[高考]最新各地高考题和模拟题分类汇编很全很详细12第6章 第2节 数列的应用

[高考]最新各地高考题和模拟题分类汇编很全很详细12第6章 第2节 数列的应用 第6章 数列 第2节 数列的应用 第1部分 六年高考题荟萃 2010年高考题 一、选择题 a1.(2010江西理)5.等比数列中，，=4，函数 a,2a,,n18 'fxxxaxaxa,,,,()()()f0,，则( ) ，，，，128 691215A( B. C. D. 2222 【答案】C 【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数 'f0fx学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有x项均取0，则只与函数的一次项，，，， 412aaaaaa,,,,()2有关;得:。 123818 111,,，，，，,lim1,,2nx,,333,,2.(2010江西理)4. ( ) 53 32A. B. C. 2 D. 不存在 【答案】B 1,1n33【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一:先求和，然后对和取极限。 lim(),n,，,121,3 q,1aa,1aaaaaa,3.(2010北京理)(2)在等比数列中，，公比.若，则,,n1m12345m= (A)9 (B)10 (C)11 (D)12 【答案】C aa,0SSSa,，24.(2010四川理)(8)已知数列的首项，其前项的和为，且，n,,n1nnn，11 1 an则 lim,,,nSn 1(A)0 (B) (C) 1 (D)2 2 解析:由,且 SSa,，2SSa,，2nn，11nn，，211 ,2 作差得aan，2n，1 又S,2S，a，即a，a,2a，a , a,2a 211211121 故{a}是公比为2的等比数列 n 2n,1n,，2，2，„„，2,(2,1)Saaaaan11111 n,1a2a1n1则 ,,limlimnnn,,,,,Sa(21)2n1 【答案】B aa5.(2010天津理)(6)已知是首项为1的等比数列，s是的前n项和，且,,,,nnn ,,19ss,，则数列的前5项和为 ,,36an,, 15313115(A)或5 (B)或5 (C) (D) 168816 【答案】C 【解析】本题主要考查等比数列前n项和公式及等比数列的性质，属于中等题。 369(1q)1-,q113显然q,1，所以，所以是首项为1，公比为的=12,，,,qq{}21-q1,qan 151(),312等比数列， 前5项和. T,,51161,2 【温馨提示】在进行等比数列运算时要注意约分，降低幂的次数，同时也要注意基本量 法的应用。 aaaaaaa2010全国卷1文)(4)已知各项均为正数的等比数列{6.(}，=5，=10，n123789 aaa则= 456 (A) (B) 7 (C) 6 (D) 5242 【答案】A 2 【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想. 33aaaaaaa,,,()5aaaaaaa,,,() 【解析】由等比数列的性质知，10,123 1 3所以, aa,5028 13336所以 aaaaaaaaa,,,,,()()(50)52456465528 1aa,27.(2010湖北文)7.已知等比数列{a}中，各项都是正数，且，成等差数列，a32m12 aa，910则 ,aa，78 B. C. D A.12，12,322，322, a2n3n8.(2010安徽理)10、设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和分n,,n 别为，则下列等式中恒成立的是 XYZ,, YYXZZX,,,XZY，,2A、 B、 ，，，， 2YYXXZX,,,C、 D、 YXZ,，，，， 【答案】 D n,1【分析】取等比数列,令得代入验算，只有选项D满足。 1,2,4XYZ,,,1,3,7 【方法技巧】对于含有较多字母的客观题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，若能排除3个选项，剩下唯一正确的就一定正确;若不能完全排除，可以取其他数字验证继续排除.本题也可以首项、公比即项数n 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示代入验证得结论. (2010湖北理数)7、如图，在半径为r 的园内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆， s又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设为前n个圆的面n 3 积之和，则= slimnn,, 82222A( 2 B. C.4 D.6 ,r,r,r,r3 a9.(2010福建理)3(设等差数列的前n项和为,若,,则当Sa,,11aa，,,6S,,nn146n取最小值时,n等于 A(6 B(7 C(8 D(9 【答案】A daaadd，,，,，,，,,282(11)86d,2【解析】设该数列的公差为，则，解得， 461 nn(1),22n,6所以，所以当时，S取最小值。 Snnnn,,，，,,,,,11212(6)36nn2 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。 二、填空题 11nnnnNxx,,，,，1.(2010浙江理)(14)设2,,(2)(3) 23 2n,，，，,,,，aaxaxax， 012n akn(0),,T将的最小值记为，则 kn 1111TTTTT,,,,,,,,,,,,0,,0,,,, 2345n33552323 T其中=__________________ . n 解析:本题主要考察了合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，属容易题 4 332333232.(2010陕西文)11.观察下列等式:1，2,(1，2)，1，2，3,(1，2，3)，1，3332，3，4, 233333(1，2，3，4)，„，根据上述规律，第四个等式为1，2，3，4，5,(1，2，3，4，5)((((( 22(或15). 解析:第i个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1到i+1和的完全平方 3333322所以第四个等式为1，2，3，4，5,(1，2，3，4，5)(或15). ((((( ana3.(2010辽宁理)(16)已知数列满足aaan,,,33,2,则的最小值为,,n11nn，n__________. 21【答案】 2 【命题立意】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力。 2【解析】a=(a-a)+(a-a)+„+(a-a)+a=2[1+2+„(n-1)]+33=33+n-n nnn-1n-1n-2211 a33n,，,n1所以 nn 33,33，,10，,n1(33,)，,设，令，则在上是单调递增，fn(),fn(),fn()2nn (0,33)在上是递减的，因为n?N,所以当n=5或6时有最小值。 fn()+ aaaa5363212156n6,,又因为，,,，所以，的最小值为 n5562662 4.(2010浙江文)(14)在如下数表中，已知每行、每列中的树都成等差数列， 那么，位于下表中的第n行第n+1列的数是 。 2答案: n，n 5 5.(2010天津文)(15)设{a}是等比数列，公比，S为{a}的前n项和。记q,2nnn 17SS,*nn2T设为数列{}的最大项，则= 。 TnTnN,,,.nn0n0a，n1 【答案】4 【解析】本题主要考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题。 nn217[1(2)][1(2)]aa,,11,2nn1(2)17(2)16,，1212,,T,,,nnna(2)12(2),1 11616nnn因为?8，当且仅当(2)=4，即n=4时取,,，,，(2)[(2)17]nn,(2)12(2) 等号，所以当n=4时T有最大值。 0n n(2)【温馨提示】本题的实质是求T取得最大值时的n值，求解时为便于运算可以对进n 行换元，分子、分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解. ,aan,6.(2010湖南理)15(若数列满足:对任意的，只有有限个正整数使得mnN,,,nm ,,a()a成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列()a(例如，若数列是m,,,,nnn ,2,an,，则数列()a是(已知对任意的，，1,2,3,…，n…0,1,2,1,…，n,…n,N,,nn ,()a,则 ， 5 ,,(())a, ( n 三、解答题 1.(2010湖南文)20.(本小题满分13分) 给出下面的数表序列: 其中表n(n=1,2,3 )有n行，第1行的n个数是1,3,5，2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。 (I)写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n?3)(不要求证明); 6 (II)每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12，记此数列为 bbb32n，4b 求和: ，，,,nbbbbbb12231nn， 7 2.(2010全国卷2理)(18)(本小题满分12分) 2naSnn,，()3已知数列的前项和( n,,nn an(?)求; lim,,nSn aaann12(?)证明:3( ，，，…,22212n sn(1),,1a,【命题意图】本试题主要考查数列基本公式的运用，数列极限和数列,nssn,,(2),nn1,不等式的证明，考查考生运用所学知识解决问题的能力. 【参考答案】 8 【点评】2010年高考数学全国I、?这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心. 估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续. 9 3.(2010北京理)(20)(本小题共13分) SXXxxxxinn,,,,,{|(,,),{0,1},1,2,,}(2)…，…已知集合对于nn121 Aaaa,(,,,)…BbbbS,,(,,,)…，，定义A与B的差为 12n12nn ABababab,,,,,(||,||,||);… 1122nn A与B之间的距离为 dABab(,)||,,,11i,1 ,,,,ABCSABS,,,有(?)证明:，且; dACBCdAB(,)(,),,,nn ,,ABCSdABdACdBC,,,(,),(,),(,)(?)证明:三个数中至少有一个是偶数 n (?) 设P,S，P中有m(m?2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为(P). nd mn 证明:(P)?. d2(1)m, (考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效) Aaaa,(,,...,)证明:(I)设Bbbb,(,,...,)Cccc,(,,...,),S，， 12n12n12nn b,0,1ab,,0,1a 因为，，所以, (1,2,...,)in,,,,,iiii ABabababS,,,,,,(||,||,...,||) 从而 1122nnn n dACBCacbc(,)||||||,,,,,, 又 ,iiii,1i 10 ,0,1由题意知，，. bca(1,2,...,)in,,,iii 时，; 当c,0|||||||||acbcab,,,,iiiiiii, 当时， |||||||(1)(1)|||acbcabab,,,,,,,,c,1iiiiiiiii, n 所以 dACBCabdAB(,)||(,),,,,,,ii,1i (II)设，， Aaaa,(,,...,)Bbbb,(,,...,)Cccc,(,,...,),S12n12n12nn ，，. dABk(,),dACl(,),dBCh(,), 记，由(I)可知 OS,,(0,0,...,0)n dABdAABAdOBAk(,)(,)(,),,,,,, dACdAACAdOCAl(,)(,)(,),,,,,, dBCdBACAh(,)(,),,,, k 所以||(1,2,...,)bain,,||(1,2,...,)cain,,中1的个数为，的1的 iiii l个数为。 hlkt,，,2 设||||1baca,,,,是使成立的i的个数，则 tiiii 由此可知，三个数不可能都是奇数， klh,, 即,,三个数中至少有一个是偶数。 dAB(,)dAC(,)dBC(,) 1P(III),其中表示中所有两个元素间距离的总和，dPdAB,dAB(,)()(,),,2CABP,,ABP,,m P设itmt,种所有元素的第个位置的数字中共有个1，个0 ii n 则=tmt(), dAB(,),,ii,1ABP,,i 2mt()mt,由于 ,,(1,2,...,)inii4 2nm所以, dAB(,),4ABP,, 11 21nmmn从而 ,,,dPdAB()(,),22,CCm42(1)ABP,,mm 4.(2010天津文)(22)(本小题满分14分) *a在数列中，=0，且对任意k，成等差数列，其公差为2k. a,a,aa,N,,n12k12k2k+1,(?)证明成等比数列; a,a,a456 a(?)求数列的通项公式; ,,n 222323n(?)记，证明. ,,,,2nT2n(2)T,，，，nn2aaan23 【解析】本小题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基 础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法， 满分14分。 (I)证明:由题设可知，，aa,，,24，，aa,，,22aa,，,48213243 aa,，,412， 54 aa,，,618。 65 aa365从而，所以a，a，a成等比数列。 ,,456aa254 aakkN,,,4,*(II)解:由题设可得 2121kk，, aaaaaaaa,,,，,，,...所以 ，，，，，，2112121212331kkkkk，，,,, ,，,，，，441...41kk ，， ,，,21,*kkkN . ，， 2akk,，21aakk,,,22a,0由，得 ，从而. ，，21k，kk，1221 2,n,1n,n为奇数2,11,,，，n,2anN,*所以数列的通项公式为或写为a,，，。 a,,,,nnn224n,,n为偶数,,2 2akk,，21ak,2(III)证明:由(II)可知，， ，，21k，k2以下分两种情况进行讨论: 12 mN,*(1) 当n为偶数时，设n=2m ，， 2nk若，则， m,122,,n,a,k2k 若m,2，则 22222nmmmm,,11221kk，，，，，kkkk4441，， ,，,，,,,,,2aaakkk221，，，kkkkk,,,,,21111kkk，221 2mm,,11，，441111kk，，，,, 222mm,，，,，，,,,,,,,,,212121kkkkkk，，,，，，，,,kk,,11，，，， 1131,, . ,，,，,,,,22112mmn，，,,22mn,, 22nnk313k所以，从而 ,,，,,,,2n22,4,6,8,....nn,,an22a,,k2k2kk nmmN,，,21*(2) 当n为奇数时，设。 ，， 2222nm22121mm，，，，，，kk31 ,，,,,，4m,,aaammm2221，，，,,kk22，kkm21 1131 ,，,,,,42mn22121mn,，，， 22nnk313k所以，从而 ,,，,,,,2n22,3,5,7,....nn,,，an212a,,k2k2kk 3,,,nT22.综合(1)和(2)可知，对任意有 nnN,,2,*,n2 5.(2010天津理)(22)(本小题满分14分) *aaa,0aad在数列中，，且对任意.，，成等差数列，其公差为。 kN,,,n121k,2k21k，k *2kaada(?)若=，证明，，成等比数列() kN,k2k21k，22k， *aaaq(?)若对任意，，，成等比数列，其公比为。 kN,2k21k，22k，k【解析】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n项和公式、等比数列的定义、数 列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论 的思想方法。满分14分。 *(?)证明:由题设，可得aakkN,,,4,。 2121kk，, 13 所以 aaaaaaaa,,,，,，，,()()...()23kkkkk，，,,, =44(1)...41kk，,，，， =2k(k+1) 22由=0，得 aakkaakkak,，,,,,，2(1),22,2(1).从而12122122kkkk，，， aaaakk，，1121222221kkkk，，，，于是。 ,,,,,所以akakaa221212kkkk，， *所以成等比数列。 dkkNaaa,,2,,,时，对任意k22122kkk，，(?)证法一:(i)证明:由成等差数列，及成aaa,,aaa,,2k2121kk,，22122kkk，， aa2121kk,，1等比数列，得2,2 aaaq,，,，,，k22121kkk,，aaq221kkk, *当?1时，可知?1，k qq,N1k 11111,,，,,,1,1(2)即k从而 qqqq,,111kkkk,,,,111121,,qk,1 ,,,,1所以是等差数列，公差为1。 ,,q,1,,k,, 41a,2a,0a,4q,,2,(?)证明:，，可得，从而=1.由(?)有 1123q,121 *k，11,，,,,,11,,kkqkN得 kqkk,1 2aaa()*22211221kkkkk，，，，，,,,,,,从而kN 所以2aakak2122kkk， 因此， 222aaa(1)2kk,2*2221kkk,，4...........22..2(1),aakaakkkN,,,,,，,k22222212kk，aaakkk(1)(2)1,,22242kk,, 以下分两种情况进行讨论: *(1) 当n为偶数时，设n=2m() mN, 14 2nk若m=1,则. 22,,n,a,k2k 若m?2，则 2222nmmm,1kkkk(2)(21)4，+ ,，,,,,,2aaak2kkkk,,,,2111kkk221， 22mmm,,,111，，441441111kkkk，，，，，,,,，，,，，,222mm,,,,,,,,,2(1)2(1)2(1)21kkkkkkkk，，，，,,kkk,,,111，，，， 1131,，,，,,,,22(1)(1)2mmn22.mn 22nnkk313所以 ,,，,,,,从而2,22,4,6,8...nnn,,ana22,,kk22kk *(2)当n为奇数时，设n=2m+1() mN, 2222nm2kkmm(21)31(21)，， ,，,,,，4m,,aaammm222(1)，,,kk22，kkm21 1131 ,，,,,,42mn22(1)21mn，， 22nnk313k所以从而??? ,,，,,,,2,n22,3,5,7nn,,，an212a,,k2k2kk 2n3k,n,2综合(1)(2)可知，对任意,,有 ,,,22nnN,,2a,k2k daaqaaaq,,,,,,(1),证法二:(i)证明:由题设，可得 kkkkkkkk212222， 2daaqaqaaqq,,,,,,(1),dqd,所以 kkkkkkkkkk，，，kkk，112221222 aadddq，,1232211kkkkkk，，，， q,,,，,，,，111k，12aaqaqaq222222kkkkkkk，， q111kq,1qkN,,1,*由可知。可得， ,,,,11k,,,,qqqq1111，1kkkk,,1所以是等差数列，公差为1。 ,,q,1k,, aa,,0,2,daa,,,2(ii)证明:因为所以。 12121 15 ,,1a13所以，从而，。于是，由(i)可知所以是aad,，,4q,,2,1,,32111q,aq,1k,,12 k，1111，,,kk公差为1的等差数列。由等差数列的通项公式可得= ，故。 q,，，kkq,1k dk，1k，1从而。 ,,qkdkk ddddkk,12kkk,12所以，由，可得 d,2,,,................k1ddddkk,,1211121kk,, 。 dk,2k 2akkakkN,，,,21,2,*于是，由(i)可知 ，，kk，212 以下同证法一。 6.(2010湖南理)21((本小题满分13分) 11*3222anN(),fxxanxnax,,，，数列中，是函数的极()(3)3,,nnnn32 小值点 (?)当a=0时，求通项a; n a(?)是否存在a，使数列是等比数列,若存在，求a的取值范围;若不存在，请,,n 说明理由。 16 17 7.(2010江苏卷)19、(本小题满分16分) d,,aS2a,a，a设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列,,是公差为Snn213n的等差数列。 ,,a(1)求数列的通项公式(用表示); n,dn S，S,cS(2)设为实数，对满足的任意正整数，不等式cm,n,km，n,3k且m,nmnk 9都成立。求证:的最大值为。 c2 [解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。满分16分。 18 (1)由题意知:d,0， SSndand,，,,，,(1)(1)n11 222， 233()aaaaSSSS,，,,,,,3[()](2),adaad，,,，21323213111 22化简，得: aaddadad,,，,,,20,,1111 22， SdndndSnd,，,,,(1),nn 22222aSSndndnd,,,,,,,(1)(21)当n,2时，，适合n,1情形。 nnn,1 2and,,(21)故所求 n (2)(方法一) 22mn，222222222SScSmdndckdmnck，,,，,,,，,,， 恒成立。 c,mnk2k 22mn，92222 又，， m，n,3k且m,n2()()9mnmnk，,，,,,2k2 99c,故，即的最大值为。 c22 22d,0Snd,(方法二)由及，得，。 ad,Sand,，,(1)n1n1 于是，对满足题设的，，有 mn,m,n,k 2()99mn，222222。 SSmndddkS，,，,,,()mnk222 9所以的最大值c,。 cmax2 933ka,另一方面，任取实数。设为偶数，令，则符合条件，mknk,，,,1,1m,n,k222 33122222222SSmnddkkdk，,，,，，,,，且()[(1)(1)](94)。 mn222 122222SSdakaS，,,,2于是，只要，即当时，。 k,942kak，,mnk229a, 99c,c,所以满足条件的，从而。 max22 9因此的最大值为。 c2 19 2009年高考题 一、选择题 2n1.(2009广东卷理)已知等比数列满足，且aan,,,2(3)，{}aan,,0,1,2,,nn525n则当n,1时，logloglogaaa，，，, 2123221n, 222A. B. C. D. (1)n，(1)n,nn(21),n 22nn2na,2a,2【解析】由aan,,,2(3)得，，则， loga，loga，,,,， a,0525n,nn2123n 2loga,1，3，,,,，(2n,1),n，选C. n,221 【答案】 C SS962.(2009辽宁卷理)设等比数列{ }的前n 项和为 ，若 =3 ，则 =aSnnSS36 78A. 2 B. C. D.3 33 3SqS(1)，3363【解析】设公比为q ,则,1，q,3 , q,2 ,SS33 36S11247，，，，qq9,,, 于是 3Sq1123，，6 【答案】B a3.(2009宁夏海南卷理)等比数列的前n项和为s，且4a，2a，a成等差数列。,,nn123若a=1，则s=( ) 14 A.7 B.8 C.15 D.16 aaa【解析】4，2，成等差数列，123 22？，,，,？,，,？,,44,44,440,215aaaaaqaqqqq即，S,选C. 1321114 【答案】 C 5，1x,R,4.(2009湖北卷文)设记不超过的最大整数为[],令{}=-[]，则{}，xxxxx25，15，1[], 22 20 A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 【答案】B ,,5151，,51，,,【解析】可分别求得，.则等比数列性质易得三者构成等[]1,,,,222,,,, 比数列. 5.(2009湖北卷文)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如: 他们研究过图1中的1，3，6，10，„，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16„这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是 A.289 B.1024 C.1225 D.1378 【答案】C nn(1)an,，【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项，同理可得正方形数构成的数2 nn22(1)bn,bn,an,，()nN,a列通项，则由可排除A、D，又由知必为奇数，nn，n2 故选C. aaaa，，aaaS6..(2009安徽卷理)已知为等差数列，++=105，=99，以表示,,n135246naS的前项和，则使得达到最大值的是nn,,nn A.21 B.20 C.19 D. 18【答案】 B 3105,a,aaa，，399a,aaaa,35【解析】由++=105得即，由=99得即135332464 21 a,0,n ，?，，由得，选B d,,2aann,，,，,,,(4)(2)412n,20a,33,4n4a,0，1n, nn,,222,,(cossin)7.(2009江西卷理)数列的通项，其前项和为，则{}aSSannnnn3033 为 A(470 B(490 C(495 D(510 【答案】 A nn,,22{cossin},【解析】由于以3 为周期,故 33 22222212452829，，，222 S,,，，,，，，,，(3)(6)(30)30222 221010(32)(31)591011kk,，,，，2故选A ,,，,,,,,[(3)][9]25470kk,,222kk,,11 a8.(2009四川卷文)等差数列,a,的公差不为零，首项,1，是和的等比中aaan5121项，则数列的前10项之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 【答案】B 2ddd【解析】设公差为(1，d),1,(1，4d)，则.??0，解得,2，?S,10 10二、填空题 1S4q,9.(2009浙江文)设等比数列{}a的公比，前项和为S，则 ( n,nn2a4【命题意图】此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式，通过对数列知识点的考 查充分体现了通项公式和前项和的知识联系( n 答案 15 44aqs(1),1,q314解析 对于 saaq,,？,,,,1544131(1),,qaqq4 SS,{}aSSSS,SS,10.(2009浙江文)设等差数列的前项和为，则，，，nnn4841281612 {}bTT成等差数列(类比以上结论有:设等比数列的前项积为，则， ， ，nnn4T16成等比数列( T12 22 【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列中等差数列和等比数列 的知识，也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力 TT812答案: ,TT48 TTT81612解析 对于等比数列，通过类比，有等比数列的前项积为，则，，成{}bTTn,nn4TTT4812 等比数列( ,aaaan,,,,1,0,,N,11.(2009北京理)已知数列满足:则{}a43412nnnnn,, ________;=_________. a,a20092014 答案 1，0 本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型. 解析 依题意，得aa,,1aaaa,,,,0，. 200945033，,，，, ?应填1，0. aqban,，,1(1,2,)12..(2009江苏卷)设是公比为的等比数列，，令，||1q,,,nnn b,,53,23,19,37,82若数列有连续四项在集合中，则= .6q,,,,n 答案 -9 解析 考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。 ,,54,24,18,36,81a有连续四项在集合，四项成等比数列，公比为,,24,36,54,81,,,,n 3q,,，= -9 6q2 a,7,a,a，6a,____________13.(2009山东卷文)在等差数列{a}中,,则. n3526 a，2d,7a,3,,11d{a}解析 设等差数列的公差为,则由已知得解得,所以,,na，4d,a，d，6d,211,,aad,，,513. 61 答案:13. 【命题立意】:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算. aa,m14.(2009湖北卷理)已知数列满足:(m为正整数)，,,n1 23 a,n,当为偶数时，a,n若，则m所有可能的取值为__________。 a,1a,2,6，1n ,31,aa，当为奇数时。nn, 4 5 32 答案 mmaa12解析 (1)若为偶数，则为偶, 故a,,, a am,1232224 mmmmaa,,,,,,,,?当仍为偶数时， 故,,,132m 46832432 3m，13m4?当为奇数时， aam,，,，311,,,,,,,a4364443m，14故得m=4。 ,14 31m，(2)若为奇数，则为偶数，故必为偶数 am,aam,，,，3131a,31212 31m，31m，，所以=1可得m=5 ,,,,,,,a61616 2aa2009宁夏海南卷理)等差数列{}前n项和为。已知a+a-=0，S=38,15.(Snmnm,1m，121m, 则m=_______ 2aaa解析由+-=0得到mm,1m，1 21maa,，，，，，121m,2。 20,0,2213810aaaSmam,,,,,,,？,又，，mmmmm21,2 答案10 aas,,12s16.(2009陕西卷文)设等差数列的前n项和为,若,则,,nn63a, . n aas,,12aa,解析:由可得的公差d=2,首项=2,故易得2n. ,,n631n答案:2n aSaS,,1217.(2009陕西卷理)设等差数列的前n项和为,若,则,,nn63 Snlim, . 2n,,n 24 a,12ad，,512a,2,,,SSnn，，11611nn解析:,,,,，,,,,,Snn(1)limlim1,,,n22,,,,nnsad,，,1212dnnnn,2,,,31 答案:1 18.(2009宁夏海南卷文)等比数列{}的公比, 已知=1，，则aaaaa，,6q,0n2nnn，，21 S{}的前4项和= a4n n，1nn,12解析 由得:，即，，解得:q,2，aaa，,6q，q,6qq，q,6,0q,0nnn，，21 14(1,2)1152又=1，所以，a,，,。 aS,124221,2 15答案 2 219.(2009湖南卷理)将正?ABC分割成(?2，n?N)个全等的小正三角形(图2，图nn 3分别给出了n=2,3的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于?ABC的三遍及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别一次成等差数列，若顶点A ,B ,C 10处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)=2，f(3)= ，„，3 1f(n)= (n+1)(n+2) 6 101,(1)(2)nn,，答案 36 解析 当n=3时，如图所示分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知abcxxabyybczzca，，,，,，，,，，,，1,,, 121212 xxyyzzabcgxyxzyz，，，，，,，，,,，,，,，2()2,2 121212122112 62()2gxxyyzzabc,，，，，，,，，, 121212 25 11110即 gfabcxxyyzzg,,，，，，，，，，，,，，,而(3)11212123233 。由上知中有三个数，中 有6个数，中共有10个进一步可求得f(4)5,f(2)f(3)f(1)数相加 ，中有15个数相加„.，若中有个数相加，可得中an(1),f(4)fn(1),fn()n,1 有个数相加，且由 (1)an，，n,1 363331045， fffffff(1)1,(2)(1),(3)(2),(4)5(3),...,,,,,，,,，,,，3333333 n，1可得所以 fnfn()(1),,,，3 nnnnnn，，，,11113 fnfnfnf()(1)(2)...(1),,，,,，，,,，，，，3333333 nnn，,113211= ，，，，，,，，(1)(2)nn3333336 a，22*nbb,20.(2009重庆卷理)设a,2，，，，则数列的通a,nN,,,nn1n，1a,1a，1nn项公式= ( bn 2，2aaa，，22nnn，，11bb,4解析 由条件得且所以数列是首bb,,,,22,,n1nn，12aa,,11nn，1,1an，1 nn,，11b,,,422项为4，公比为2的等比数列，则n 答案 2n+1 三、解答题 21.(2009年广东卷文)(本小题满分14分) 1xa,1f(x),a(a,0,{a}已知点(1，)是函数且)的图象上一点，等比数列的前项nn3 (b,0){b}SSS和为,数列的首项为，且前项和满足,=+Sf(n),ccnSnnnn,1nnn，1 n,2(). {a}{b}(1)求数列和的通项公式; nn 10001TT(2)若数列{前项和为，问>的最小正整数是多少? }nnnn2009bbnn，1 26 x11,,？,fx解(1),Qfa1,,，，，，,,33,, 12,, ,, afcc,,,,1afcfc,,,,21，，，，，，，，，，12，，，，93 2 . afcfc,,,,,,，，，，32，，，，3，，，，27 42a21812a又数列成等比数列， ，所以 c,1; ac,,,,,,,,n12a333,27 nn,1211a1,,,,*2a,,,,2又公比，所以 ; q,,nN,,,,,n333a3,,,,1 n,2 QSSSSSSSS,,,，,，，，，，，，nnnnnnnn,,,,1111 又b,0,, ; S,0？,,SS1nnnn,1 2Sn,数列构成一个首相为1公差为1的等差数列， ， SSnn,，,，,111，，,,nnn 22n,2当， ; bSSnnn,,,,,,,121，，nnn,1 *？,,bn21(); nN,n 11111111(2) T,，，，，L,，，，，Kn133557(21)21，，，,，，nnbbbbbbbb，，1223341，nn 11111111111,,,,,,,, ,,，,，,，，,1K,,,,,,,,2323525722121nn,，,,,,,,,, 11n,,; ,,,1,,22121nn，，,, n100010001000T,T,,n, 由得，满足的最小正整数为112. nn212009n，92009 11n，{}a22.(2009全国卷?理)在数列中，aaa,,，，1,(1) 11nn，nnn2 anb,{}b(I)设，求数列的通项公式 nnn {}aS(II)求数列的前项和 nnn aa11nn，1,，？,,bb分析:(I)由已知有 nn，1nn，nn122 27 1*利用累差迭加即可求出数列的通项公式: b,,() {}b2nN,nnn,12 n(II)由(I)知,,2, annn,12 nnnkk= S(2),,,(2)？kk,,,n,1,1kk22,1,,11kkk nnk而,又是一个典型的错位相减法模型， (2)(1)knn,，,,,1k2,1,1kk nkn，2n，2易得 =，,4 S？,,4nn(1)，,nn,1,,11kn222,1k 评析:09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 Aaaaaaan,,,,,,,1,2P23.(2009北京理)已知数集具有性质;对,,，，1212nn 任意的 ajijijn,1,,,Aaa，与两数中至少有一个属于. ，，ijai 1,3,41,2,3,6P(?)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由; ,,,, aaa，，，12na,1(?)证明:，且; ,a1n,,,111aaa，，，12n n,5aaaaa,,,,(?)证明:当时，成等比数列. 12345 【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分 分类讨论等数学思想方法(本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题. 41,3,434，(?)由于与均不属于数集，?该数集不具有性质P. ,,3 6612361,2,3,6 由于12,13,16,23,,,,,,，，，，都属于数集， ,,231236 ?该数集具有性质P. anAaaa,,,aa(?)?具有性质P，?与中至少有一个属于A， ,,12nnnan 28 由于，?，故. 1,,,,aaaaaa,aaA,12nnnnnn an从而，?. a,11,,A1an aaAkn,,2,3,,?， ?，故. 1,,,,aaaaaa,，，kn12nknn an由A具有性质P可知. 1,2,3,,,,Akn，，ak aaaannnn又?， ,,,,aaaann,121 aaaannnn?， ,,,,1,,,aaa21,nnaaaa,121nn aaaannnn从而， ,，，，,，，，，aaaa121nn,aaaann,121 aaa，，，12n?. ,an,,,111aaa，，，12n aa255n,5aaaa,,(?)由(?)知，当时，有，即， ,,aa,524323aa43 ?1,,,,aaaaaaaa,,aaA,，?，?， 1253424534 a4由A具有性质P可知. ,Aa3 aaaaa233344aaa,，得，且，?， 1,,a,,A,,a24322aaaaa23232aaaa5342aaaaa,,,,a?，即是首项为1，公比为成等比数列. ,,,,a1234522aaaa4321 aS24.(2009江苏卷)设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足n,,nn2222aaaaS，,，,,7。23457 aS(1)求数列的通项公式及前项和;n,,nn aamm，1a(2)试求所有的正整数，使得为数列中的项。m,,nam，2 【解析】 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满 29 分14分。 2222)设公差为，则，由性质得，因(1aaaa,,,,，,，3()()daadaad43432543 76，250ad，,S,7为，所以，即，又由得，77ad，,aa，,0d,0171432 a,,5解得，1 , d,2 (27)(25)mm,,aamm，123mt,,(2)=,设， 23m,am，2 (方法一) (4)(2)8tt,,aamm，1则=, 所以为8的约数 ,，,t6tttam，2 aaaa(4)(2),,8mmmm，，，122a(方法二)因为为数列中的项， ,,,，a6,,nm，2aaammm，，，222 8amm,,,,,231,1,2即故为整数，又由(1)知:a为奇数，所以 m，2m，2 am+2 m,2经检验，符合题意的正整数只有。 225(2009江苏卷)对于正整数?2，用T表示关于的一元二次方程有nxxaxb，，,20n abn,1,2,,,b实数根的有序数组的组数，其中(和可以相等);对于随机选取(,)aba,, 2abn,1,2,,,bP的(和可以相等)，记为关于的一元二次方程有axxaxb，，,20,,n实数根的概率。 TP(1)求和; 22nn 1(2)求证:对任意正整数?2，有P,,. n1nn【解析】 [必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。满分10 分。 30 ，26.(2009山东卷理)等比数列{a}的前n项和为S， 已知对任意的 ，点(,)nS，nN,nnn x均在函数且均为常数)的图像上. ybrb,，,(0bbr,1,, (1)求r的值; ，banN,，,2(log1)()(11)当b=2时，记 nn2 b，1bb，，11，n12证明:对任意的 ，不等式成立 nN,???????1,，nbbb12n x，解:因为对任意的,点(,)nS，均在函数ybrb,，,(0且均为常数的图bbr,1,,nN,n nSbr,，n,1n,2aSbr,,，像上.所以得,当时,,当11n nnnnn,,,111aSSbrbrbbbb,,,，,，,,,,()(1)时,,又因为{a}为等比数列,所nnnn,1 n,1r,,1babb,,(1)以,公比为, n nn,,11n,1abb,,,(1)2ban,，,，,2(log1)2(log21)2(2)当b=2时，, nnn22b，1b，1bb，，1121n，35721n，nn12则,所以 ,???????,,,bn2bbbn2462n12n b，1bb，，1135721n，n12下面用数学归纳法证明不等式成立. ???????1,,,,，nbbbn246212n 33n,1,2? 当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立. 222 31 b，1bb，，1135721k，k12? 假设当nk,时不等式成立,即成立.???????1,,,,，kbbbk246212k bb，，11bb，，113572123kk，，kk，112则当nk,，1时,左边= ???????,,,,,,bbbbkk246222，121kk， 2223(23)4(1)4(1)11kkkk，，，，，， ,，,,,,，，，,，，kkk1(1)1(1)1224(1)4(1)4(1)kkkk，，，， nk,，1所以当时,不等式也成立. 由?、?可得不等式恒成立. 【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知求的基本题型,并Sann运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式. 22Cxnxyn:20(1,2,),，,,27.(2009广东卷理)知曲线(从点向曲线CP(1,0),nn kk(0),lPxy(,)引斜率为的切线，切点为( nnnnnn {}{}xy与(1)求数列的通项公式; nn 1,xxnnxxxx,,,,,,2sin(2)证明:. 13521,n1，xynn 22ly,k(x，1)解:(1)设直线:，联立x,2nx，y,0得nn 22222222(1，k)x，(2k,2n)x，k,0,,(2k,2n),4(1，k)k,0，则，?nnnnnn nnk,,(舍去) n2n，12n，1 22kn2n，1nn2nx,x,,y,k(x，1),，即，? nnnnn22n，1n，11，k(n，1)n n1,1,x1n，1n,,(2)证明:? n1，x2n，1n1，n，1 132n,1132n,11x,x,x,,,,,x,，，,,,，,，，,,,，, 1352n,1242n352n，12n，1 32 1,xn?x,x,x,,,,,x, 1352n,11，xn x1,x1'nnf(x),1,2cosx由于,,，可令函数f(x),x,2sinx，则，y2n，11，xnn 2,,''(0,)(0,)令，得，给定区间，则有，则函数在上cosx,f(x),0f(x),0f(x)442 ,(0,)单调递减，?，即在恒成立，又f(x),f(0),0x,2sinx4 11,0， ,,,2134n， 1,xx11nn,2sin则有,2sin，即. 1，xy2n，12n，1nn 12aaanN,，,28.(2009安徽卷理)首项为正数的数列满足(3),. ,,nnn，，14(I)证明:若为奇数，则对一切都是奇数; ana,2,1n (II)若对一切nN,都有aa,，求a的取值范围. ，nn，11 解:本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运 算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题满分13 分。 am,,21a解:(I)已知是奇数，假设是奇数，其中为正整数， m1k 2a，3k则由递推关系得是奇数。 amm,,,，(1)1，k14 nN,a根据数学归纳法，对任何，都是奇数。 ，n 1aaaa,,,,a,1aa,a,3(II)(方法一)由(1)(3)知，当且仅当或。 nnnn，1nn，1nn4 213，33，a01,,,aa,301,,,另一方面，若则;若，则 a,,3.k，1kkk，144 01,01,;33,.,,,,,,,,,,,,aanNaanN根据数学归纳法， 11nn，， a,3nN,aa,01,,a综合所述，对一切都有的充要条件是或。 ，nn，111 33 2a，321(方法二)由得aa,，,430,于是或。 a,301,,aaa,,,1111214 22aaaaaa，，，,33()()nnnnnn,,,111 aa,,,,,nn，1444 2a，3n因为所以所有的均大于0，因此与同号。 aaa,aa,aa,,0,,nnn，1nn,1，n114 ，与同号。 根据数学归纳法，aa,,,nNaa,，nn，121 因此，对一切都有的充要条件是或。 a,3nN,aa,01,,a，nn，111 mnpq，,，29.(2009江西卷理)各项均为正数的数列，，且对满足的aaab,,,{}an12 aa，aa，pqmnmnpq,,,正整数都有. ,(1)(1)(1)(1)，，，，aaaamnpq 14(1)当ab,,,时，求通项a; n25 1,,a,.,(2)证明:对任意，存在与有关的常数，使得对于每个正整数，都有 aann, aa，aa，pqmn解:(1)由,得 (1)(1)(1)(1)，，，，aaaamnpq 14aaaa，，121nn,将aa,,,代入化简得 .,1225(1)(1)(1)(1)，，，，aaaa121nn, 21a，n,1 a,.na，2n,1 11,,aa1nn,1所以 ,,,131，，aann,1 1,an故数列为等比数列，从而 {}1，an n1,a,311n即 a,.,,nnn，3113，an n,31可验证，满足题设条件. a,nn，31 34 aa，mn(2) 由题设的值仅与有关,记为则b,mn，mn，(1)(1)，，aamn aaaa，，1nn .b,,，n1(1)(1)(1)(1)，，，，aaaa1nn ax，考察函数 ,则在定义域上有 fxx()(0),,(1)(1)，，ax 1,,1a,,1，a,1, fxgaa()(),1,,,,2, a,,01,,a,1，a, *bga,()故对， 恒成立. nN,n，1 2an又 , bga,,()2n2(1)，an 10(),,ga注意到,解上式得 2 1()12()1()12(),,,,，,gagagagaga(),,,a, ngaga()()1()12(),，,gaga 1()12(),，,gaga1,,,a,.取,,即有 . nga(), 1n,1a30. (2009湖北卷理)已知数列Sa,,,，的前n项和(n为正整数)。 ()2,,nnn2 nbaba,2(?)令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式; ,,,,nnnn n，15nTccc,，，，........Tca,(?)令，试比较与的大小，并予以证明。 nnnn12n21n，n 11n,1Sa,,,，Saa,,,，,12a,解(I)在()2中，令n=1，可得，即 1nn11n22 11nn,,21SaaSSaa,,,，？,,,,，，，n,2当时，()2()， nnnnnnn,,,,111122 1nn,,11n？,，,，aaa即22a(),21. n11nnn,,2 nbabbb,？,，,,,2,1,n21即当时，b . ,,11nnnnnn bba,,？21, 又数列是首项和公差均为1的等差数列. ,,n11 35 nn 于是1(1)12,. bnnaa,，,,,,？,nnnn2 n，11n(II)由(I)得，所以 can,,，(1)()nnn2 111123nTn,，，，，，，，，K 23()4()(1)()n2222 111112341n，Tn,，，，，，，，，K 2()3()4()(1)()n22222 11111231nn，Tn,，，，，,，K由?-?得 1()()()(1)()n22222 11n,1,[1()]n，133n，142n,，,，,,1(1)()n，11222,1 2 n，3T？,,3nn2 n535(3)(221)nnnnn，，,, T,,,,,3nnn212212(21)nnn，，， 5nn于是确定T与的大小关系等价于比较的大小 221与n，n21n， 2345由2211;2221;2231;2241;225;,，，,，，,，，,，，,，K n可猜想当证明如下: nn,,，3221.时， 证法1:(1)当n=3时，由上验算显示成立。 kk，1nk,，12222(21)422(1)1(21)2(1)1,,，,，,，，，,,，，gkkkkk(2)假设时 nk,，1所以当时猜想也成立 nn,3综合(1)(2)可知 ，对一切的正整数，都有 221.,，n n,3证法2:当时 nnnnnn0121011,,2(11)2221,，,，，，，，,，，，,，,，CCCCCCCCCnnK nnnnnnnnn 5n5nn,3T,T,综上所述，当，当时 n,1,2时nn21n，21n， aaS,，51S31.(2009四川卷文)设数列的前项和为，对任意的正整数，都有nn,,nnnn 4，a*n成立，记。 bnN,,()n1,an ba(I)求数列与数列的通项公式; ,,,,nn 36 b(II)设数列的前项和为，是否存在正整数k，使得成立,若存在，找RRk,4n,,nnn 出一个正整数k;若不存在，请说明理由; *ccbbnN,,,()(III)记，设数列的前项和为，求证:对任意正整数都Tnn,,nnnn,n221 3T,有; n2 1解(I)当n,1时， aSa,，？,,51,1114又aSaS,，,，51,51 nnnn，，11 a1n，1 ？,,,,aaa5,即nnn，，11a4n 11aq,,?数列是首项为a,,，公比为的等比数列， ,,n144 1n4()，,1n*4a,,()?， „„„„„„„„„„„„„3分 bnN,,()nn14n1(),,4 kRk,4(II)不存在正整数，使得成立。 n 1n4()，,54证明:由(I)知 b,,，4nn1(4)1,,n1(),,4 k55520151640，,bb ，,，，,，,,,,8888.212,kk212,kkkkkk(4)1(4)1161164(161)(164),,,,,，,， ,nmmN,,2()?当n为偶数时，设 Rbbbbbbmn,，，，，，，,,()()()84? nmm1234212, ,nmmN,,,21()当n为奇数时，设 Rbbbbbbbmmn,，，，，，，，,,，,,,()()()8(1)4844? nmmm1234232221,,, Rk,4?对于一切的正整数n，都有 n kRk,4?不存在正整数，使得成立。 „„„„„„„„„„„„„8分 n 5(III)由b,，得 4nn,,(4)1 37 nnn5，，，cbb,，,，,,,,212,nnn22122,nnnnnnnn4141(161)(164)(16)3164(16)16,，,，，，, 134又， bbc,,？,3,,12233 3T,当n,1时，， 12 n,2时， 当 11n,2[1()],2411141616T,，，，，，,，，25()25n23n1316161631,16 1 2469316,，，,,25134821,16 *32.(2009湖南卷文)对于数列,若存在常数M,0,对任意的，恒有 {}unN,n uuuuuuM,，,，，,,B,, 则称数列{}u为数列. nnnn，,1121n 1,(?)首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列,请说明理由; 2 (?)设S是数列{}x的前n项和.给出下列两组判断: nn A组:?数列{}x是B-数列, ?数列{}x不是B-数列; nn {}S{}SB组:?数列是B-数列, ?数列不是B-数列. nn请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题. 判断所给命题的真假，并证明你的结论; 2{}a{}a(?)若数列是B-数列，证明:数列也是B-数列。 nn 1n,1a,,(){}a解: (?)设满足题设的等比数列为,则.于是 nn2 1131nnn,,,122aan,,,,,,，, ()()(),2.nn,12222 ||||||aaaaaa,，,，，, nnnn，,1121 31111，，，，2n-1n()()== ，，，，，1313.，,,(),,,,22222，，，， 38 1,所以首项为1，公比为的等比数列是B-数列 . 2 )命题1:若数列是B-数列，则数列是B-数列.此命题为假命题. (?{}x{}Snn *事实上设=1，，易知数列是B-数列，但=n， x{}xSnN,nnn . ||||||SSSSSSn,，,，，,,nnnn，,1121 由n的任意性知，数列不是B-数列。 {}Sn 命题2:若数列是B-数列，则数列不是B-数列。此命题为真命题。 {}S{}xnn *事实上，因为数列是B-数列，所以存在正数M，对任意的，有 {}SnN,n , ||||||SSSSSSM,，,，，,,nnnn，,1121 xxxxxx,，,，，, 即||||||xxxM，，，,.于是 nnnn，,1121nn，12 ,，，，，，,，xxxxxMx2222, nnn，,11211 所以数列是B-数列。 {}xn (注:按题中要求组成其它命题解答时，仿上述解法) ,a (?)若数列是B-数列，则存在正数M，对任意的有 nN,,,,n aaaaaaM,，,，，,, . nnnn，,1121 aaaaaaaa,,，，，，,，因为 nnnnn,,,112211 ,,，,，，,，,，aaaaaaaMa . nnnn,,,1122111 22KMa,，aaaaaa,,，,()()记，则有 1nnnnnn，，，111 ,，,,,()2aaaaKaa . nnnnnn，，，111 222222aaaaaaKM,，,，，,,...2因此. nnnn，,1121 2故数列a是B-数列. ,,n 11*x}33. (2009陕西卷理) 已知数列满足， . xxnN,,,,,nn，11，x21’n ,{}x猜想数列的单调性，并证明你的结论; ，，n 39 12n,1(?)证明:xx-|?。|()nn，165 112513证明(1)由 xxxxx,,,，,,及得，1n+1244213821，xn x由猜想:数列是递减数列 xxx,,,,2n246 下面用数学归纳法证明: (1)当n=1时，已证命题成立 (2)假设当n=k时命题成立，即xx, 222kk， xx,112321kk，，易知，那么 x,0xx,,,,2k2224kk，，11(1)(1)，，，，xxxx21232123kkkk，，，， xx,222kk，= 0,(1)(1)(1)(1)，，，，xxxx2212223kkkk，，， xx,即 2(1)2(1)2kk，，， 也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合(1)和(2)知，命题成立 1xxxx,,,,(2)当n=1时，，结论成立 nn，1216 11n,2当时，易知 ,,？，,,,xxx01,12,nnn,,11，x12n,1 15 ？，，,，，,，,xxxx(1)(1)(1)(1)2nnnn,,,111，x12n,1 xx,11nn,1？,,,,xx nn，111(1)(1)，，，，xxxxnnnn,,11 2222n-1,,,,,,,xxxxxx()()nnnn,,,11221555 12n-1,()65 aaS,，51S34.(2009四川卷文)设数列的前项和为，对任意的正整数，都有nn,,nnnn 4，a*n成立，记 bnN,,()n1,an ba(I)求数列与数列的通项公式; ,,,,nn bkRRk,4(II)设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立,若存在，找n,,nnn 40 出一个正整数k;若不存在，请说明理由; *c(III)记cbbnN,,,()，设数列的前项和为，求证:对任意正整数都Tnn,,nnnn,n221 3T,有; n2 1解(I)当n,1时， aSa,，？,,51,1114又aSaS,，,，51,51 nnnn，，11 a1n，1 ？,,,,aaa5,即nnn，，11a4n 11aq,,?数列是首项为a,,，公比为的等比数列， ,,n144 1n4()，,1n*4a,,()?， „„„„„„„„„„„„„3分 bnN,,()nn14n1(),,4 kRk,4(II)不存在正整数，使得成立。 n 1n4()，,54证明:由(I)知 b,,，4nn1(4)1,,n1(),,4 k55520151640，,bb ，,，，,，,,,,8888.212,kk212,kkkkkk(4)1(4)1161164(161)(164),,,,,，,， ,nmmN,,2()?当n为偶数时，设 Rbbbbbbmn,，，，，，，,,()()()84? nmm1234212, ,nmmN,,,21()当n为奇数时，设 Rbbbbbbbmmn,，，，，，，，,,，,,,()()()8(1)4844? nmmm1234232221,,, Rk,4?对于一切的正整数n，都有 n kRk,4?不存在正整数，使得成立。 „„„„„„„„„„„„„8分 n 5(III)由b,，得 4nn,,(4)1 41 nnn5，，，cbb,，,，,,,,212,nnn22122,nnnnnnnn4141(161)(164)(16)3164(16)16,，,，，，, 134又， bbc,,？,3,,12233 3T,当n,1时，， 12 n,2时， 当 11n,2[1()],2411141616T,，，，，，,，，25()25n23n1316161631,16 1 2469316,，，,,25134821,16 „„„„„„„„„„„„„14分 a35.(2009天津卷理)已知等差数列{}的公差为d(d0)，等比数列{b}的公比为q(q>1)。,nn n,1，abababab设s=ab+„..+ ,T=ab-+„..+(-1) ,n ,Nnnnnn1122n1122 b(I) 若a== 1，d=2，q=3，求 S 的值; 113 2n2(1)dqq,，bS(II) 若T=1，证明(1-q)-(1+q)=，n; ,N12n2n21,q ,,kkklll,,...,,,...,12...和是，，，n(?) 若正数n满足2nq，设的两个不同的排列， 1212nn cc,12cababab,，，，...cababab,，，，...， 证明。 112kkkn212llln12n12n本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考 查运算能力，推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力，满分14分。 n,1*anbnN,,,,21,3,(?)解:由题设，可得 nn Sababab,，，,，，，，，,11335955所以， 3112233 n,1bq,(?)证明:由题设可得则 n 221n,Saaqaqaq,，，，，....., ? 21232nn 42 2321n,Taaqaqaqaq,,，,，,.....,212342nn ? 321n,STaqaqaq,,，，,2(...)22242nnn ? 式减去?式，得 ? 式加上?式，得 222n, STaaqaq，,，，，2(....) ? 221321nnn,? 式两边同乘q，得 321n,qSTaqaqaq()2(....)，,，，， 221321nnn,所以， (1)(1)()(),,，,,,，qSqTSTqST 222222nnnnnn 321n,,，，，2()dqqqK 2n 2(1)dqq,*,,,nN21,q ccaabaabaab,,,，,，，,()()()K(?)证明: 1212klklkln1122nn n,1,,，,，，,()()()kldbkldbqkldbqK 1112211nn db,,0,0,因为所以 1 cc,n,112 ()()(),,，,，，,klklqklqK1122nndb1 kl,(1) 若，取i=n nn klijn,，,,,1kl,kl,(2) 若，取i满足且 jjnnii 1,,in由(1),(2)及题设知，且 cc,ii,,2112 ()()()(),,，,，,，,klklqklqklqK112211iiii,,db1 kl,klqnklqii,,,,,,,,,1,1,1,2,3.....1由，得? 当时，得 iiiiii ii,,22()(1)klqqq,,,klq,,,1()(1)klqqq,,,即，„， 1122ii,,11 ii,,11(),klqq,,,又所以 ii 43 i,1cc,1,qii,,2112 ,,，,，,,,,(1)(1)(1)(1)qqqqqqqKdbq1,1 因此 cccc,,,0,即1212 cc,12? 当同理可得，因此 kl,cc,,,1ii12db1 综上， cc,12 a36.(2009四川卷理)设数列的前项和为，对任意的正整数，都有aS,，51Snn,,nnnn 4，a*n成立，记。 bnN,,()n1,an b(I)求数列的通项公式; ,,n *ccbbnN,,,()(II)记，设数列的前项和为，求证:对任意正整数都Tnn,,nnnn,n221 3T,有; n2 b,RnRn,,,(III)设数列的前项和为。已知正实数满足:对任意正整数恒成n,,nnn ,立，求的最小值。 本小题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想，以及推理论证、 分析与解决问题的能力。 1n,1解:(?)当时，aaa,，？,,51, 1114 Qaaaa,，,，51,51又 nnnn，，11 1？,,,,aaaaa即5, nnnnn，，，1114 11aa,,q,,数列成等比数列，其首项，公比是 ？,,n144 1n？,,a() n4 1n，,4()4？,b„„„„„„„„„„„„„„..3分 n1n,,1()4 5(?)由(?)知b,， 4nn,,(4)1 44 n552516， cbb？,,,，,221,nnn221,nnnn4141(161)(164),，,， nn2516251625，， = ,,22nnnn(16)3164)(16)16，，, 134 又 bbc,,？,3,,12133 3当 nT,,1时，12 4111nT,,，，，，，时，K当 225()n23n3161616 11n,1[1()],241616,，，25131,16 1 2469316,，，,,25......................7分134821,16 5(?)由(?)知 b,，4nn,,(4)1 *Rn,,一方面，已知恒成立，取n为大于1的奇数时，设nkkN,，,21() n 则Rbbb,，，，K nk1221， 1111,，，,，,，,nKK 45() 12321k，，,，，41414141 11111,，，,，,，，,nKK 45[()()] 123221kk，，,，,，4141414141 41n, > ？,,,,,,,,nRnn41,41即()对一切大于1的奇数n恒成立 n 1,n只对满足的正奇数n成立，矛盾。 ？,,,,,,4,41否则，()n,,4 ,,4Rn,4另一方面，当时，对一切的正整数n都有 n事实上，对任意的正整数k，有 55bb，,，，8212nn,212kk, ,,,,(4)1(4)1 45 520 ,，,8kk,，(16)1(16)4 k151640，, ,,,88kk(161)(164),， *当n为偶数时，设 nmmN,,2()？ 则 Rbbbbbb,，，，，，，()()()Knmm1234212, 84mn, < *当n为奇数时，设 nmmN,,,21() 则Rbbbbbbb,，，，，，，，()()()K nmmm1234232221,,, < 8(1)4844mmn,，,,, Rn,4对一切的正整数n，都有 ？n ,综上所述，正实数的最小值为4„„„„„„„„„„.14分 bad37.(2009年上海卷理)已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列。 q,,,,nn *(1) 若an,，31，是否存在，有aaa，,?说明理由; mkN、,nmmk，1 a*n，1ab(2) 找出所有数列和，使对一切,,并说明理由; ,nN,b,,,,nnnan aadbq,,,,5,4,3,(3) 若试确定所有的p，使数列中存在某个连续p项的,,n11 b和是数列中的一项，请证明。 ,,n 6531mk，,，[解法一](1)由aaa，,，得， ((((((2分 mmk，1 4,km,,2kkm,2整理后，可得，、，为整数， ,？mN3 ,k不存在、，使等式成立。 ((((((5分 ？,mN aand，n,1n，11(2)若，即， (*) ,b,bqn1(1)aand，,1 n,11,,bqb(?)若则。 d,0,1n ab当{}为非零常数列，{}为恒等于1的常数列，满足要求。 ((((((7分 nn 46 and，1(?)若d,0，(*)式等号左边取极限得，(*)式等号右边的极限只lim1,n,,(1)and，,1有当时，才能等于1。此时等号左边是常数，？,d0，矛盾。 q,1 综上所述，只有当{}为非零常数列，{}为恒等于1的常数列，满足要求。((((((10分 abnn an，1【解法二】设 ,，,,,若且为等比数列andcbb,,nnnan aa*2nn，，21则 /,,,,对都成立，即qnNaaqannn，，21aann，1 2*22 ？，，，,，，()(2)()dncdndcqdndc对都成立，分nNaqd,？,....7 *acbnN,,？,,0,1,(i) 若d=0，则 nn dndc，，？,bm,m(ii) 若(常数)即，则d=0，矛盾 d,0,则q=1,ndnc， a*n，1综上所述，有， 10分 a,c,0,b,1,使对一切n,N,,bnnnan na,4n，1,b,3,n,N*(3) nn k*a，a，？？，a,b,3,p、k,N,m,N设. ，，，m1m2mpk 4(m，1)，1，4(m，p)，1kp,3， 2 k35？4m，2p，3,,？p、k,N*,？p,3,s,N. 13分 p 2s，2s2s，2s取k,3s，2,4m,3,2，3,3,(4,1),2，(4,1),3,0, 15分 2s+2由二项展开式可得正整数MM，使得(4-1)=4M+1, 1、21 ss2，(4,1),8M，(,1)2, 2 s？4m,4(M,2M),，，(,1)，12,？存在整数m满足要求. 12 s故当且仅当p=3,sN时，命题成立. , 说明:第(3)题若学生从以下角度解题，可分别得部分分(即分步得分) k若p为偶数，则a+a+„„+a为偶数，但3为奇数 m+1m+2m+p 故此等式不成立，所以，p一定为奇数。 47 k当p=1时，则a=b,即4m+5=3， m+1k kk 而3=(4-1) 0k1k,1k,1k,1kkkC,4，C,4,(,1)，？？，C,4,(,1)，C,(,1),4M，(,1),M,Z,= kkkk k当,为偶数时，存在,，使,,，,,3成立 1分 当p=3时，则a+a+a=b,即3a-b, m+1m+2m+3km+2k kk-1k-1 也即3(4m+9)=3,所以4m+9=3,4(m+1)+5=3 k由已证可知，当k-1为偶数即k为奇数时，存在m, 4m+9=3成立 2分 当p=5时，则a+a+„„+a=b,即5a=b m+1m+2m+5km+3k kk也即5(4m+13)=3,而3不是5的倍数，所以，当p=5时，所要求的m不存在 故不是所有奇数都成立. 2分 aaam,,,(7),38.(2009重庆卷理)设个不全相等的正数依次围成一个圆圈( m12m m,2009daaaa,,,,(?)若，且aaa,,,是公差为的等差数列，而是6公比为的等比数列;数列aaa,,,的前项和Snm(),满足:qd,n12mn SSSa,,，15,12，求通项anm(),; 3200920071n (?)若每个数anm(),是其左右相邻两数平方的等比中项，求证:n 22aaaamaaa，，，，，,; 16712mm 2aadaad,,,aaaa,,,,,,,解:(I)因是公比为d的等比数列，从而 由 20081SSaaaa,，，,1212得，故 d,3d,,4d,3 解得或(舍去)。因此 Sad,，,3315。解得a,2 又 311 n,1005从而当时， aandnn,，,,，,,,(1)23(1)31 n1 10062009,,naaaa,,,,,,,当时，由是公比为d的等比数列得 1200920081006 2009(1)2010,,,nnaadadn,,,,(10062009) n11 48 31,1005nn,,,因此 a,,n2009,n23,10062009,,,n, 22222222aaanmaaaaaa,,,,(1),,(II)由题意得 nnnmmm,，,,111112aaanm,,,(1),　　　　　　?,nnn,，11, aaa,　　　　　　　　　?,mm,11 ,aaa,　　　　　　　　　　?12m, aa1121有?得 ? aaaa,,,,,,,3456aaaa3122 2aaaaaa,,,,,,,()由?，?，?得， nn1212 故. ? aaa,,,,112n aa11rr，，21又，故有 ,,,,,,,arm(13)r，3aaaarrrr，，11 1.? aarm,,,,,(16)rr，6ar，3 mk,6下面反证法证明: 若不然，设 mkpp,，,,6,15其中 aa11mk,，61aaa,,若取即，则由?得，而由?得 p,1,,aa,,故mk611，m1aa22 ama,1,得由?得而 ,,,,,从而aaaa2,,1661mkma1 a11,,nma,1?及?可推得()与题设矛盾 aaa,,,,1,故由n612a2 a,11,,nmmk,6同理若P=2，3，4，5均可得()与题设矛盾,因此为6的倍数 n由均值不等式得 11aa21 aaaaaa，，，，,，，，，，,K()()()6123612aaaa1212 aaa,,,1aaa,,,,K1由上面三组数内必有一组不相等(否则，从而与题设12345m aaaa，，，，,K6矛盾)，故等号不成立，从而 1236 49 又mk,6，由?和?得 222222aaaaaa，，,，，，，，，KKKK()()mkk,7712656 22 　　　　　,(k-1)　()aa，，K16 ,,,222　　　　　,(k-1)　，，,(k-1)()aaa，，，,,,1222aaa,,1 因此由?得 22aaaaaakkmmaaaa，，，，，，，,，,,,,KKK66(1)6 mm12367123 2005—2008年高考题 一、选择题 1aa,，，1.(2008江西卷)在数列{}a中，a,2， ，则a,( ) ln(1)nn，1n1nn 2ln，n2ln，nn1ln，，nnA( B( C( D( 2(1)ln，,nn 答案 A 12.(2007福建)数列{}a的前项和为S，若，则S等于( ) a,nnn5nnn，(1) 511A(1 B( C( D( 6630答案 B 23.(2007宁夏)已知成等比数列，且曲线yxx,,，23的顶点是，则()bc，abcd，，， ad等于( ) ,2,(3 ,(2 ,(1 ,( 答案 B OaB,OAaOC，4((2006江西卷)已知等差数列,a,的前n项和为S，若，且A、nn1200B、C三点共线(该直线不过原点O)，则S,( ) 200 A(100 B. 101 C.200 D.201 解析 依题意，a，a,1，故选A 1200 答案 A 5. (2005重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2，且改塔 50 形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是 ( ) A. 4 B.5. C.6 D.7 C 答案 二、填空题 6.(2008江苏)将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ( ( ( ( ( ( ( 按照以上排列的规律，第n 行(n ?3)从左向右的第3 个数为 ( 2nn,，6答案 2 7.(2008湖北)观察下列等式: n112inn,， ,,22,1i n111232innn,，， ,,326,1i n1113432innn,，， ,,424,1i n11114543innnn,，，, ,,52330,1i n115156542innnn,，，, ,,621212,1i n1111167653innnnn,，，,， ,,722642,1i „„„„„„„„„„„„„„ 51 n，,,212kkkkk iananananana,，，，，,,,，，,,，,,11210kkkk,1i 11*aaa,,,可以推测，当?2()时， ,,xkN,kkk，,11k，12 . a,k,2 k答案 0 12 28.(2007重庆)设{}为公比q>1的等比数列，若和是方程的两aaa4x8x，3,0n20042005根，则_____. a，a,20062007 答案 18 9((2006广东卷)在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球 2,3,4,堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球;第堆最底层(第一层)分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数，则;fn()f(3)_____,nnn (答案用表示). fn()_____,n n(n，1)(n，2)f(n),答案 10， f(3),6 三、解答题 a10.(2008全国I)设函数(数列满足01,,a，afa,()( fxxxx()ln,,,,n1nn，1(?)证明:函数在区间是增函数; fx()(01)， aa,,1(?)证明:; nn，1 ab,1(?)设ba,(1)，ab,，整数(证明:( k?1k，1abln1 fxxxfxx'ln,0,1'ln0,,,,,,当时，(?)证明:， fxxxx()ln,,，，，，，， fx故函数在区间(0,1)上是增函数; ，， 01,,aaaln0,(?)证明:(用数学归纳法)(i)当n=1时，，， 111 afaaaaa,,,,()ln 211111 x,1由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增fx()(01)，fx()fx()(01]， 52 函数，，即成立; afaaaa,,,,()ln1aa,,12111112 时，成立，即 (?)假设当01,,,aaa?aa,,1xkkN,,(*)kk，111kk，那么当nk,，1时，由在区间是增函数，得 01,,,aaa?fx()(01]，11kk， .而，则， fafaf()()(1),,afaafa,,(),()afa,()kk，1nn，1kkkk，，，121 ，也就是说当nk,，1时，也成立; aa,,1aa,,1kk，，12nn，1 根据(?)、(?)可得对任意的正整数，恒成立. aa,,1nnn，1 (可 (?)证明:由afa,()fxxxx()ln,,nn，1 k ,,,abaaln a,b,a,b,alna,k，1kkk1ii,1i ik?1， 若存在某满足ab?，则由?知:abab,,,?0 iki，1 ik?2， 若对任意都有，则 a,ba,b,a,b,alnaik，1kkk kkk ,,,abaaln,,,ababln,,,abab()ln ,a,b,kalnb,,,11111iiii,,,111iii ,a,b,kalnb,a,b,(a,b)ab,成立. ,01111k，1，即 11.(2008山东卷)将数列,a,中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表: n a1 aa2 3 aa a4 56 a a aa789 10 „„ 记表中的第一列数aaaa构成的数列为,b,,b=a=1. S为数列,b,的前n项和，1，2，4，7，„n11nn b2n且满足,1=(n?2). 2bSS,nnN 1(?)证明数列,,成等差数列，并求数列,b,的通项公式; nSn (?)上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为 53 4同一个正数.当a,,时，求上表中第k(k?3)行所有项和的和. 8191 x12.(2007湖南)已知()是曲线上的点，，是数列Aab()，n,N*aa,S{}aye,nnn1nn 222SnaS,，3的前项和，且满足，a,0，n,234，，，„( nnnn,n1 ,,bn，2(I)证明:数列(n?2)是常数数列; ,,bn,, M(II)确定的取值集合，使aM,时，数列是单调递增数列; {}aan(III)证明:当aM,时，弦(n,N*)的斜率随单调递增 AAnnn，1 222SSna,,3解:(I)当n?2时，由已知得( nnn,1 2SSn，,3aSS,,,0因为，所以( „„ ? nn,nnn,11 2SSn，,，3(1)于是( „„? nn，1 由?,?得aan，,，63( „„ ? nn，1 于是aan，,，69( „„ ? nn，，21 由?,?得aa,,6， „„ ? nn，2 an，2,,bbe,aa6n，2，2nnn，2(2)n?所以，即数列是常数数列( ,,,ee,,anbben,,n SS，,12aa，,15aa，,21(II)由?有，所以aa,,122(由?有，，所以2123243 aa,，32，aa,,182( 34 而 ?表明:数列{}a和{}a分别是以a，a为首项，6为公差的等差数列， 2k21k，23 aak,，,6(1)aak,，,6(1)aakk,，,,6(1)()N*所以，，， 22k213k，224k， k,N*{}a,,aaaaa,,数列是单调递增数列且对任意的成立( n1222122kkk，， akakak，,,，,,，,6(1)6(1)6(1),,aa且 12234 915,,,,aaaa,,,,，,,,,,aaaaa12232182( 123444 ,,915即所求的取值集合是( Maa,,,a,,44,, 54 aann，1bb,ee,，1nn(III)解法一:弦的斜率为 AAk,,nn，1naaaa,,，，11nnnn xxxxx00exxee()(),,,ee,0任取，设函数，则 x()fx,fx(),02xx,()xx,00 xxxxxxx0,gxexxee()()(),,,,gxexxeeexx()()(),,，,,,记，则， 000 ,当时，，在上为增函数， ()x，，,xx,gx()0,gx()00 ,当时，，在上为减函数， xx,(),,，xgx()0,gx()00 ,时，，从而，所以在和上所以()x，，,xx,gxgx()()0,,(),,，xfx`()0,fx()0000 都是增函数( aM,由(II)知，时，数列{}a单调递增， n aaaann，1nn，2ee,ee,取xa,，因为aaa,,，所以( ,k,0nnnn，，12naa,aa,，1，2nnnn aaaann，，12nn，2ee,ee,xa,aaa,,取，因为，所以( k,,02n，nnn，，12，1naa,aa,，2，，12nnnn所以kk,，即弦AAn(),N*的斜率随单调递增( nnn，1nn，1 axn，1ee,()a，，,解法二:设函数，同解法一得，在(),,，a和上都是fx(),fx()n，1n，1xa,，1n 增函数， aaaaaaxxnnn，，11nnn，，，211eeee,,eeee,,aan，1n，1所以，( limlimke,,,ke,,,，1nn,，??nanaaaxa,,aaxa,,n，1n，1，，11，，，211nnnnnn故kk,，即弦AAn(),N*的斜率随单调递增( nnn，1nn，1 aaa13.(2007浙江)已知数列{}中的相邻两项、是关于x的方程n21k,2k2kkaxkxk,，，,,(32)320a 的两个根，且? (,1，2，3，„)( k 21k,2k aaaa,,,aa(I)求及 (n?4)(不必证明);(?)求数列{}的前2n项和S( 2n13572nn k2kkxkx,,3, 2xkxk,，，,,(32)320(I)解:方程的两个根为( 12 xx,,3,2a,2当k,1时，，所以; 121 55 当k,2时，，所以; xx,,6,4a,4123 ,3时，，所以; 当kxx,,9,8a,8125 当k,4时，，所以; xx,,12,16a,12127 nnan,,2 (4)因为n?4时，，所以 23,n2n 233nn，2nn，1Saaan,，，，,，，，，，，，(363)(222)(?),( ，,222122nn2 214.(2007四川)已知函数f(x)=x,4，设曲线y,f(x)在点(x，f(x))处的切线与nn +轴的交点为(,)(,)，其中为正实数. xxuuN n+1 (?)用x表示x; +1xn x，2n(?)若a=4，记a=lg，证明数列,a,成等比数列，并求数列,x,的通项公式; 1n1nx,2n (?)若x,4，b,x,2，T是数列,b,的前n项和，证明T<3. 1nnnnn解析:本题综合考查数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问 题的能力( (?)由题可得( fxx'()2, 所以曲线(,())xfxyfxfxxx,,,()'()()在点处的切线方程是:( yfx,()nnnnn 2yxxxx,,,,(4)2()即( nnn 2,,,,(4)2()xxxx令，得( y,0nnnn，1 2xxx，,42即( nnn，1 x2nx,0显然，?( ,，xn，1n2xn 22xx(2)，(2)x,x22nnnn(?)由，知，同理( x,,2x，,，，,22,，x，，nn11，1n2x22xx2xnnnn xx，，222nn，1 故( ,()xx,,22nn，1 xx，，22nn，1aa,2{}a从而，即(所以，数列成等比数列( lg2lg,nn，1nxx,,22nn，1 56 x，2nnn,,,1111故( aa,,,22lg2lg3n1x,21 x，2n,1n即( lg2lg3,x,2n n,1x，22n从而 ,3x,2n n,122(31)，所以 x,n,1n231, n,122(31)，(?)由(?)知， x,n,1n231, 4bx,,,,20? n,1nn2,31 n,12b311111,n，1? ,,,,,nnn,,,11112222b3313133,，n n,1当时，显然Tb,,,23( 11 11121n,bbbb,,,,n,1当时， ()()nnn,,121333 ?Tbbb,，，， nn12 11n,1,，，，bbb() 11133 1nb,[1()]13 ,11,3 1n,,,,33()3( 3 T,3 综上，( (*)nN,n 15.(2005湖南)自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上 考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用x表示某鱼群在第n年年初的总量，n?n*N，且x,0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x成正比，死亡量1n 2与x成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c. n (?)求x与x的关系式; n+1n 57 (?)猜测:当且仅当x，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变,1 (不要求证明) *(?)设,2，b,1，为保证对任意?(0,2)，都有,0，?N，则捕捞强度b的 axxn1n 最大允许值是多少,证明你的结论. 解(I)从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为，被捕捞量为b，死亡量为 axxnn 22cx,因此x,x,ax,bx,cx,n,N*.(*)nn，1nnnn 即x,x(a,b，1,cx),n,N*.(**)n，1nn (II)若每年年初鱼群总量保持不变，则恒等于， n?N*，从而由(*)式得 xxn1 ab,xabcxnNabcxx ()0,*,0..,,恒等于,所以,,,即,nn11c 因为x>0，所以a>b. 1 a,bx, 猜测:当且仅当a>b，且时，每年年初鱼群的总量保持不变. 1c (?)若b的值使得x>0，n?N* n 由=(3,b,), n?N*, 知 xxxn+1nn 0<<3,b. 即00. k+1kk 2又因为x=x(2,x)=,(x,1)+1?1<2, k+1kkk 所以x?(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立. k+1 由?、?可知，对于任意的n?N*，都有?(0,2). xn 综上所述，为保证对任意x?(0, 2), 都有x>0， n?N*，则捕捞强度b的最大允许值是1n 1. 58 第二部分 三年联考题汇编 2010年联考题 题组二,5月份更新, 一、填空题 11.(肥城市第二次联考)在等差数列{a}中，若a，a，a，a，a,120，则a,a的值n46810l29113为 A(14 B(15 C(16 D(17 答案 C 11a+a+a+a+a512024,,,,aa解析:， aa(a+d)-(3),,，ad 3 2,,a16 ，所以选C。 83 1a2.(昆明一中三次月考理)各项都是正数的等比数列的公比，且a,a,a成等q1,,,n2312 aa，45差数列，则的值为aa，34 15,15，51,15，15,A( B( C( D(或 22222答案:B a3.(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)已知正项等比数列满足:,,n 14aaa,，2aa,，，若存在两项使得，则的最小值为( ) aaa,4765mnmn1mn 3525A. B. C. D. 不存在 236 答案A 4.(昆明一中二次月考理)在实数数列中，已知，， ，„，，则的最大值为( ) A( B( C( D( 答案:C 59 5.(昆明一中二次月考理)已知数列的通项为，下列表述正确的是( ) A. 最大项为0，最小项为 B. 最大项为0，最小项不存在 C. 最大项不存在，最小项为 D. 最大项为0，最小项为 答案:A 6.(昆明一中二次月考理)三个实数a、b、c成等比数列，若有a + b + c=1成立，则b的取值范围是( ) B. C. A. D. 答案:C S4aS7.(祥云一中月考理)设等比数列的公比，前n项和为，则( ) q,2,,,nna2 151724A( B( C( D(22 答案:C 11ab，8.(祥云一中三次月考理)设若是与的等比中项，则的最小值ab,,0,0.222ab为 1 A . B . 1 C. 4 D. 8 4 答案:C 二、填空题 9b259.(祥云一中月考理)两个正数、的等差中项是，一个等比中项是，且则aa,b,2 22yx,,1双曲线的离心率为 。 22ab 41答案: 5 60 3{}aSSnn5n10.(祥云一中二次月考理)数列的前项和为，若a,，则等于nn(n，1) _________________. 5答案:18 1q,{}aSnnn2的公比，前项和为，则11((池州市七校元旦调研)设等比数列 S4,a4 ( 答案:15 44aqs(1),1,q314saaq,,？,,,,1544131(1),,qaqq4【解析】对于 三、解答题 12((马鞍山学业水平测试)(本题满分12分) ,,,,, 已知各项均为正数的数列a中，a,1,S是数列a的前项和，对任意，nn,Nn1nn 22S,2pa，pa,p(p,R)有 nnn p(1)求常数的值; ,,(2)求数列a的通项公式; n 4Snnb,,2T,,b(3)记，求数列的前项和。 nnnn，3 2,2S,2pa，pa,p(n,N)解:(1)由及，得: a,1nnn1 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分 2,2p，p,p？p,1 22S,2a，a,1 (2)由 ? nnn 22S,2a，a,1 得 ? n，1n，1n，1 222a,2(a,a)，(a,a) 由?—?，得 n，1n，1nn，1n 2(a，a)(a,a),(a，a),0 即: n，1nn，1nn，1n 61 ？(a，a)(2a,2a,1),0n，1nn，1n 各项均为正数， 由于数列,,an 1a,a, ？2a,2a,1 即 „„„„„„„„„„„„„„6分 n，1nn，1n2 11,, 数列是首项为，公差为的等差数列， a？n2 1n，1a,1，(n,1)，,,, 数列的通项公式是 „„„„„7分 a？nn22 n，1n(n，3)a,S, (3)由，得: nn24 4Snnn？b,,2,n,2 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„9分 nn，3 23n？T,1，2，2，2，3，2，？？，n,2 n 23nn，12,T,2，2，2，？？，(n,1)，2，n，2 n n2(1,2)23nn，1n，1n，1 ,T,2，2，2，？？，2,n,2,,n，2,,(n,1),2,2n1,2 n，1T,(n,1),2,2 „„„„„„12分 n 2na,a，nnn,1a,1{}an11n,13. (岳野两校联考) (本题满分13分)已知数列中，， anb,，,*n(2,)nnN,,n(且k为等比数列， {}a,,b,nn(?) 求实数及数列、的通项公式; SS{}annnn(?) 若为的前项和，求; bnc,,n2*cTTb,(1)nnnnnN,n(?) 令数列,,前项和为(求证:对任意，都有,3. 2na,a，n*nn,1nnN,,2,1n,【解析】(?)当时，， aaaann,1nn,1？,，21，,，12(1),,1,1,1nnnn ， 即， 故时 „„„„„1分 62 a1b,，,,1201bb,2nn,11 有， 而 „„„„„„„„2分 nn,1n？,,,b222ann,,,2nn ， 从而 „„„„„„„„4分 2nSnn,,，,，，,,，，，12222(12)n (?) 2nRn,,，,，，,12222n 记 231n，212222Rn,,，,，，,n 则 n2(12),，1nn,,,2231nn，,,，，，，,,Rn22222n12, 相减得: „„„„7分 2nn，,4n，1？,,,Sn(1)2n，1n？,,,Rn(1)22n2 „„„„„9分 nnn,122211cn,,,,,(2)nnnnnnnn211,,,,,,,,,(21)(21)(22)(21)(21)2121 (?) „„„„„„„„11分 121111Tn，,，，,,(2)n,nn121n,2,,,,,2121212121 时， 1,，,213n,21 „„„„„„„„12分 2T,,23121, 而 *？,,nNT,3n „„„„„„„„13分 14.(祥云一中月考理)(本小题满分12分) 22ana,{}a已知数列的首项，，„( ,n,1,2,3,a1n，1n3，a1n 1(?)证明:数列是等比数列; ,{1}an nS(?)求数列的前项和( {}nnan 63 2aa，11111nn解:(?) ， ， ？,a,,，,，1n，a1aaa222，1nnnn 211111 ，又，， a,？？,,,1(1),,113aa2a2nn，11 111 数列是以为首项，为公比的等比数列( „„„„4分 ？,{1}22an 111111(?)由(?)知，即， „„„„„6分 ,，,,,,11nn,1naa2222nn，1 nn( „„„„„„7分 ？,，nn2an 123n，T,，，，设„， ? „„ „„„„8分 n23n2222 112nn,1T,，，则„，，，? „„„„„„„„9分 n23nn，122222 ,由??得 11,(1)n111nnn1122T,，， „，„„„„10分 ，,,,,,,1n2，，，111nnnnn122222222,12 1nnn(1)，,,,123，，，T2(又„，,n( „„„„11分 ？nnn,1222 15.(祥云一中二次月考理)(本小题满分12分) ,,,,d,0,且a,a满足a，a,12,aa,27,b已知等差数列a的公差数列的前n252525nn 1,S,1,b(n,N).S项和为，且 nnn2 ,,,,ba(1)求数列、的通项公式; nn TT,b，b，b，？，b(2)设，求. nn2462nlim,,n解: (1)由a，a,12,aa,27,等差数列a的公差d,0,可求得a,3,a,9.,,2525n25 a,a,52a,a，3d,？d,,2,a,a,d,1,？a,2n,1(n,N).(4分)5212n3 64 1,数列b的前n项和为S,1,b(n,N),,,？nnn2 12？当n,1时，S,b,1,b,？b,.111123 11当n,2时，b,S,S,b,b,nnn,1n,1n22 n,1b1212,,n？,(n,2),即b,，,(8分),,nnb3333.,,n,1 21,,b,，公比q,(2)由(1)知b仍是等比数列，其中首项 22n99？T,b，b，b，？，bn2462n 21,(1)nnb,q)(111992 ,,,,(1).n1,q149,19 111？T,(1,),. nlimlimn449n,,n,, ,,16.(祥云一中二次月考理)(本小题满分12分)、已知是正整数，数列a的前项和nnn 1,,S,,a，(n,3)SnaT.为，数列的前项和为对任何正整数，等式都成立. nnnnnnn.2 ,,(1)求数列a的通项公式; n (2)求T; n A与BA,2T,B,(2n，4)S，3,(3)设比较的大小. nnnnnn 11S,,a，(n,3)得S,a,,a，(1,3),n,1解(1)当时，由 nn111221a,,. 解得 12 11，，,,,,,，,,,，,n2时,aSSa(n3)a(n4)当， nnn,1nn,1,,22，， 11111a,a，,a,,(a,).解得 即 nn,1nn,124222 11,,,a因此，数列是首项为 -1，公比为的等比数列。 ,,n22,, 65 n,11111,,，，1a,,,,，即a,,; ,,nnn,12222,, 11,,a,,.数列的通项公式为 a？nnn,122 1n？na,,n,(2) ， nn,122 1111？T,(1，2，3，？，n),(1，2,，3,，？，n,). n2n,12222 111123U,，,，,，？，n, 令 ， n2n,1222 111111U,，2,，3,，？，(n,1),，n,. 则 n23n,1n222222 n1,,1,,,1111112,, 上两式相减: U,1，，，？，,n,,,n,n2n,1nn12222221,2 n，24. 即U,, nn,12 2(1)2162nn，n，n，n,n，4. ？T,,，,，nn,1n,14422 311341,,,nnn,,，,,，，,， (3)， ？Sannn,1n,1222222 2，,16，2(2，4)(,4)，2nnnnnn ？,,，,,,3ABnnn,2n,22222 256,n，n, . ,2 256,n，n,23,的值最大，最大值为0， ？当n,或n,时2 ？A,B,0. nn A,B.因此，当是正整数时， nnn 题组一,1月份更新, 一、选择题 66 1aa,1.(2009临沂一模)在等差数列,a,中，若a+a+a+a+a=80，则的值为 n246810782A、4 B、6 C、8 D、10 答案C a2.(2009杭州学军中学第七次月考)已知等差数列通项公式为，在an,,21,,nn 在，„，在，„，aa与之间插入1个2,aa与之间插入2个2aa与之间插入n个21223nn，1 b构成一个新的数列，若，则k= ( ) ab,,,n10k A、45 B、50 C、55 D、60 答案 C dd,0a3.(2009青岛一模)已知等差数列的公差为，且，aaaa，，，,32,,，，n361013若a,8，则为 mm 12486A( B. C( D. 答案B 1a4.(2009嘉兴一中一模)各项都是正数的等比数列{a}中，，，成等差数列，aa3n212a，a45则的值为( ) a，a34 5,15，11,55,15，1 (A) (B) (C) (D)或 22222答案B S105.(2009汕头一模)记等比数列,a,的前n项和为S，若S,2，S,18，则等于() nn36S5 A. - 3 B?5 C一31 D. 33 答案 D aSnN,,,53(){}aS6.(2009宣威六中第一次月考)设数列的前项和满足，那么nnnnn， ( C ) lim()aaa，，，,1321n,n,, 1143,A( B( C( D( 5554 答案 C 67 aS559nS{}a7.2009= (日照一模)设是等差数列的前项和，若，则等于nnSa953 1 A1 B-1 C2 D (((2答案A 8.(2009玉溪市民族中学第四次月考)数列 的等差中项是 ( ) {a}满足:a,2a,0(n,2),a,1,则a与annn,1124 A(,5 B(5 C(,10 D(10 答案 B 二、填空题 2n，12,,,,1.(2009冠龙高级中学3月月考)若数列中，，则数列中aaa,,n,N*nnnn，2的项的最小值为_________。 答案 4 aaaaa，,，,1,4,2.(2009韶关一模)在由正数组成的等比数列中, ,,n1234则aa，,___. 56 答案 16 12,,a,，a,3.(2009闵行三中模拟)已知a是等比数列，，则25n4 aa，aa，？，aa= 。 1223nn，1 32,n答案 () 1,43 naS,,21S4. (2009上海九校联考)已知数列的前项和为，若，则n,,nnna, . 8 答案 128 i5.(2009金华一中2月月考)将正奇数排列如下表其中第 1 **a行第个数表示，例如 j(i,N,j,N)5 ij3 11 7 9 17 19 13 15 „„ 68 ，若，则 ( a,9a,2009i，j,32ij 答案 60 三、解答题 1.(2009上海卢湾区4月模考)已知数列的前项和为，且对任意正整数，都满{}aAnnnn足:，其中为实数. taA,,1t,1nn (1)求数列的通项公式; (2)若为杨辉三角第行中所有数的和，即{}abnnn 01nbbCCC,，，，，为杨辉三角前行中所有数的和，亦即为数列的前项和，Bnn,,nnnnnn Anlim求的值. n,,Bn tataa,,解:(1) 由已知taA,,1，taA,,1，相减得，由t,,10得nnn，，11nn，，11nnatt11n，1,，又taa,,1，得，故数列{}a是一个以为首项，以q,a,a,1111n1,att,1t,1t,1n 为公比的等比数列. (4分) nn,111tt,,,,* 从而 ; (6分) a,,,n,Nn,,,,tttt,,,111,,,, nt,,(2)11， (7分) Ata,,,,nn,,1t,,, 01nnnbCCC,，，，,2又，故， (11分) B,,221，，nnnnn nt,,,1,,At,1,,nlimlim,于是， n，1nn,,,,B22,n A1tn,limt,2当，即时，， ,2n,,B2t,1n Atnlim0,t,2当，即时，， ,2,,nBt,1n Atnlim12,,t当，即时，不存在. (14分) ,2n,,Bt,1n 69 2.(2009临沂一模)已知单调递增的等比数列,a,满足:a+a+a=28,且a+2是a,an234324 的等差中项。 (I) 求数列,a,的通项公式; n n，1(II) 若b=,s=b+b+?+b,求s+n•>50成立的正整数 n的最aalog2nn12nnnn1 2 小值。 解:(I)设等比数列{a}的首项为a，公比为q， n1 依题意，有2(a+2)=a+a, 324 代入a+a+a=28, 得a=8, 2343 ?a+a=20????????2分 24 1,3,aqaq，,20q,2q,,,,11?解之得或????????4分 2,,,2a,aaq,,8,1,,,31a,32,1又{a}单调递增，?q=2,a=2, 1n n ?a=2????????6分 n nnn(II), ????????7分 bn,,,,,2log221n2 23n,,，，，，，，，，sn122232...2? ? n 2341nn，,,，，，，，，，,，，2122232...(1)22snn? ? n n2(12),2311，，nn，，11nnn??-?得,?snn222,,,n,，，，，,,,,,222...222n12, 10分 n，1nn，，11sn，,,250,2250,252,,？,?即 n n，15又当n?4时,, ????????11分 223252,,, n，16当n?5时,. 226452,,, n，1sn，,,250,故使成立的正整数n的最小值为5 . ????????12分 n {a},{b}3.(2009杭州高中第六次月考)已知数列中，nn 70 n*ab1,abn,ba(1),nN,,,，,，,, ，，11n1nn1n a,a (1)求的值; 35 2ann,， (2)求证: 2n 1111 (3)求 的值( ，，，...aaaa2462n a2a5,,35(1) ------------------------4分 nabn,ba(1),,，,，,，，n1nn1n2)由可得 ( naan(1),,，,，,n1n1 ------------------------6分 所以 aa4aa,,,,,6aa8.,,,...aa2n42648,62n2n2------------------------8分 (n1)(2n4),，aa2468...2n,,，，，，，,2n22 将上述式子相加得 2ann,，2n (或者用数学归纳法证明)------------------------10分 1111111，，，,，，，.............................12分 (3) aaaa1223n(n1)，，，，2462n 111111n ,,，,，，,,,,1...1..........................14分223nn1n1n1，，， n,aSkkn,,，,,23(R,N)4.(2009青岛一模)已知等比数列的前项和为 n,,nn a(?)求数列的通项公式; ,,n abnnbbak,，4(5)T316,T(?)设数列满足，为数列 的前项和，试比较 与 n,,,,nnnnn 4(1)nb，的大小，并证明你的结论( n，1 n,Skkn,,，,,23(R,N)n,2解:(?)由得:时， n n,1aSS,,,，43„„„„„„„„„2分 nnn,1 n,,1aan,，,43(N)？,,，,aSk64？,,k2是等比数列，，得 „„4分 ,,n11n n,1abn,1nnak,，4(5)a,，43b,(?)由和得„„„„„„„„6分 nnnn,143, 71 1221nn,,？,，，，，,，，，，Tbbbbb(1)nnn1231,221nn,,43434343,,,, 12321nn,,3(2)T,，，，，，n232nn,,443434343,,,, 111111n, ？,,，，，，，,(2)(1):2Tn2321nnn,,,44343434343,,,,, 111111321nn,，„„10分 ？,，，，，，,,,Tn23211nnnn,,,,3,,,,,, nnnnnn(1)21(1)3(21)，，，,， 4(1)(316)nbT，,,,,,nn，1nnn,1333 2„„„„„„„„„11分 nnnnn(1)3(21)53，,，,,, 537，537,,当或时有，所以当n,5时有(N)n,？n,nnn(1)3(21)，,，n,,022 3164(1),,，Tnb nn，1 537537,，那么同理可得:当时有，所以当nnn(1)3(21)，,，,,n22 ,15,,n3164(1),,，Tnb(N)n,时有„„„„„„„„„13分 nn，1 ,,n,53164(1),,，Tnb15,,n综上:当(N)n,时有;当(N)n,时有nn，1 3164(1),,，Tnb„„„„„„„„„14分 nn，1 ,{}aSnnnnN,5.(2009日照一模)已知数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意的， 233.Sa,,nn满足关系式 {}an(I)求数列的通项公式; 1b,n{}bTaa,，loglog1nnn33nn(?)设数列的通项公式是，前项和为，求证:对于任意 T,1nn的正整数，总有 233,Sa,,,nn,233(2).San,,,nn,,11,解:(I)由已知得 2()233SSaaa,,,,nnnnn,,11 故 72 aan,,3(2)nn,1 即 {}aq,3n 故数列为等比数列，且 233,3aaa,,？,n,1111 又当时， n？,,an3(2)n „„„„„„„„„„„„6分 a,31 而亦适合上式 n,？,,anN3()n „„„„„„„„„„„„„8分 111b,,,nnnnn，，(1)1 (?) Tbbb,，，，…nn12 所以 11111,,，,，，,(1)()()…2231nn， 1,,,11n，1 „„„„„„„„„„„„12分 6.(2009昆明市期末)数列{a}的前n项和为S，且a=a，S=2S+n+1，n?N* nn1n+1n (?)求数列{a}的通项公式; n n (?)当a=1时，若设数列{b}的前n项和T，n?N*，证明T,2。 b,,nnnna,an，1n (?)由S=2S+n+1 ?得 n+1n S,2S，(n,1)，1(n,2). ? nn,1 ?—?得 S,S,2(S,S)，n,(n,1). n，1nnn,1 故 a=2a +1。(n?2)??????????????????????????????????(2分) n+1n 又 a+1=2(a+1)， n+1n a，1n，1 所以 ,2(n,2).a，1n 故数列{a+1}是从第2项其，以a+1为首项，公比为2的等比数列。 n2 又 S=2S+1+1，a=a，所以a=a+2。 2112 73 n-2 故 a=(a+3)?2-1(n?2). n n-2 又a=a不满足a=(a+3)?2-1, 1n a,n,1a, 所以 ????????????????????????????????????6分 ,nn,2n,2(a3)21，,,, n (?)由a=1，得a==2-1，n?N*，则 1n nnn .b,,,nn，1nn，1nn(21)(21)222,,,, 1111T,b，b，,,,,，b,即T,，2，，3，，,,,，n， 又 ? n12nn23n2222 1111123T,，，，，，,,,，n， 得 ? n234n，122222 ?—?得 11111T,，，,,,，,. n2nn，122222 11(1),221nn 故 ,,Tnn，1122.1,2 12nn，22,2. 所以 ????????????????????????????????12分 T,,,,,nn,1nn222 SAn，1n7.(2009东莞一模)设等差数列前项和ST,满足，且{},{}abn,nnnn27Tn，n aa2137cgcnNnc,,,,()(,1),1.，S=6;函数，且 ，,2gxx()1,,，，nn,112bbbb，，54628 (1)求A; {a}及{c}(2)求数列的通项公式; nn a(n为奇数),nd,,试求d，d，？，d. (3)若 ,n12nc(n为偶数)n, a，a199，aaaSa222375952: 而 ，,知,,,,解:(1)由b，b55b，bb，bb5Tb1946285959，2 74 9A，12？, 解得A=1„„„„„„„„„„„„„„2分 2，9，75 2(2)令 ？S,6,得k,1,即S,n，n S,kn(n，1)nn2 22,(n,1)，(n,1),2n当n=1时，a=S=2,当n?2时，a=S,S=n+n 11nnn-1，，综合之:a=2n„„„„„„„„„„„„„„„„6分 n 11由题意c,(c,1)变形得:c，1,(c，1) nn,1nn,122 1?数列{c+1}是为公比，以为首项的等比数列。 c，1,2n12 11n,1n,2c，1,2,()即c,(),1„„„„„„„„„9分 nn22 (3)当n,2k，1时,d，d，？，d,(a，a，？a)，(c，c，？，c) 12n132k，1242k 414122kk,，，,,,，，，,kkkk 2(1)[1()]232[1()]3434 2，，241nnn,1„„„„„„„„„11分 ,，[1,()]232 n,2k时,d，d，？，d,(a，a，？a)，(c，c，？，c)当 12n132k,1242k 24141n,n2kn„„„13分 2[1()][1()],k,k，,,，,34232 2,，，nn241n1,，,[1()](n为正奇数),,232，，,综合之:ddd ？,n122,nn41n,，,[1()](n为正偶数),232, „„„14分 1a,(,2)naa,8.(2009泰安一模)已知数列,a,中，，点在直线y=x上，其中1aaa，12 n=1,2,3…. baa,,(I) 令，求证数列,b,是等比数列; nnn，,11n {}a(II) 球数列的通项 a 13313aaanaaa,,,,,,,,,,,分解:(I),2,,11,......1 11221aa，24424 75 baabaa,,,,,,1,1........................................2分aaaaaa，，，，1121 ananaa，，，,,(1)1nnnn，，11,baa,,11nnn，，，121222？,,,,baaaaaa,,,,,,1112nnnnnnn，，，111 31？,{}5b是以为首项，以为公比的等比数列。........分n42 3131aa,,,,，1,......1,................8？,,,,，aa分32mn,12n,12222 31311,1(II)？,,,,，？,,,,，aaaann，121n2222 3131n,1b,,，,,，()........................................................6分nn4222 将以上各式相加得: 3111(1)=++...？,,,,aan(+),1n2n-12222 11(1),1m,3131322 又1(1)(1)2.？,，,,，,，,,,,，,aannn1n1nn,1222221,2 , L,{(x,y)|y,m,n}9.(2009上海奉贤区模拟考)已知点集，其中m,(2x,b,1)，, n,(1,b，1)P(a,b)，点列在L中，为L与y轴的交点，等差数列{a}的公差为1，Pnnnn1 ,。 n,N (1)求数列{b}的通项公式; n Sffffn,，，，，(1)(2)(3)()(2)若,令;试用解析式写出fn()n ， S关于的函数。 nn *,mNm,,,2(3)若,给定常数m(),是否存在，使得fn()k,N ， k ，若存在，求出的值;若不存在，请说明理由。 fkmfm()2()，, (1)y,? ,(2x,b)，(b，1),2x，1 -----(1分) Pab(,)a,0与轴的交点为，所以; -----(1分) yx,，21(0,1)x1111 76 所以，即， -----(1分) aan,，,，(1)1an,,1n1n 在上，所以，即 -----(1分) 因为Pab(,)bn,,21ba,，21yx,，21nnnnnn a(21)nk,,n*(2)设 ()， (){fn,kN,b(2)nk,n n,1(21)nk,,*即 () ----(1分) fn(){,kN,21n,(2)nk, (A)当nk,2时， SSababaaaaa,,，，，，，，,，，，....(...)nkkkk212342121321,, ----(1分) ，，，，(...)bbb242k n022341，,，,kk322k,Sn,==，而，所以 ----(1分) ，，，kk3kn2422 nk,,21(B)当时，SSaaabbb,,，，，，，，，(...)(...) ----(1分) nkkk2113212422,,, 022345，,，,kk2= =， ----(1分) ，，，,kk(1)341kk,，22 n，131n2而k,，所以 ----(1分) Sn,,,n2424 31n,2nnk,,,,,21,,424*S,因此() ----(1分) kN,,n32,nnk,2　　　，,,,4 ,(3)假设，使得 ， fkmfm()2()，,k,N (A)为奇数 m kkm，(一)为奇数，则为偶数。则，。则fmm()1,,fmkmk()2()1，,，, 1*k,，解得:与矛盾。 ----(1分) 2()12(1)mkm，,,,kN,2 kkm，(二)为偶数，则为奇数。则，。则fmm()21,,fmkmk()()1，,，, km,,3131m,，解得:(是正偶数)。 ----(1分) ()12(21)mkm，,,, (B)为偶数 m kkm，(一)为奇数，则为奇数。则，。则fmm()1,,fmkmk()()1，,，, km,,1m,1，解得:(是正奇数)。 ----(1分) ()12(1)mkm，,,, 77 (二)k为偶数，则km，为偶数。则，。则fmm()21,,fmkmk()2()1，,，, 1*，解得:与矛盾。 ----(1分) km,,2()12(21)mkm，,,,kN,2 *由此得:对于给定常数m()，这样的k总存在;当是奇数时，km,,31;mNm,,,2m 是偶数时，km,,1。 ----(1分) 当m a10.(2009南华一中12月月考)设各项均为正数的数列的前项和为，且满足:Sn,,nn 2a，1,,nS, n,,2,, (1) 求; aaa,,123 a(2)求出数列的通项公式(写出推导过程); ,,n 1b(3) 设，求数列的前项和。 b,n,,nnaa，1nn 22a，1a，1,,,,n1S,aS,,a,1解:(1)由得解得„„„„„„„1分 n111,,,,22,,,, 2a，1,,21，,,aS 由 解得a,3„„„„„„„„„„„„„„2分 222,,2,, 2a，1,,313，，,,aSa,5由解得 „„„„„„„„„„„„„3分 333,,2,, n,1a,1 (2)当时 1 22aa，，11,,,,nn,1aSS,,,,n,2当时， „„„„„4分 nnn,1,,,,22,,,, 22整理得: aa,,，11，，，，nn,1 aa,,2化简得: „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 nn,1 a所以是公差为2，首项为1的等差数列， ,,n aann,，,，,,1221即„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分 ，，n1 11111,,b (3)„„„„„„9分 ,,,,n,,aannnn,，,，212122121，，，，,,，1nn 78 ，，111111,,,,,, T,,，,，，,1n,,,,,,,,nn,，23352121,,,,,,，， 11n,,„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分 ,,,1,,22121nn，，,, 11.(2009枣庄一模)设数列 *{a}满足a,a,a,ca，1,c(n,N),其中a,c为实数,且c,0. nn，n11 (1)求数列的通项公式; {a}n 11*a,,c,,b,n(1,a)(n,N) (2)设，求数列{b}的前n项和S. nnnn22 解:(1)？a,ca，1,c,a,1,c(a,1), n，1nn，1n ？当a,a,1时,{a,1}是首项为的等比数列 2分 a,1,公比为c1n n,1n,1？a,1,(a,1)c,即a,(a,1)c，1. 4分 nn a,1时,a,1 当仍满足上式。 n n,1*？数列{a}的通项公式为a,(a,1)c，1(n,N) nn a,1,0 注:未考虑的情况，扣1分。 11a,,c, (2)由(1)得，当时， 22 11nnb,n(1,a),n{1,[1,()]},n(). 8分 nn22 111123n？S,b，b，？，b,，2，()，3，()，？，n，(). n12n2222 111123n，1S,()，2，()，？，n，(). n2222 111112nn，1S,，()，？，(),n，(). 两式作差得 n22222 11112n,1nS,1，，()，？，(),n，() n2222 1n1(),11nn2()2(1). ,,n，,，,, nn12221,2 2n，2. ？S,, 12分 nn2 79 yfx,afn,a12.(2009冠龙高级中学3月月考)由函数确定数列，，函数，，,,，，nn ,1,1*yfx,yfx,bbfn,的反函数能确定数列，，若对于任意，都有nN,，，，，,,，，nn ba，则称数列是数列的“自反数列”。 ab,,,,,nnnn px，1baa(1)若函数确定数列的自反数列为，求的通项公式; fx,,,,,,,，，nnnx，1 n2x(2)在(1)条件下，记为正数数列的调和平均数，若，Sd,,1,,nnn111a，1n，，？xxx12n HndSlim为数列的前项和，为数列的调和平均数，求; Hn,,,,nnnn,,n ,,1nC(3)已知正数数列的前项之和。求的表达式。 TC,，Tn,,,,nnnn2Cn,, 1,xpx，1,n，1,n，1–1解:(1)由题意的:f (x)== f(x)=，所以p = –1，所以a= (2) a=，nnx，1n，1n，1x,p 2d==n， ,1na，1n n(n，1)S为数列{d}的前n项和，S=，又H为数列{S}的调和平均数， nnnnn2 Hn，11nn(n，1)nlimlimH=== == nn,,n,,222n2n22111，，？，，，？1，22，3n(n，1)SSS12n 1n(3)因为正数数列{c}的前n项之和T=(c+)， nnn2cn 11所以c=(c+)，解之得:c=1，T=1 11112c1 n当n?2时，c = T–T，所以2T= T–T+， nnn–1n nn–1 T,Tnn,1 n22T,TT+T= ，即:= n， n n–1 nn,1T,Tnn,1 222222T,TT,TT,T所以，= n–1，= n–2，……，=2，累加得: nnnn,1,2,2,321 n(n，1)n(n，1)222T,TT=2+3+4+……+ n， =1+2+3+4+……+ n =，T= nnn122 2aaa,,21a,013.(2009番禺一模)设数列对一切正整数均有，且 ，如果n,,nnn，1n 80 ,，,(0,]( a,cos2,,18 )求，的值; (1aa23 ,a(2)求数列的通项公式; ()n,N,,n 2a(3)设数列前项之积为，试比较与的大小，并证明你的结论( TTn,,nnn, 2222cos221,,,a2cos1a,，,,a,cos,(1)依题意:，则， 222 ,,(0,]而，又，所以a,cos,， „„„„„„1分 a,0,n28 ,a,cos同样可求得， „„„„„„2分 32 ,a,cos(2)猜测，) „„„„„„4分 (n,N*nn,22 n,1?用数学归纳法证明:显然时猜想正确， „„„„„„5分 ,a,cos?假设时猜想成立，即， nkk,,(N*)kk,22 ,,2222nk,，1aa,,21cos21,,a2cos2,a则时，?，?，即，而kk，k，k，111k,k,2122 a,0 n ,,a,,coscos故, „„„„„„6分 k，1kk,，,1(1)222 ,nk,，1a,cos这就是说猜想也成立,故对任意正整数都有( „„„„„„7分 nnn,22 2T,(3) „„„„„9分 n, ,,(0,]证明: ， ,8 ,,,,cos2cos,coscos,,coscos0,,,,,,,则， „„„10分 ,,321nn,，4222 ,,,,T,,,,coscoscoscos则 n341n，4222 ,,,,,n2coscoscoscossin,,,2341，n122222 ? „„„11分 T,,,n,,,nnn2sin2sin2sin，，，111nnn222 ,,x,(0,)设,，则， gxxx()sin,,gxx()cos10,,,2 ,,(0,)x,(0,)sinxx,即为上的减函数，?，故时，， „„12分 gx()gxg()(0),22 81 ,,,,而,(0,)，?， 0sin,,n，1nn，，112422 ,,nn? „„„13分 02sin2,,，，，11nn22 ,,n?，， 02sin,,，1n22 212，即T,( 14分 则,n,,,n2sin，1n2 112,14.(2009深圳一模理)已知函数，为函数的导函数( fxxx(),,，fx()fx()24 ,,,(?)若数列满足:a,1，afafn()()()，求数列的通项{}a,，{}anN,n1nn，1n ; an ,{}bbb,bfb,2()(?)若数列满足:，()( nN,n1nn，1 1b,{}b{}b(?)当时，数列是否为等差数列,若是，请求出数列的通项b;若nnn2 不是，请说明理由; n112(?)当,,b1时， 求证:( ,,2bb,21i,1i 1,解:(?)fxx()2,,， „„„„„„„„„„1分 2 11？,,，,,，,aanan， (2)(2)221nnn，122 anan，，，,，，2(1)12(21)即 „„„„„„„„„„3分 nn，1 42a,1{21}an，，， 数列是首项为，公比为的等比数列( ？1n n,1？，，,,an2142，即 n n，1an,,,221( „„„„„„„„„„5分 n 12,,，bbbfb,2()2(?)(?)， ？nnnn，12 12？,,,bbb2()( nnn，12 11b,b,当时，( ？2122 1b,b,b假设，则( kk，1k2 82 1b,由数学归纳法，得出数列为常数数列，是等差数列，其通项为(„8分 {}bnn2 1122(?)bbb,,，， ？,,,bbb( 22()nnn，nnn，1122 11当,,b1时，( bb,,？12122 11b,bb,,假设，则 ( kkk，122 1b,由数学归纳法，得出数列(„„„„„10分 (1,2,3,)n,n2 11bbb,,,又， 2()nnn，122 111， ？,,11bbb,,nnn，122 111( „„„„„„„„„„12分 即,,11bbb,,nnn，122 nn11111( ？,,,,(),,1111bbb,,bb,,,1,1ii，1n，i112222ii 1b,， n，12 n112( „„„„„„„„„„14分 ？,,,1bbb,,21,1i12i 2009年联考题 一、选择题 x,0 1.(北京市崇文区2009年3月高三统一考试理)已知函数的定义域为R，当yfx,() xy,,{}a时，，且对任意的实数R，等式成立(若数列满fx()1,fxfyfxy()()(),，n 1af,(0)足a，且(N*)，则的值为( ) fa,n,()12009n，1fa,,(2)n A( 4016 B(4017 C(4018 D(4019 答案 B {a}中,前n项和为S,若a,5,S,21,那么S2.(2009厦门乐安中学)在等差数列等nn7710于( ) 83 A(55 B(40 C(35 D(70 答案 B 3. (湖北省2009年3月高三八校第二次联考理科) 等差数列中，是其前项和，aSn,,nn SS20072005，，则的值为( ) ,,2a,2008S1200820072005 A,2006C,2008D2008B2006，，，，，，，，答案 C 4.(2009宁乡一中第三次月考)等差数列中，，，且，为{}aa,0a,0||||aa,Sn10111011n其前项之和，则( ) n A(都小于零，都大于零 SSS,,,SS,,12101112 B(都小于零，都大于零 SSS,,,SS,,12567 C(SSS,,,都小于零，SS,,都大于零 12192021 D(SSS,,,都小于零，SS,,都大于零 12202122 答案 C 5.(辽宁省沈阳二中2008—2009学年上学期高三期中考试) 1m222{a}满足a,1,a，4,1,记S,a，a，？，a,数列若,,对任SS，n1n1n12n2n，1n230an n,N*意恒成立，则正整数m的最小值 ( ) A(10 B(9 C(8 D(7 答案:A. 6.(抚顺一中2009届高三第一次模拟) n2n-1数列{a}满足a+ 3?a+ 3?a+„+ 3?a=，则a= n123nn2 n1A B nn32 11C D n,1n,12,33,2 答案:C. 7.(抚州一中2009届高三第四次同步考试) 已知数列{a}满足a=a–a(n?2)，a=a，a=b，记S=a+a+a+„+a，则下列结论正确nn+1nn–112n123n 84 的是 A(a= – a，S=2b – a B(a= – b，S=2b – a 8 C(a= – b，S=b – a D(a= – a，S=b – a 8 答案:A. 二、填空题 8.(北京市崇文区2009年3月高三统一考试文)对于集合N={1, 2, 3,„, n}的每一个非空集，定义一个“交替和”如下:按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数(例如集合{1, 2, 4, 6, 9}的交替和是9–6，4–2，1,6，集合{5}的交替和为5(当集合N中的n =2时，集合N={1, 2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1, 2}，则它的“交替和”的总和=1+2+(2–1)=4，则当n,3时，= ______________ ;根据、SSS232、，猜想集合N ={1, 2, 3,„, n}的每一个非空子集的“交替和”的总和=__________. SSS34n n,1 答案 12 , n,2 9.(2009广州一模)已知数列{a}的前n项和为S，对任意n?N* nn 21都有S=a,，且1 ,,,,,，......21n1234212nn, k,15.(2009聊城一模)过点P(1，0)作曲线的切线，C:y,x(x,(0,，,),k,N,k,1)切点为M，设M在x轴上的投影是点P。又过点P作曲线C的切线，切点为M，设M在x111122轴上的投影是点P，„。依此下去，得到一系列点M，M„，M，„，设它们的横坐标a，212n1 ,,a，„，a，„，构成数列为。 a2nn ,, (1)求证数列是等比数列，并求其通项公式; an na,1， (2)求证:; nk,1 n (3)当的前n项和S。 ,,k,2时,令b,,求数列bnnnan k,1kky,kx,切点是M(a,a)解:(1)对y,x求导数，得的切线方程是 nnn kk,1y,a,ka(x,a) nnn k1kk,,a,ka,aa,(1),得;当n=1时，切线过点P(1，0)，即0 111k,1 akkk,1n当n>1时，切线过点p(a,0),a,kaa,a,，即0 (),得.n,1n,1nnn,1nak,1n,1 kk,,a是首项a,,公比为的等比数列,所以数列 n1k,1k,1 kn,,,a的通项公式为a,(),n,N所以数列 nnk,1 (2)应用二项公式定理，得 88 k1111nn0122nna,(),(1，),C，C，C()，？，C()nnnnnk,1k，1k,1k,1k,1 n,1，.？？？？？(8分)k,1 (3)当 n123nn,,,时,,数列的前项项和,，，，？，， k2,a2,b.bnSnnnnn23n22222 11123n,,，，，，.同乘以 得S？n234n，1222222 两式相减，得 11(1),n111211nnn22,，，，，,,,,,, S？1n23nn，1n，1nn，112222222221,2 n，2所以S,2, nn2 16.(2009闵行三中模拟)已知点列B(1,y)、B(2,y)、„、B(n,y)(n?N)顺次为一次1122nn 11函数y,x，图像上的点，点列A(x,0)、A(x,0)、„、A(x,0)(n?N)顺次为x轴1122nn412 正半轴上的点，其中x=a(0,a,1)，对于任意n?N，点A、B、A构成一个顶角的顶点1nnn+1为B的等腰三角形。 n ?求数列{y}的通项公式，并证明{y}是等差数列; nn ?证明x-x为常数，并求出数列{x}的通项公式; n+2nn ?在上述等腰三角形ABA中，是否存在直角三角形,若有，求出此时a值;若不存在，nnn+1 请说明理由。 111解:(1)y,n，(n,N),?y-y=,?{y}为等差数列 „„„„„„4分 n+1nnn4412 ,ABA,ABA (2)因为与为等腰三角形. nnn，1n，1n，1n，2 xx，,nn，1,n,,2x,x,2所以，两式相减得 。„„„„„„7分 ,n，2nxx，nn，，12,,，n1,,2 x,x,2注:判断得2分，证明得1分 n，2n ?x,x,x,„,x及x,x,x，„，x都是公差为2的等差数列，„„„„„„6分1352n-1246 2n 89 na1 (，,当n为奇数), ? „„„„„„10分 x,,n(n-a 当n为偶数), 11nny (3)要使ABA为直角三形，则 |AA|=2=2(),x-x=2() ，，nnn+1nn+1n+1nB412412n 当n为奇数时，x=n+1-a，x=n+a-1,?x-x=2(1-a). n+1nn+1n n1n11 ,2(1-a)=2(，) ,a=,(n为奇数，0,a,1) (*) 412124 12 取n=1，得a=，取n=3，得a=，若n?5，则(*)无解; „„„„„„14分 63 当偶数时，x=n+a，x=n-a，?x-x=2a. n+1nn+1n 11nn ?2a=2(),a=(n为偶数，0,a,1) (*,)， ，，412412 7取n=2，得a=,若n?4，则(*,)无解. 12 712 综上可知，存在直角三形，此时a的值为、、. „„„„„„18分 6312 2007—2008年联考题 一、选择题 1.(江苏省启东中学2008年高三综合测试一)集合A={1,2,3,4,5,6},从集合A中任选3个不 同的元素组成等差数列，这样的等差数列共有( )A、4个 B、8个 C、10个 D、12个 90 答案:D aaa3n22.(四川省巴蜀联盟2008届高三年级第二次联考)如果数列{a}满足是,,,...,,...na1aaa,121n首项为1，公比为2的等比数列，则a等于 100 1009950504950A(2 B(2 C(2 D(2 答案:D 3. (北京市东城区2008年高三综合练习一)已知等比数列{}的前项和为，且=7nSSaan31n }的公比的值为( ) 则数列{qan A(2 B(3 C(2或,3 D(2或3 答案:C 4.(北京市丰台区2008年4月高三统一练习一)已知等差数列的前n项和为，若{}aSnn ，则等于 aa,,18S458 A. 18 B. 36 C.54 D. 72 答案:D ,,5.(北京市宣武区2008年高三综合练习一)设等比数列a的首相为，公比为q ，则“< aan11 ,0 且0< q <1”是“对于任意都有a,a”的 ( ) n,Nn，1n A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C充分比要条件 D 既不充分又不必要条件 答案:A 6.(福建省莆田一中2007,2008学年上学期期末考试卷)已知无穷数列{a}是各项均为正数n的等差数列，则有( ) aaaaaaaa66664444 A( B( C( D( ,,,,aaaaaaaa68686868答案:B ba7.(福建省师大附中2008年高三上期期末考试)已知等差数列和的前n项和分别为,,,,nn 91 Aa741n，nn，且，则使得为整数的正整数n的个数是( ) AB和,nnbBn，3nn A(2 B(3 C(4 D(5 答案:B 8.(广东省惠州市2008届高三第三次调研考试)计算机是将信息转换成二进制进行处理的. 二进制即“逢二进一”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是(1101)2 3210= 13，那么将二进制数转换成十进制形式是( ). ？(11111)12120212，，，，，，，2,,,,,个161 1716161522,22,21,21,A( B( C( D( 15141016(1111)1212121221,，，，，，，，,,解析:， 216 答案:C aa,*nn，，21n,Nk9.(湖北省八校高2008第二次联考)在数列中，，若,k(为常数)，a,,naa,nn，1则称为“等差比数列”. 下列是对“等差比数列”的判断: a,,n k?不可能为0 ?等差数列一定是等差比数列 ?等比数列一定是等差比数列 ?等差比数列中可以有无数项为0 其中正确的判断是( ) A(?? B(?? C(?? D(?? 答案:D PPPP,，，，P10.(湖南省岳阳市2008届高三第一次模拟)对于一个有限数列，的，，12n 1SSS，，，蔡查罗和(蔡查罗为一数学家)定义为，其中，，12nn SPPPkn,，，，,,1PPP，，，，若一个99项的数列的蔡查罗和为1000，，，，，kk121299 1，，，，PPP那么100项数列的蔡查罗和为( ) ，，1299 A(991 B.992 C.993 D.999 答案:A 二、填空题 11.(2008广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一 92 段，得图(2)，如此继续下去，得图(3)„„ 试用 n表示出第n个图形的边数 a=____________. n n,1答案:3×4. 12.(2008江苏省启东中学高三综合测试三)如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来，(n=1,2,3,„)，则第n,2个图形中共有 个顶点。 2答案:n+n 13.(北京市十一学校2008届高三数学练习题)一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品，如图所示(若按照这种规律依次增加一定数量的宝石, 则第5件工艺品所用的宝石数为 颗;第件工艺品所用的宝石数为 颗 (结果用nn表示). 第4件 第3件 第1件 第2件 2答案:66， 2n，3n，1 14.(河南省上蔡一中2008届高三月考)如图，在直角坐标系中,一质点从原点出发,沿图示箭头方向每秒钟移动一个单位,问第2008秒时质点所在的位置坐标是 93 答案:(-31，7) 15.(黑龙江省哈师大附中2008届高三上期末)将正整数按下表的规律排列，把行与列交叉处 *a(i,j,N)的一个数称为某行某列的数，记作，如第2行第4列的数是15，记作a,15，24ij 则有序数对(a,a)是 。 2884 1 4 5 16 17 36 „„ 2 3 6 15 18 35 „„ 9 8 7 14 19 34 „„ 10 11 12 13 20 33 „„ 25 24 23 22 21 32 „„ 26 27 28 29 30 31 „„ „„ „„ „„ „„ „„ 答案:(63，53) 三、解答题 1{a}16.(黑龙江省哈尔滨九中2008年第三次模拟考试)已知数列的前nf(x),,4，n2x 1*a,1,a,0S(n,N)项和为，点在曲线上且. Pay,f(x)(,,)n1nnnan，1 {a}(1)求数列的通项公式; n 94 TT2n，n1(2)数列的前n项和为且满足，设定的值使得数 {b}Tb,，16n,8n,3nn122aann，1 是等差数列; {b}n 1*S,4n，1,1,n,N (3)求证:. n2 11解:(1) ,,f(a),,4，且a,0nn2aan，1n11? ,，42aa，n1n 11? ,,4(n,N*)22aan，n1 11?数列是等差数列，首项公差d=4 {},122aann 1? ,1，4(n,1)2an 12a,? n4n,3 ?a,0 n 1?a,(n,N*)„„„„(4分) na,3n T12n，1(2)由 a,,,16n,8n,3n2a4n,3n (4n,3)T,(4n，1)T，(4n,3)(4n，1)得 n，1n TTn，1n,,1? nn4，14,3 Tn,T，n,1? 14n,3 T,(4n,3)(T，n,1)? n1 {b}若为等差数列，则 T,1,0,T,1即b,1n111 95 ? b,8n,7n,N*n 1(3) a,n4n,3 22a,,? n24n,34n,3，4n，1 4n，1,4n,3 ,2 1S,a，a，？，a,(5,1)，(9,5)? n12n2 1，？，(4n，1,4n,3),4n,1,1 21,4n，1,1n,N*„„„„„„„„12分 2 17.(北省三校联合体高2008届2月测试)已知数列的首项，前项和{}aa,,13，ann12 l为，且、、分别是直线上的点A、B、C的横坐标，点B分所成的比为SSSSACnn，1nn,1 21a，nbab,，，log(1)，设b,1。 1nnn，12an ? 判断数列{1}a，是否为等比数列，并证明你的结论; n b,1n，1nn，14c,? 设，证明:C,1。 ,nkaak,1nn，1 SSa,，21nnn，1解 ?由题意得„„„„„3分 ,,,，aa21nn，1SSa,nnn,1 ？aa，,，12(1) nn，1 ？{1}a，a，,12数列是以为首项，以2为公比的等比数列。„„„„„„6分 n1 nn*？a，,12a,,21则()] nN,nn na,,21bab,，，log(1)bbn,，及得 ?由nnn，12nn，1n nn(1),？b,，1，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分 n2 96 b,1n，1nn，11142,,c,,则„„„„„„„„10分 nnn，1nn，1aa,,(21)(21)2,12,1nn，1 n11111111,,,,,,,,C？,,，,，,，，,,,,,,,,,,k22334nn，121,21212121212121,,,,,,,,,,,,,,,k,1 1,1,,1 „„„„„„12分 n，12,1 21n,18.(湖北省黄冈市麻城博达学校2008届三月综合测试)把正奇数数列中的数按上,,小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表: 1 3 5 7 9 11 , , , , , , , , , a设是位于这个三角形数表中从上往下数第i行，从左往右数第个数。 jij mn,(?)若a,2007，求的值; mn ,13n(?)已知函数的反函数fxxx()8(0),,为，若记三角形数表中从上往下数第fx()n fb行各数的和为b，求数列的前项和S。 n，，,,nnn mm(1)，解:(?)?三角形数表中前123，，，，,m行共有个数， m2 mm(1)，mm(1)，2211,,,，,mm?第行最后一个数应当是所给奇数列中第项，即。 m22 2a,2007因此，使得的是不等式的最小正整数解。 mmm，,,12007mn ,，，,，12由得，?。m,,,44mm，,,12007mm，,,2008022m,45?。 20071981,2n,，,114.第45行第一个数是，? 4444121981，,，,2 n1,,,13n3fxxx,,()(0)fxxx()8(0),,(?)?，?。 ,,2,, 22?第行最后一个数是，且有个数，若将看成第行第一个数，则第nnnnn，,1nn，,1 97 nn(1),23,2行各数成公差为的等差数列，故。bnnnn,，,，,,(1)2n，，n2 n11,,33nfbnn,,()()?。 n,,22,, 23nn11111,,,,,,,,Sn,，，，Sn,,，232(2)故。用错位相减法可求得 ,,,,,,,,nn22222,,,,,,,, 219.(2007江苏省南京市) 14(已知正项数列{ a }满足S+S,ta+2 (n?2，t>0)，a,1，nnn,11n其中S是数列{ a }的前n项和( nn (?)求通项; an 1*(?)记数列{}的前项和为，若,2对所有的?N都成立(求证:0,?1 nTTntnnaann+1 122解:?a,1 由S+S,ta+2，得a ,ta，?a ,0(舍)或a,， 12122222t 22S+S,ta+2 ? S+S,ta+2 (n?3) ? nn,1n,1n,2nn,1 22?,?得a+a,t(a ,a)(n?3)，(a+a)[1,t(a,a)] ,0， nn,1nn,1nn,1nn,1 1由数列{ a }为正项数列，?a+a?0，故a,a,(n?3)， nnn,1nn,1t 1即数列{ a }从第二项开始是公差为的等差数列( nt 1 n,1 ,,n,1?a,, n n?2(,t, 2222t t t t 12(2)?,1,2，当+++ „+(1,Tn?2时，T,t+,t+ t) ,t+ 1n1×22×33×4(n,1)×nnn,12 tn n,1*22 要使T<2,对所有的n?N恒成立，只要T,t+ t, t+ t?2成立，?0,t?1( nnn 20.(2007山西实验中学模拟)正项数列 22{a}满足a,1,na，(n,1)aa,a,0(n,2) nnnn,n,111 a (1)求; n 241 (2)试确定一个正整数N，使当n>N时，不等式 a，a，2a，3a，？，(n,1)a,1234n121 成立; 98 n1,,1，,1，a，a，？，a. (3)求证: ,,12nn,, aa22nn解:(1) nanaaan，(,1),,0,(,,1)(，1),0nnn,1n,1aan,1n,1 a111n0,0,,1, 又？a,a,故,a,a,,n,n11222!ann,1 111a,a,....a„„„„„„„„„„„„4分 ,,,34n3!4!n! k,111(2)由 (k,1)a,,,(k,2)kk!(k,1)!k! 1nn1n2nr1111,,,，nrrTC()(1，) (3)将展开， ,,,,？,,n，1rnnnnnnr!r! r,0,1,2,？,n 111111n(1，),，,，，？，,1，a，a，？，a„„„„14 12nn0!1!2!3!n! 99