?
.
c.t号=,cota=.
.
c.t号一c.ta===>? 老师:你知道布谷鸟有什么期l处哗小哩:事能裁衣,_谷售量蠛,j
能和我们玩耍.J''0.童t手,
l|_-,一l
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