双曲型方程解的能量估计及其应用

双曲型方程解的能量估计及其应用 双曲型方程解的能量估计及其应用 长江大学(自科版)理工卷2007年12月第4卷第4期 JournalofYangtzeUniversity(NatSciEdit)Sci&EngVDec.2007.Vo1.4No.4?17? 双曲型方程解的能量估计及其应用 赵天玉,曹静(长江大学信息与数学学院,湖北荆州434023) [摘要]数学物理方程在科学实践和工程技术中有广泛的应用.研究了维双曲型方程解的能量估计.得 到了既有理论意义又有应用价值的能量不等武.对双曲型方程的典型代 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf ——波动方程,应用能量不等 式.证明了其初边值问题解的唯一性和稳定性. [关键词]双曲型方程;能量估计;初边值问题;稳定性;唯一性 [中国分类号]O175.2[文献标识码]A[文章编号]1673—1409(2007)04一N017—04 双曲型方程作为偏微分方程中最典型的一种,在研究波的传播及弹性体振动时常会遇到.因此,对 双曲型方程解的能量估计和解的性质的研究既有理论意义又有实用价值.传统教材只讨论一,二维 波动方程的能量不等式;文献E33虽然讨论了双曲型方程解的能量估计,但其证明过于简单,难以理 解.为此,笔者对维双曲型方程解的能量估计进行了研究. 1双曲型方程解的能量估计 1.1基本概念和假设 设n为R中的有界区域,且有光滑边界『',在区域Q一n×(O,丁)中讨论一般形式的二阶双曲 型方程初边值问题: 萼一)t2ta,l ," t一0"一(z) +c,c~/,/c川,鲁,"一 与::=()?n "f?一0 解的性质.式中,?=厂×(o.了,)为区域Q的侧边界;一(,,…,)?n. 为方便讨论,作如下假设: (1) (2) (3) i)系数".,b,,b.,及右端项-厂都是上的连续函数,并且".在石上还具有一阶连续偏导数. ii)对一切i,一l,…,;"d一"J,,且存在正常数口>0,使得对一切(,,)?及任意给定的 实向量 (,,,…,),有: ?"(z,,)钤?a?gt,』:li=1 成立. 对于初边值问题(1),(3)的解u(x,,),定义能量函数: E(f)一A("2+.)dz(f4) 1.2能量不等式 定理1若u(x,,)为初边值问题(1),(3)的解,能量函数E(,)按式(4)定义,则能量估 计式: E(,)?E(0)e.+Ce.l1.厂.dxdt0?,?T(5) 成立.其中,c为一个不依赖于"的正常数. [收稿日期]2007—08—27 [作者简介]赵天玉(1958一),男,1981年大学毕业,硕士,教授,现主要从事组合数学 万面的教学与研究工作. ? 18?长江大学(自科版)理工卷2007年l2月 证明用瓮乘以式(1),并在以上关于积分,就得到: 』.n"dr—J_(塞")dr+』.n("+6o+",)出一』.n",dr?[.,刀6 式(6)左端的第1项可以写为j1"妇;当n?3时,记,az,…,口坩为侧边界r法向量的方 向角, ds为其广义面积微元.令户一"".(,一l,2,…,"),固定,让_『:l,29~~~91l9利用高维的高 斯公 式?,并注意边界条件(3)(它隐含着"—o),边界积分项为零,可得: ..cos-..+户/nCOS~n--I,(等+2+-..+普IJ互l,工l',^l,工" 一 jn(nln.+n,z,z+…+n")Utd+jn[(nfj")I1+(ai2Ut)+…+(n"r)f],d 故对固定的i,有: 一 Jn("Ii+fI2+…+n",)(k—Jn[()+(n2)屯+…+(a~Ut)]出(7) 成立,对式(7)关于i从l到求和.式(6)左端的第2项可以写为: 一 j.(妻坼n",)如:J.(i骞,")如:j..(娄n)如+j.(骞.坼")出8 利用系数n的对称性,式(8)右端第l项又可以写为: (~Uui(AijU.ri)d—dIj'(善nd—if(妻.)d 从而式(6)可以写为: d {1十塞aijUz;U~i)d十 一 2 n )d-r+j..(,+d—j.Ut(9) 简记为: dE : (+-厂d(1? 式(1o)右端第1项表示将式(9)的左端除警外的所有其余积分项移到右端的结果. 由假设i),有: (U,Ut~Ux)d?Cl.2十2)d 式中,C为一个与"无关的正常数.5L~(1o)的第2项满足: l?扎+fe)d(12) 利用弗里德里克斯(Friedchs)不等式: 出?CDj(2)d3' 由式(10),(13)及假设ii),得到: dE?c()+J_)(14) 式中,C是一个与"无关的正常数.在式(14)两边乘以e_..,再对t积分,并放大被积函 数,可得: rlr E(f)?三E(O)e.+Ce.l1.厂.dxdtJ0Jn 1.3几点说明 1)当柠一l时,由齐次边界条件推得/'/t(O,,)一",(z,)一oo则式(6)第2项可写为: 一 J_:"","上,d=——J_:""d":,["","l一J_:"n"d]一j'"""d一"""td 第{卷第4期天玉等:双曲型方程解的能量估计及其应用 于是可得71一l时的式(8). 2)当7一2时,边界为封闭曲线r?且",IPT一0.令P一一"z",",q一",",,p一一u2:/At" q一","a,卢为r正向切线的方向角,应用格林公式得: .一(p~cosac.s—j『n(3ql一) .一…+q2COSfl一(--ap2,d 式(15)加式(16)}t-整理可得一2时的式(8). 3)为了应用方便,常取E(,)一j("+",)d,这时能量不等式(5)也成立. 2能量不等式的廊用 (15) (16) 2.1初边值问题解的唯一性 波动方程是双曲型方程的典型代表.下面考虑二维波动方程的初边值问题: "一"(",+")+f(17) "fo一(,.y)"f,一0一(,.y)(18) "}r一(,y,f)(19) 这里,I1表示国的边界.应用能量不等式可得如下定理. 定理2若波动方程的初边值问题(17),(19)的解存在,则其解唯一. 证明设",":是该定解问题的两解,则其差"一"一".满足相应的齐次方程及齐次初始条件和 齐次边界条件.此时的齐次方程满足假设i),ii)由式(4)定义的能量函数知,在初始时刻有E(0)一0,故由 能量不等式(5)得: E(,)一jI[M+".(":十"2)]dxdy一0 即"=I.t一I.t一0,从而可推出u(x,.y,,)一con.st.又由于在初始时刻"一0,故得u(x,,,)兰0.即 ";一"..这样就证明了初边值问题(17),(19)解的唯一性. 2.2初边值问题解的稳定性 为了i己号简单起见,对于定义在区域上的函数和定义在区域(0,了,)x上的函数,,常以 _和ll_lLn?分另IJ表示q~zdxdy)和(胍_,~'2dxdydt)告. 定理3波动方程的初边值问题: "一"(".+".)+.厂(20) "f,…,一(,2-,.y)"f0一(,2-,)(21) "}一0(22) 的解u(x,y,f),在下述意义下关于初始值(,)与方程右端项厂是稳定的:对任何给定的E>0,一定可以 找到仅依赖于,和,的r/>0,只要: 『『-一.ll.??r/『『一『『.? 『『一『『L2cm?『『一『『.?『『厂一llJ_z棚?(23) 那么以(,)为初值,.厂为右端项的解"与以(,)为初值,厂2为右端项的解"之差在0?t ?1,上 满足: 『『"】一"2『『L:n)??EllUl一"2,llL2nJ?E IA1—tA2llL(n,?,『『一llLzf2j?E(24) 证明记"一"-一"z,一-一,一一,.厂一fl一.,,则"满足: "=="("上r十")+. 厂 "}.一",f....一 "lr一0 (25) (26) (27) ? 2O?长江大学(自科版)理工卷2007年l2月 方程(25)满足假设i),ii),从而利用能量不等式(5),可得: )?E(0)e0.+ce.皿dydCz(E(0)+JI昵曲f?Eo,了1](28oJ3)J0njd一一 式中,C2为一个仅依赖于丁的正常数.记: E(f)一Il".(,Y,t)dxdy 则: dEo(t) 一 矾"象捌?捌+JL"fdzdEo() 用e乘上式两端得: d( e-E.(f))?E(,) 再从0到,(0?t?丁)积分,并放大被积函数,利用式(28),得到: Eo((0)fr)?CEe-drC(E0(0)+)+J-tfdxdydtd00)f)?eo(0)+elE(r)?(E0(0)+E(0)+lI),j01n 式中,C为一个仅依籁于了'的正常数.结合式(28)与式(29).就得蛰I: Eo(f)+E(,)?C4(E(0)十E(0)+ffrfzdxdyd,)f?Eo,丁]J0JJn 式中,C4为一个仅依赖于丁的正常数. (29) (30) 对任何给定的,>0,取M—max(C4,C?.),17===去,则17仅依赖于,和T.由式(30),只要式(25)5M 成立,就有: llM一"zll2==:』J("?一"z)dzdy:=:Eo(f)?5M(南)一,2 即: ll"l一"2llL2(n)?, 类似地可证明其他情况. [参考文献] [1]欧维义.数学物理方程fM].长春:吉林大学出版社,1991.267~271. [2姜礼尚.数学物理方程 讲义 氰化物测定慧律法师六祖坛经3集35控烟知识讲座讲义宋大叔教音乐完整讲义华为财务bp [M].第2版.北京:高等教育出版社,1996.47~92. 3]谷超豪.数学物理方程EM].第2版.北京:高等教育出版社,2002.117,120. 4]菲赫金哥尔茨.微积分学 教程 人力资源管理pdf成真迷上我教程下载西门子数控教程protel99se入门教程fi6130z安装使用教程 (第3卷,第2分册)[M].吴亲仁,路可见泽.北京:人民教育出版社,1957.394~398. [编辑]洪云飞