矩阵的特征值性质学年论文
矩阵特征值的性质与计算方法
学院 数学科学学院
专业 信息与计算科学
姓名 王小雪
学号 20081464
指导老师 冯立新
一、背景与意义:
由于矩阵特征值在物理学，经济学的领域的广泛应用，关于矩阵特征值尤其是矩阵最大特征值的性质及其计算方法的研究引起了人们的关注，随着计算机的发展，各种关于矩阵特征值的计算方法应运而生，而关于矩阵特征值范围的估计及其算法在数学上也取得了，一定的成果，为了方便叙述一同引进特征向量的概念一同阐述矩阵特征值范围的估计，性质及其算法。 二、内容:
V 在有限维线性空间中，取定一个基后线性变换f与矩阵A之,,？,12n
间存在着一一对应关系，即可用矩阵来表示线性变换，也就是说，对于每一个给定的线性变换，适当选择的一个基，使得该线性变换在此基下的矩阵最为简单.因此特征值，特征向量的引入对利用矩阵研究线性变换具有基本重要性.首
先了解特征值和特征向量的概念.
VAPP(1)定义:设是数域上线性空间的一个线性变换，如果对于数域一
A数存在一个非零向量，使得，那么称为的一个特征值，而A,,,,,,,000
A称为的属于特征值的一个特征向量. ,,0
(2)特征值相关的性质:
A1 、任一阶方阵必有个复的特征值. nn
kk,AA,2 、若是的关于特征值,的特征向量，则对任意非零常数，也是的0
关于,的特征向量 . 0
TAA3、 与它的转置矩阵有相同的特征值.
VAA4 、设是线性空间上的可逆变换，则?的特征值一定不为0;
,1,1A,A?为的逆矩阵的特征值.
Ann5、 阶实对称矩阵有个实的特征值.
6、 属于不同的特征值的特征向量是线性无关的.
7 、属于同一个特征值的特征向量不一定线性相关.
,1,1,1,18、 可逆，为的全部特征值，则?为 全部AAA,,,？,,,,？,12n12n
,1,1,1*特征值。?为的全部特征值 A,,A,？A,A12n
*n,19、设为一降秩复矩阵，则的伴随矩阵的个特征值至少有个AAAn，nn为0.若它存在非零的特征值，则必为 A，A，？，A1122nn
，mm,k10 、为的一个特征值，则分别为的特征值(为常数，) Am,zk,,,kA,A
n，n211 、若,则的特征值是A的特征值的平方(要计重数). A,CA
,12 、设A，B，AB均为级实对称阵，是AB的一个特征值，则存在A的n
,,st.一个特征值B，的一个特征值，使得 st
n13 、阶矩阵所有特征值之和为矩阵的迹即 n,,trA,i,1i
阶矩阵特征值之积为矩阵行列式之值即 14 、,,,,,,,,An12n
(3)矩阵特征值的估计
n，n，，AA,a,C 1 、Gerschgorin第一圆盘定理:设，则的特征值落在复ij
n,,Kv|vaa,,,平面的个圆盘 的并集上。 ，，ni,1、2、、、、n,,,iijijj,1,j,i,,
2 、 Gerschgorin第二圆盘定理:设Gerschgorin第一圆盘定理中的 个m
圆盘形成一联通域，它与其余的n,m个圆盘都不相交，则在此连通域中恰好
A有的个特征值。 m
(4)特征值的计算方法:
1 、根据定义求一些简单矩阵的特征值
，，，，kk,1,y,Az
,，，0k，，z，，k,1,2、、、 2 、幂法迭代
格式
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:，， 其中为任一初始向m,maxy,k，，，，kk,z,y/mk,
，，k，，k，，kz量，，，为向量的按模最大分量，这样迭代向量的按模最大分量maxyy
为1。
,1 3 、反幂法:把幂法应用于便得列计算的按最小模特征值及其特征AA,n
，，，，kk,1,y,Az
,，，0k，，向量的反幂法迭代格式 其中为任一zv，，k,1,2、、、，，m,maxy,nk，，，，kk,z,y/mk,
初始向量
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