三次函数专题

三次函数专题 一、定义： 定义1、形如的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。 定义2、三次函数的导数，把叫做三次函数导函数的判别式。 由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。 二、三次函数图象与性质的探究： 1、单调性。     一般地，当时，三次函数在上是单调函数；当时，三次函数在上有三个单调区间。 （根据两种不同情况进行分类讨论） 2、对称中心。 三次函数是关于点对称，且对称中心为点，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。 证明：设函数的对称中心为（m，n）。 按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以 化简得： 上式对恒成立，故，得， 。 所以，函数的对称中心是（）。 可见，y＝f(x)图象的对称中心在导函数y＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。 3、三次方程根的问题。 （1）当△=时，由于不等式恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。 （2）当△=时，由于方程有两个不同的实根，不妨设，可知，为函数的极大值点，为极小值点，且函数在和上单调递增，在上单调递减。 此时： ①若，即函数极大值点和极小值点在轴同侧，图象均与轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。 2 若，即函数极大值点与极小值点在轴异侧，图象与轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。 3 若，即与中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个实根，其中两个相等。 4、极值点问题。 若函数f(x)在点x0的附近恒有f(x0)≥f(x) (或f(x0)≤f(x))，则称函数f(x)在点x0处取得极大值（或极小值），称点x0为极大值点（或极小值点）。 当时，三次函数在上的极值点要么有两个。 当时，三次函数在上不存在极值点。 5、最值问题。     函数 若，且，则：； 。 三、例题讲解： 例1、（函数的单调区间、极值及函数与方程的）已知函数f（x）=x-3ax+3x+1。 （Ⅰ）设a=2，求f（x）的单调期间； （Ⅱ）设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的取值范围。 解： ①式无解，②式的解为， 因此的取值范围是. 例2、已知函数满足（其中为常数）． （1）求函数的单调区间； （2）若方程有且只有两个不等的实数根，求常数； （3）在（2）的条件下，若，求函数的图象与轴围成的封闭图形的面积． 解：（1）由，得． 取，得，解之，得， ∴． 从而， 列 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 如下： 1 ＋ 0 － 0 ＋ ↗ 有极大值 ↘ 有极小值 ↗ ∴的单调递增区间是和；的单调递减区间是． （2）由（1）知， ； ． ∴方程有且只有两个不等的实数根，等价于或． ………8分 ∴常数或． （3）由（2）知，或． 而，所以． 令，得，，． ∴所求封闭图形的面积． 例3、（恒成立问题）已知函数有极值． （1）求的取值范围； （2）若在处取得极值，且当时，恒成立，求的取值范围． 解：（1）∵，∴，     要使有极值，则方程有两个实数解，     从而△＝，∴．                      （2）∵在处取得极值，     ∴， ∴．                                        ∴， ∵， ∴当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减． ∴时，在处取得最大值，      ∵时，恒成立， ∴，即， ∴或，即的取值范围是． 例4、（信息迁移题）对于三次函数。定义：（1）的导数（也叫一阶导数）的导数为的二阶导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；定义：（2）设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有恒成立，则函数的图象关于点对称。 （1）己知，  求函数的“拐点”的坐标； （2）检验（1）中的函数的图象是否关于“拐点”对称; （3）对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）。 解：（1）依题意，得： ，。         由 ，即。∴，又 ，         ∴的“拐点”坐标是。   （2）由(1)知“拐点”坐标是。 而 =     ==， 由定义(2)知：关于点对称。  （3）一般地，三次函数的“拐点”是，它就是的对称中心。                  或者：任何一个三次函数都有拐点； 任何一个三次函数都有对称中心； 任何一个三次函数平移后可以是奇函数 . 例5、（与线性规划的交汇问题）设函数, 其中,是的导函数.   (1)若,求函数的解析式;   (2)若,函数的两个极值点为满足. 设, 试求实数的取值范围. 解:     　(Ⅰ)据题意,       由知,是二次函数图象的对称轴       又, 故是方程的两根.       设,将代入得         比较系数得:       故为所求.     　另解：，     　据题意得　　 解得　     　故为所求.   　(2)据题意,,则               　     又是方程的两根,且     　则       　则点的可行区域如图     　     　的几何意义为点P与点的距离的平方.观察图形知点，A到直线的距离的平方为的最小值      　故的取值范围是 例6：（1）已知函数f(x)=x3-x ,其图像记为曲线C. （i） 求函数f(x)的单调区间； （ii） 证明：若对于任意非零实数x1 ,曲线C与其在点P1 （x1,f(x1)））处的切线交于另一点P2（x2,f(x2)），曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3（x3,f(x3)），线段P1 P2, P2 P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则为定值； （2）对于一般的三次函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a 0),请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明。 解法一： （1）（i）有f(x)=x3-x得f’(x)=3x2-1=3(x-)(x+). 当x(,)和(，)时，f’(x)>0; 当x(，)时，f’(x)<0。 （ⅱ）曲线C在点P1处的切线方程为 y=(3x12-1)(x-x1)+x13-x1， 即y=(3x12-1)x-2 x13. 由 得x3-x=(3x12-1)x-2 x13 即（x-x1）2(x+2x1)=0, 解得 x=x1或x=-2x1, 故x2=-2x1. 进而有 用x2代替x1,重复上述计算过程，可得x3= -2x2和S2=。 又x2=-2x10，所以S2=,因此有。 （2）记函数g(x)=ax3+bx2+cx+d（a0）的图像为曲线C’，类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题为：若对于任意不等于的实数x1,曲线C’与其在点P1（x1, g(x1)）处的切线交于另一点P2（x2, g(x2)）,曲线C’与其在点P2处的切线交于另一点P3（x3, g(x3)），线段P1P2、P2P3 与曲线C’所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则为定值。 证明如下： 因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线y=g(x)的对称中心平移至 解法二： （1）同解法一。 （2）记函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)的图像为曲线C’，类似于（1）（ii）的正确命题为：若对于任意不等于的实数x1,曲线C’与其在点P1（x1, g(x1)）处的切线交于另一点P2（x2, g(x2)）,曲线C’与其在点P2处的切线交于另一点P3（x3, g(x3)），线段P1P2、P2P3 与曲线C’所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则为定值。 证明如下： 用x2代替x1，重复上述计算过程，可得x3= 和。 又x2= 所以 故 三次函数作业 1、设是函数f(x)的导函数，的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是（ ） 2、函数在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是（ ） A. 1，－1        B. 1，－17            C. 3，－17         D. 9，－19 3、设函数. （1）若的两个极值点为，且，求实数的值； （2）是否存在实数，使得是上的单调函数？若存在,求出的值；若不存在，说明理由. 考查函数利用导数处理函数极值单调性等知识 4、设定函数，且方程的两个根分别为1，4。 （Ⅰ）当a=3且曲线过原点时，求的解析式； （Ⅱ）若在无极值点，求a的取值范围。 5、已知函数f（x）=，其中a>0. （Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程； （Ⅱ）若在区间上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围. 6、已知函数 （其中常数a，b∈R），是奇函数. （Ⅰ）求的表达式； （Ⅱ）讨论的单调性，并求在区间上的最大值与最小值. 7、已知在函数的图象上以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为   （1）求m、n的值；   （2）是否存在最小的正整数k，使不等式对于恒成立？求出最小的正整数k，若不存在说明理由； 20070329   （3）求证： 8、已知函数（a-b）2，则.当x变化时，f’(x),f（x）的变化情况如下表： X 0 f’(x) + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 当时，f（x）>0等价于即，解不等式组得或.因此2