论文-凸函数的定义和性质

论文-凸函数的定义和性质 凸函数的定义和性质 凸函数的定义和性质 摘要 中文摘要 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 :在已有的凸函数研究结果上，讨论了凸函数的8种常见定义和13种常见性质，对各种定义之间的等价关系进行了推导，对性质定理进行了 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 和 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ，并举例应用了凸函数的定义和性质。 关键词:凸函数 凹函数 严凸 等价性 可导 增函数 - 1 - 凸函数的定义和性质 目录 预备知识 ........................................................................................................................ - 3 - 定义1......................................................................................................................... - 3 - 定义2......................................................................................................................... - 3 - 1凸函数的等价定义 ...................................................................................................... - 4 - 1.1凸函数的等价定义 .................................................................................................. - 4 - 定义3......................................................................................................................... - 4 - 定义4......................................................................................................................... - 5 - 定义5......................................................................................................................... - 5 - 定义6: ..................................................................................................................... - 7 - 定义7......................................................................................................................... - 7 - 定义8......................................................................................................................... - 7 - 1.2利用凸函数的等价定义判断函数的凹凸性 ........................................................... - 7 - 例1 ............................................................................................................................ - 8 - 例2 ............................................................................................................................ - 8 - 2凸函数的性质 .............................................................................................................. - 9 - 2.1凸函数的性质及其证明 .......................................................................................... - 9 - 性质1......................................................................................................................... - 9 - 性质2....................................................................................................................... - 10 - 性质3....................................................................................................................... - 10 - 性质4....................................................................................................................... - 10 - 性质5....................................................................................................................... - 11 - 性质6....................................................................................................................... - 12 - 7....................................................................................................................... - 12 - 性质 性质8....................................................................................................................... - 12 - 性质9....................................................................................................................... - 12 - 性质10 ..................................................................................................................... - 13 - 性质11 ..................................................................................................................... - 14 - 2.2凸函数性质的应用 .................................................................................................- 14 - 例1 .......................................................................................................................... - 14 - 例2 .......................................................................................................................... - 15 - 3结束语 ....................................................................................................................... - 15 - - 2 - 凸函数的定义和性质 预备知识 凸函数是用来区分增减函数的增减方式是不同两种类型的函数;即使一个函数是增函数，也有如图1所示的两种方式，于是我们规定的增加方式叫做凹函数，反之把f(x)1 f(x)规定为凸函数。 2 (图一) ,x,x,I,,t,(0,1)定义1:设函数f(x)在开区间I上有定义，若，有 12 f[tx，(1,t)x],tf(x)，(1,t)f(x) (1) 1212 f[tx，(1,t)x],tf(x)，(1,t)f(x)() 1212 x,x则称f(x)在区间I上是凸函数或向下凸函数(凹函数或向上凸函数)，若上式中12,且，不等号是严格不等号“<(>)”，则称f(x)在区间I上是严凸函数(严凹函数)。 1如果将t取特殊值 ,那么定义一可以得到一种特殊的形式。2 ()()x，xfx，fx1212,x,x,I()f(x)定义2:设函数在开区间I上有定义，若，恒有 f,1222 ()()x，xfx，fx1212()( ) f,22 - 3 - 凸函数的定义和性质 则称在区间I上是凸函数(凹函数)。 f(x) 凸函数的几何特征 y f(x) A2 B A1 A xoX1XX2 (图二) A,AA(x,f(x))如图所示，是凸函数上的两点，它们对应的坐标分别为，f(x)12111 x,tx，(1,t)x且，那么存在，使得，于是A(xf(x))x,xx,(x,x)0,x,11221,212,12 f(tx，(1,t)x)tf(x)，(1,t)f(x)是图中的A点，而是图中的B点，B点的位置在A1212 f[tx，(1,t)x],tf(x)，(1,t)f(x)点的上方，也就是 1212 A(x,f(x))因此凸函数的几何意义就是，其函数上任意两点，之间弧段A(xf(x))11121,2 A与AAB位于弦AB的下方。换句话说，也就是任意两点之间的弧段位于曲线上任12一点切线的下方。 1凸函数的等价定义 1.1凸函数的等价定义 1xf(x)11 1xf(x),0,则称f,x,x,x,I,x,x,x定义3:;有为凸函数。证明:设1212 1xf(x)22 - 4 - 凸函数的定义和性质 x,xx,x21x,tx，(1,t)x,t,,有1,t,,于是定义二可改写为12x,xx,x2121 x,xx,x21f(x),f(x)，f(x),其中,式子两端乘以x,x,且x,x,xx,x,012121221x,xx,x2121 有 (x,x)f(x)，(x,x)f(x),(x,x)f(x),0 (2) 211221 (2)式可改写为: 1xf(x)11 1xf(x),0 1xf(x)22 ()()()()fx,fxfx,fx12,定义4:,x,x,x,I,x,x,x;有，则称为凸函数。 f1212x,xx,x12 x,x,(x,x)，(x,x)证明:由于 ，于是(2)式可写为: 2121 (x,x)f(x)，(x,x)f(x),(x,x)f(x),(x,x)f(x),0 211221x,xfx,fx,x,xfx,fx,()[()()]()[()()]02112 fx,fxfx,fx()()()()12,即x,xx,x12 定义四还可以表示凸函数的几何意义如图二所示是，连接曲线f(x)上的两点 f(x),f(x)1A(x,f(x))A(x,f(x))A(x,f(x))与的弦的斜率不超过与A(xf(x))111221,2x,x1 ()()fx,fx2的弦的斜率。 x,x2 x,I,q,0,i,1,2,？,n.且q，q，？，q,1定义5:若有， ii12n f(qx，qx，？，qx),qf(x)，qf(x)，？，qf(x)，则称为凸函数。证明: f1122nn1122nnf(qx，qx，？，qx)1122nn qqn,1n,f(qx，qx，？，(q，q)(x，x) 1122n,1nn,1nq，qq，qn,1nn,1n - 5 - 凸函数的定义和性质 qqqqn,1nn,1n 可知，,1，于是x，x是x与x中的一点，n,1nn,1n，，，，qqqqqqqqn,1nn,1nn,1nn,1n令其为x,即x,[x,x],于是原式可化为 k1k1n,1n f[qx，qx，？，(q，q)x] 1122n,1nk1 根据上面的方法依次做下去，可以得到 ; f[qx，(q，？，q)x]112nk(n,2) qf(x)，qf(x)，？，qf(x) 1122nn qqn,1n(q，q)(f(x)，f(x))=qf(x)，qf(x)，？， 1122n,1nn,1nq，qq，qn,1nn,1n qqn,1nf(xf(x)(f(x)，f(x)其中是与)连线上的一点，根据定义一，nn,1n,1nq，qq，qn,1nn,1n qqqqn,1nn,1nf(x)，f(x),f(x，x)可知，并可知 n,1nn,1nq，qq，qq，qq，qn,1nn,1nn,1nn,1n qqn,1nf(x，x),f(x) n1nk1,q，qq，qn,1nn,1n 于是原式 ,q，qf(x)qf(x)，qf(x)，？，() n,1nk11122 依次做下去，原式可化为 f(x),q，qqf(x)，？(q，) k(n,2)n,1n112 综上所述: f(x),q，qqf(x)，？(q，) f[qx，(q，？，q)x]k(n,2)n,1n112112nk(n,2) 因此定义五为增函数。 - 6 - 凸函数的定义和性质 x，x，？，xf(x)，f(x)，？，f(x)12n12nx,I定义6:若,,则称为凸函f(),(n,N)finn 数。 1证明:定义六是定义五的一种特殊形式，其中令时，定义五即为定qqq,,？,,12nn义六。 ,定义7:若在I内可导，且单调递增，则称为凸函数。 f(x)ff 证明:,x,x,x,I,x,x,x，根据微分中值定理，,,,，有x,,,x,,,x有 1212121122f(x),f(x)f(x),f(x)12,,=f(,)与=f(,) 12x,xx,x12 f(x),f(x)f(x),f(x)12,,,,已知f(,)f(,)，即 12x,xx,x12 因此由定义四可知在区间I上是凸函数。 f(x) ,,定义8:若在I内二次可导，且则称为凸函数。 f(x),0,ff ,x,x且x,x证明:，根据微分中值定理得: 1212 ,,f(x),f(x)21,,,,,f(,)x,x,0,又因为>0,, f(,)21x,x21 ,,f(x),f(x)因此,由定义七可知定义八成立。 21 x,x上述的定义中，若且，不等号是严格不等号“<(>)”时，则称为严凸函数。而且12, 不难证明若f(x)在区间I上是凸(严凸)时，则函数,f(x)在区间I上就是凹(严凹)。因此讨论凹函数就可以看成是讨论凸函数。上面的性质也可用于凹函数中。因此，证明中都只用证明凸函数，凹函数可同理推知。 上面给出了几种等价定义以及定义的推导过程，上面几种定义其实也是判断是凸函数的判别方法，因此可以用来判断凸函数。 1.2利用凸函数的等价定义判断函数的凹凸性 在初等数学中，可根据函数的图像直接判断函数的凹凸性，也可根据定义来判断。 - 7 - 凸函数的定义和性质 af(x),x(x,0)例1:判断(1)幂函数，(2)对数函数 2y,logx(a,0且a,0,x,(0,，,))f(x),(lnx),(3)函数,(4)函数;的凹凸f(x),x，sinxa 性。 a,2,,,,f(x),a(a,1)x解:(1)可知，当a,0,a,1时，有,即当a,0,a,1时，幂f(x),0 af(x),x是函数严凸的; a,,f(x),x严凹当时，有,即当时，幂函数分的。 f(x),00,a,10,a,1 2)设x,x,(0,，,) (12 11当时， [f(x)，f(x)],[logx，logx],logxxa,112a1a2a1222 x，xx，x1212 log()(),,fa22 11当 0,a,1时，[f(x)，f(x)],[logx，logx],logxx12a1a2a1222 x，xx，x1212 log()(),,fa22 f(x)是(0，,)f(x)是(0，,)因此当时，上凸的函数，当上的凹函数。 0,a,1时，a,1 ,f(x)在((2k,1),,2k,)(3)可知f(x),1，cosx，由定义七可知，是严凸，在 (2k,,(2k，1),)上是严凹的。 121,,,fx,x,fx,，,x(4)可知,由定义八可知， ()2ln,()(2ln)22xxx ,,,,当，f(x),0,因此f(x)为严凸;当，f(x),0，因此f(x)x,(0，e)时x,(e，，,)时为严凹。 f(x),xlogx，(1,x)log(1,x),(0,x,1)求f(x)例2:(1)设函数的最小值。 22 p,p？p满足p，p，？，p,1(2)设正数，求证: 122n122n plogp，plogp，？，plog2n,,n 1212222n2 ,g(x),xlogx，则g(x),logx，loge证明:(1)设 222 - 8 - 凸函数的定义和性质 1,, g(x),loge,0，因此当0,x,1时，g(x)为凸函数，2x g(x)，g(1,x)x，1,x111 于是,g(),g(),- ，当且仅当时x,1,x时，即x,22222 取等号成立，故 f(x),xlogx，(1,x)log(1,x)的最小值是-1. 22 (2)由(1)可知g(x),xlogx是凸函数，因此有 2 g(p)，g(p)，？，g(p)p，p，？p1122n122n,g(),g()2n2n2n 111,log,, 22n2n2n 因此，g(p)，g(p)，？，g(p),,n122n plogp，plogp，？，plog2n,,n即 1212222n2 2凸函数的性质 2.1凸函数的性质及其证明 性质1:两个凸函数的和还是凸函数。 g(x),f(x)是(a,b)上的两个凸函数，h(x),g(x)，f(x)证明:设 g(tx，(1,t)x),tg(x)，(1,t)g(x)即有 1212 f(tx，(1,t)x),tf(x)，(1,t)f(x) 1212 两式相加得: g(tx，(1,t)x)，f(tx，(1,t)x),tg(x)，(1,t)g(x) ，tf(x)，(1,t)f(x) 12121212 h(tx，(1,t)x),th(x)，(1,t)h(x) 1212 h(x)是凸函数，因此两个凸函数的和还是凸函数。 h(x)的图形是在g(x)与f(x)图形的分析:根据函数图像还可以判断上方。而且还会考虑 - 9 - 凸函数的定义和性质 到两个凸函数的差是否也是凸函数，但经过证明可知没有这样的性质。 是上的凸函数，是正常数，那么也是上的凸函数。 性质2:若函数f(x)kf(x)(a,b)(a,b)k 分析:性质很容易可证出。而且还可以得到，若函数是上的凸函数，是负f(x)(a,b)k常数，那么也是上的凹函数。 kf(x)(a,b) 性质2:若是奇函数，且当时是凸函数(凹函数)，那么当时，f(x)f(x)f(x)x,0x,0是凹函数(凸函数)。 若是偶函数，且当时是凸函数(凹函数)，那么当时，f(x)f(x)f(x)x,0x,0是凸函数(凹函数)。 分析:利用凹凸函数的定义及奇偶函数图像的性质可直接得出。 性质3:若函数是单调增加的凸函数，函数是凸函数，则函数也f(u)u,,(x)f(,(x))是凸函数。 t,(0,1),x,x,(a,b)证明:由于函数是凸函数，则对于任意的有 u,,(x)12 ,(tx，(1,t)x),t,(x)，(1,t),(x) 1212 因为f(u)是单调递增的，于是 f,[(tx，(1,t)x)],f[t,(x)，(1,t),(x)] 1212 因为f(u)是凸函数，所以 f[,t(x)，(1,t),(x)],tf,(x)，(1,t)f,(x) 1212 f,[(tx，(1,t)x)],tf,(x)，(1,t)f,(x)因此， 1212 f(,(x))所以函数也是凸函数。 ,1x,f(y)性质4:若y,f(x)是(a,b)上的连续递增的凸函数，则 是递增凹函数。 t,(0,1),x,x,(a,b)证明:因为f(x)(a,b)是上的凸函数，所以对任意的有 12 f(tx，(1,t)x),tf(x)，(1,t)f(x) 1212 - 10 - 凸函数的定义和性质 又因为是连续递增的，并且反函数单调性不变，则有 f(x) 11,,f(tf(x)，(1,t)f(x)),f(f(tx，(1,t)x)),tx，(1,t)x 121212 11,,,tf(x)，(1,t)f(x) 12 ,1x,f(y)所以是递增凹函数。 性质5:是I上的凸函数，其充要条件是对一切，恒有 f(x)x,x,x,I,(x,x,x)123123 f(x),f(x)f(x),f(x)f(x),f(x)313221,,。 x,xx,xx,x213132 证明:因为是I上的凸函数，对，由定义四可知f(x)x,x,x,I,(x,x,x)123123 f(x),f(x)f(x),f(x)3221, x,xx,x2132 由定义三可知是凸函数可等价于 f(x) (x,x)f(x)，(x,x)f(x)，(x,x)f(x),0 321132213 x,x,(x,x),(x,x)由于于是 323121 ([x,x),(x,x)]f(x)，(x,x)f(x)，(x,x)f(x),0 31121132213 f(x),f(x)f(x),f(x)3121, 最终可得到: x,xx,x2131 f(x),f(x)f(x),f(x)3132,同理可以得到: x,xx,x3132 f(x),f(x)f(x),f(x)f(x),f(x)313221,,所以: x,xx,xx,x213132 A(x,f(x))A(x,f(x))分析:此性质的几何意义是分别连接曲线f(x)上的两点与的111222 f(x),f(x)f(x),f(x)3121A(xf(x))A(x,f(x))弦的斜率不超过与的弦的斜率不超333111x,xx,x2131 f(x),f(x)32A(xf(x))A(x,f(x))过与的弦的斜率。 333222x,x32 - 11 - 凸函数的定义和性质 性质6:若函数在R上是凸函数，且有界，则是常数函数。 f(x)f(x) 性质7:若是上的凸函数且不恒为常数，则存在一点c使得在f(x)(,,,，,)f(x)(,,,c)上递减，在上递增。 (c,，,) 证明:若是上是凸函数，所以且，则 f(x)(,,,，,),a,b,R,x,(a,b)a,b f(b),f(a)f(b),f(x)f(b),f(a)由性质六可知，,，因此时，而f(b),f(a),0b,ab,xb,a f(b),f(x)，即，，所以 f(b),f(x),0f(b),f(x),0b,x 当且时，在上递增; f(b),f(a)f(x)(b,，,)a,b 当且时，在上递减; f(b),f(a)f(x)(,,,b)a,b 所以存在一点c使得在上递减，在上递增。 f(x)(,,,c)(c,，,) x,x,I,(x,x)性质8:若函数在I内可导，在区间I内是凸函数，则有有f(x)1212,,f(x),f(x)。 12 x,x,I,(x,x),x:x,x,x证明:若函数在区间I内是凸函数，则有，，由f(x)121212 f(x),f(x)f(x),f(x)21x与x定义四有:，有已知函数在都可导，根f(x),12x,xx,x12 据极限保号性定理分别有 fx,fxfx,fxf(x),f(x)()()()()1212,f(x),lim 即 ,lim1x,xx,x11x,xx,xx,x1212 fx,fxfx,fxf(x),f(x)()()()()1221,lim,f(x)与 即 ,lim2x,xx,x22x,xx,xx,x2112 ,,f(x),f(x)所以。 12 f(x)性质9:若函数在区间I内是凸函数，则不等式f(qx，qx，？，qx),qf(x)，qf(x)，？，qf(x)， 1122nn1122nn x,I,q,0,i,1,2,？,n.且q，q，？，q,1其中。 ii12n - 12 - 凸函数的定义和性质 证明:应用数学归纳法 当时，由凸函数定义，有 n,2 ，即不等式成立。 f(qx，qx),qf(x)，qf(x),q，q,1n,21122112212 f(qx，qx，？，qx),qf(x)，qf(x)，？，qf(x)设成立，即。 n,k1122nn1122nn证明也成立。事实上， n,k，1 f(qx，qx，？，qx，qx)1122nnn，1n，1 qqnn，1,f(qx，qx，？，qx，(q，q)(x，x)1122n,1n,1nn，!nn，1q，qq，qnn，!nn，! qqnn，1,qf(x)，qf(x)，？，qf(x)，(q，q)f(x，x)1122n,1n,1nn，!nn，1q，qq，q所以nn，!nn，! qqnn，1,qf(x)，qf(x)，？，qf(x)，(q，q)[f(x)，f(x)]1122n,1n,1nn，!nn，1q，qq，qnn，!nn，!,qf(x)，qf(x)，？，qf(x)，qf(x)，qf(x)1122n,1n,1nnn，1n，1,qf(x)，qf(x)，？，qf(x)1122n，1n，1 命题成立。 性质十是由丹麦数学家詹生发现的，所以也成詹生不等式。性质十其实是定义五的逆命 题。 ,,,x,I有f(x),0性质10:若函数在区间I内存在二阶导数，且，则詹生不等式f(x) 成立，即 f(qx，qx，？，qx),qf(x)，qf(x)，？，qf(x) 1122nn1122nn x,I,q,0,i,1,2,？,n.且q，q，？，q,1其中。 ii12n x,qx，qx，？，qx,I证明:设由泰勒公式，有 01122nn ,,f(),2i,x,xf(x),f(x)，f(x)(x,x)，(x,x)，其中在与之间。已知011iii00002! ,,,f(x),f(x)，f(x)(x,x),i,1,2,？,n.,x,I有f(x),0，从而 i00i0 q将上式的不等号两端乘整数,在两端分别相加，有 i qf(x)，qf(x)，？，qf(x),(q，q，？，q)f(x)，1122nn12n0 - 13 - 凸函数的定义和性质 ,f(x)(qx，qx，？，qx,x),f(x)01122nn00 (qx，qx，？，qx,x,0)1122nn0 f(qx，qx，？，qx),qf(x)，qf(x)，？，qf(x)即。 1122nn1122nn性质11:若函数在区间I是凸函数，则不等式 f(x) xxxfxfxfx，，？，()，()，？，()12n12nf (),nn 1分析:性质12是性质10的一种特殊形式，当qqq时，就可以的到性质,,？,,12nn12的式子。根据性质12在解决凸函数极值问题时有一个有效的方法:如果对于 x,x,？x,(a,b)x，x，？，x,kL,f(x)，f(x)，？，f(x)有是定值，那么在12n12n12n kxxx时，达到最大(小)值，其最大(小)值是,,？,,()12nn xxx，，？，k12nnfnf。 (),()nn 2.2凸函数性质的应用 a,0,i,1,2,？,n,例1.设证明 1 ，，？，aaan12nn,？,aaa 12n111n，，？，aaa12n 1,,证明:设f(x),,lnx,,x,(0,，,)，有，从而，函数f(x),,lnx在(0,，,)f(x),,02x 1是严凸，根据性质10，取 x,a,(0,，,),q,,i,1,2？,n.iiin q，q，？，q,1.有 12n aaaaaalnlnlnnn1212,，，？，,,,,？, ln()nnnnnn 111a，a，？，a12nnnnn,ln(),,(lna，lna，？，lna),,lnaa？a或 12312nn - 14 - 凸函数的定义和性质 aaa，，？，12nn即aaa .？,12nn 11q，q，？，q,1取x,,(0,，,),q,,i,1,2？,n.，.同样的方法，有 12niiani nn,aa？a 12n111，，，？aaa12n 于是，,n,N，有 ， a，a，？，an12nn,aa？a, 12n111n，，？，aaa12n 例2:若有意义的实数，试确定的www,2p,q，3p,2q，6,2q,其中p、q是使 最大值。 w,x解:函数是在上是凸函数。由于二次根号内的数应为非负数，即[0,,) 都在内，且是定值，于是可2p,q、3p,2、6,2q[0,,)2p,q，3p,2q，6,2q,6 p,q,2时，w取知2p,q,3p,2,6,2q，即得最大值，最大值为 (2p,q)，(3q,2p)，(6,2q)w,3,,32 max3 3结束语 第一部分 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 了凸函数的八种常见等价定义，同时利用数学分析的知识、技巧和思想方法对它们之间的等价关系进行了讨论和证明，类似的用同类的方法还可以找到等价的定义，这是我们以后研究的方向。第二部分总结证明凸函数性质，从凸函数相加，复合函数以及将它推广到多元等情况研究了凸函数的性质，还给出了例题，通过上面的例题可以看出，图函数的应用领域非常广泛，利用凸函数的性质证明不等式可以把复杂等问题简单化，从而达到证明不等式的结果。 参考文献: - 15 - 凸函数的定义和性质 【1】刘玉琏，傅沛仁 数学分析[M] 北京教育出版社 2003:256-265. 【2】华东师范大学数学系 数学分析[M] 北京教育出版社 2004:148-151. 【3】程龙 初等极值问题[M] 上海教育出版社 1984:26-30. 【4】史树中 凸性[M] 湖南教育出版社 1991:65-76. 【5】刘光中 凸分析与极值问题[M] 高等教育出版社 1991:115-126. 【6】古小敏 对凸函数定义之间等价性的进一步研究[J] 重庆工商大学学报 2009年4月. 【7】刘开生，王贵军 凸函数的性质及其判断[J] 天水师范学院学报 2008年9月. 【8】朱玉明，杜漫 凸函数的性质和应用[J] 沙洋师范高等专科学校学报2009年5月. - 16 -