公路匝道坐标的复化辛普森公式及用FX
公路匝道坐标的复化辛普森公式及用FX
摘要 本文利用复化辛普森公式导证的计算公路匝道坐标的通用公式。利用FX-4500P计算器编程计算放样点位坐标。
关键词复化辛普森公式 公路匝道 编程坐标计算
一、 引言 匝道是组成高等及公路立交的基本单元，其形式千变万化，就线形而言，也是由直线段、回旋曲线段、圆曲线段组成。但是，组成立交的匝道涉及线形的曲率变化特点，利用复化辛普森公式导证了计算公路匝道点位坐标的通用公式。并利用卡西欧FX-4500P计算器编程计算公路匝道点位坐标。
二、公路匝道点位坐标计算
1. 公路匝道中线形式 公路匝道中线是由直线—回旋曲线—圆曲线(R1)—回旋曲线—圆曲线(R2)—回旋曲线—直线的顺序组成的，其中R1 R2。 2. 回旋曲线上点位坐标方位角的计算 如图1，设回旋曲线起点A的曲率为rA，其里程为DKA;回旋曲线终点B的曲率为，其里程为DKB，Ax y 为以A为坐标原点，以A点切线为x 轴的局部坐标系;AXY为线路坐标系。
由此回旋曲线上各点曲率半径为Ri和该点离曲线起点的距离 i成反比，故此任意点的曲率为 (=R0为常数)
(1) 由式
可知，回旋曲线任意点的曲率按线性变化，由此回旋曲线上里程为DKi点 (1)
的曲率为
(2) 当曲线右偏时，取正;当曲线左偏时取负。在图1中有
(3) 将式
(2)代入式
(3)得
(4) 若已知回旋曲线起点A在线路坐标系下切线坐标方位角αA，则里程为Dki点切线坐标方位角为
(5) 将式
(4)代入式
(5)得
(6) 对于式(6)，当，时，，则ai=aA，式 (6)变成计算直线段上任意点切线坐标方位角计算公式;当，时，， ，则式(6)代表圆曲线上任意点切线坐标方位角计算公式。
可见，若已知曲线段起点和终点的曲率及起点的切线坐标方位角，式(6)便能计算任意线型点位切线坐标方位角。
3、回旋曲线点位坐标计算 由图1可得回旋曲线上点位在坐标系下坐标计算公式 (7) (8) 设回旋曲线起点A在线路坐标系下的坐标为将式(6)替代式 (8)中的，便得回旋曲线上任意点在线路坐标系下的坐标 (9) 对于式
(9)的解算，由于后半部分是定积分，我们引入复化辛普森公式对其进行解算。
首先将积分区间[DKA，DKi]划分为n等份，步长为H=(DKi-DKA)/n，分点里程DXK=DKA+KH，K=0，1，2，×××，n，记子区间[DXK，DXK+1]的里程为DXK+1/2，则DXK+1/2=(DXK+DXK+1)/2，K=0，1，2，×××，n-1。
由此式
(9)用复化辛普森公式表示为 n-1 n-1 X=XA+H/6 (cosaA+4?cosaK+1/2 +2?cosaK +cosai) K=0 k=1 n-1 n-1 Y=YA+H/6 (sinaA+4?sinaK+1/2 +2?sinaK +sinai) (10) K=0 k=1 式中:
aA为回旋曲线起点A的切线方位角;aK+1/2为里程DXK+1/2点切线方位角;aK为里程DXK点切线方位角;ai为里程DKi点切方位角。
对于式
(10)，虽然是由回旋曲线导出的，但该式也适用直线段和圆曲线段。
三、复化辛普森公式的使用说明 为满足点位坐标计算精度，经验算取n=2。无论是直线段、圆曲线段、回旋曲线段，只要将各曲线段中的起点、终点的曲率和里程以及解求点里程Dki和各分点里程代入式
(2)、(6)、
(10)便可获得待求点Dki的坐标。在计算时，要注意曲线的偏向。
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