(WORD)-用Mathematica求偏导数与多元函数的极值

(WORD)-用Mathematica求偏导数与多元函数的极值 用Mathematica求偏导数与多元函数的极值 ?10 用Mathematica求偏导数与多元函数的极值 10.1 用Mathematica作三维函数图 在多元函数微积分中，作图可以使得问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 更为直观，易于理解。这里首先给大家介绍“用Mathematica作三维函数图”。 1 常用的三维绘图函数 Plot3D[f[x,y],{x,a,b},{y,c,d},可选项]: 作f(x,y)的图形。 ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,a,b}{v,c,d}]: 作三维参数方程的图形。 Show[f1,f2,f3,„]: 将多个图形组合重新显示。 2 常用的可选项 Plot3D函数有许多可选项可以用来修饰三维图形的外观。可以借助于可选项改变图形的外观，以便于观察。 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 10-1 常用的可选项 选择合适的观测点在也有助于观察图形，下面是典型的ViewPoint值: 第 943 页 共 13 页 表10-2 典型的ViewPoint值 例10.1 画出函数z sinx2,y2图形，并使图形表面不上色。 解 In[1]:= Plot3D[Sin[Sqrt[x^2+y^2]],{x,0,2Pi},{y,0,2Pi}] Out[1]= -SurfaceGraphics- In[2]:= Show[%,Shading->False] 第 944 页 共 13 页 Out[2]= -SurfaceGraphics- 例10.2 画出函数z sinxcosy图形，并使调整图形观测点观察图形是否 对称。 解 In[1]:= Plot3D[Sin[x*y],{x,0,2Pi},{y,0,2Pi},AxesLabel- >{“x”,”y”,”z”}] Out[1]= -SurfaceGraphics- In[2]:= Show[%,ViewPoint->{,1,-1,2}] 第 945 页 共 13 页 Out[2]= -SurfaceGraphics- 例10.3 画一单位双曲面。 解 首先，写出单位双曲面的参数方程 x=Cosh[u]*Cos[v] y=Cosh[u]*Sin[v] z=u In[1]:=ParametricPlot3D[{Cosh[u]*Cos[v],Cosh[u]*Sin[v],u},{u,0,P i}, {v,-Pi,Pi},AxesLabel->{“x”,”y”,”z”}] Out[1]= -Graphics3D- x2y2z2 ,, 1图形。 例10.4 画出函数4316 第 946 页 共 13 页 解 In[1]:=ParametricPlot3D[{2Sin[u]*Cos[v],3Sin[u]*Sin[v],4Cos[u],{u, 0,Pi}, {v,-Pi,Pi},AxesLabel->{“x”,”y”,”z”}] Out[1]= -Graphics3D- In[2]=: Show[%,ViewVertical->{1,0,0}] Out[2]=-Graphics3D- 例10.5 画出由x,3y 0与x2,y2 1所围的立体图形。 解 In[1]:= a1=Plot3D[x+2y,{x,0,2},{y,0,2},DisPlayFunction->Identity]; a2=PrametricPlot[{1+Cos[u],Sin[u],v},{u,0,2Pi},{v,0,3.5}, DisPlayFunction->Identity]; a3=Plot3D[0,{x,-1,2},{y,-1,2},DisPlayFunction->Identity]; Show[a1,a2,a3,AxesLabel->{“x”,”y”},AspectRatio->Automatic, PlotRange->{0,4},DisplayFunction->$DisplayFunction] 第 947 页 共 13 页 Out[1]= -Graphics3D- 9.2 用Mathematica求偏导数与多元函数的极值 函数Dt x^n,x 实际上给出了偏导数，在这个表达式中，假设n个不是 x的函数，在Mathematica中，它有一个函数Dt，它代表的是全微分，在这 个函数中，所以的变量都有联系。在Mathematica的说明中，D f,x 代表 了 为Dt表示了“全微分”。 例如: 1. 下面给出了一个全微分，其中n是x的函数，Dt f,x 则代表了 df。 dx fdf，而Dt f,x 则代表了。可以认 xdxIn[1]: Dt[x^n,x] nnOut[1] x(,Dt[n,x]log[x])x 2. 下面是一个全微分。其中Dt f,x 代表了dx。 In[2]: Dt[x^n] nDt[x]Out[2] xn(,Dt[n]log[x])x 注:在Mathematica中，还是有些微分函数用于直接计算的，如下表所示: 表10-3 部分的微分函数 第 948 页 共 13 页 例10.6 求下列函数对x的偏导数 1. u lnx,x2,y2; 2. u arctg ysix,,x,y; 1,xy3. u e ; 4. u= x 。 y z 解In[1]:= D[Log[x+Sqrt[x^2+y^2] ; Simplify[%] (*通常Mathematica不自动化简微 分结果，要借助于Simplify函数*) Out[1]=1 x,y22 第 949 页 共 13 页 In[2]: = D[ArcTanh[(x+y)/(1-x*y)],x]; Simplify[%] 1,y2 Out[2]= 222)1,4xy,y,x(,1,y In[3]: = D[E^Sin[y/x],x]; Simplify[%] e Out[3]= , y Sin x y yCos x x2 In[4]: = D[(x/y)^z,x]; Simplify[%] x y z Out[4]= x z z例10.7 设z xsiny,ysinx，求， y y33z 2z 6z， 2，33。 x 1, x xyy 1 解 In[1]:= Clear[z,x,y]; z[x,y]:=x^3*Sin[y]+y^3Sin[x]; /*定义二元函数.*/ D[z[x,y],y] Out[1]= x3Cos[y],3y2Sin[x] In[2]:= D[z[x,y],y]/.{x->1,y->1} /*给函数的变量赋值.*/ Out[2]= Cos[1],3Sin[1] In[3]:= D[z[x,y],{x,2}] Out[3]= ,y3Sin[x],6xSin[y] In[4]:= D[z[x,y],{x,3},{y,3}] Out[4]= ,6Cos[x],6Cos[y] z z 2zu例10.8 设z xlny,x ,y 3u,2v，求，，2。 u vy v2 解 In[1]:= x[u_,v_]:=u/v; 第 950 页 共 13 页 y[u_,v_]:=3u-2v; z[x_,y_]:=x[u,v]^2*Log[y[u,v]]; D[z[x,y],u]; Simplify[%] u( Out[1]= 3u,2Log[3u,2v])3u,2v 2v v,Log[3u,2v]) v3In[2]:= D[z[x,y],v];Simplify[%] 2u2(Out[2]= In[3]:= D[z[x,y],{v,2}];Simplify[%] 2u2(6u,5v)v,3(3u,2v)2Log[3u,2v])Out[3]= 24(3u,2v)v 例10.9 设z f(2x,y),g(x,xy)，其中函数f(t)二阶可导，g(u,v)具有二 2z z 2z阶连续的偏导数，求，2，。 x x x y 解 In[1]:= D[f[2x-y]+g[x,x*y],x] Out[1]= 2f'[2x,y],yg(0,1)[x,xy],g(0,1)[x,xy] In[2]:= D[f[2x-y]+g[x,x*y],{x,2}] Out[2]= 4f''[2x,y],yg(1,1)[x,xy],y(yg(0,2)[x,xy],g(1,1)[x,xy]),g(2,0)[x,xy] In[3]:= D[f[2x-y]+g[x,x*y],x,y] Out[3]= ,2f''[2x,y],g(0,1)[x,xy],xyg(0,2)[x,xy],xg(1,1)[x,xy]) 其中g(1,0)[u,v]为 g(0,2)[u,v]为 g。 v2 g g g g，g(0,1)[u,v]为，g(1,1)[u,v]为，g(2,0)[u,v]为2， u v u v u y z z z,xy。 例10.10 已知函数z xy,xF()，证明x,yx x y 解 In[1]:= z=x*y+x*F[y/x]; D[z,x]*x+y*D[z,y]-z-x*y; Simplify[%] Out[1]= 0 例10.11 求由下列方程所确定的隐函数和导数或偏导数: 1(lnx2,y2 arctgydx， 求。 xdy 2(x ucosvv u v u v,y usin，求，，，。 uu x x y y 解 In[1]:= eq1=Log[Sqrt[x^2+y[x]^2]= = ArcTanh[y[x]/x]; D[eq1,x]; Solve[%,y′ [x]]; Simplify[%] x3,x2y[x],xy[x]2,y[x]3 Out[1]= y'[x] 3 223 x,xy[x],xy[x],y[x] In[2]:= D[{x==u[x]*Cos[v[x]/u[x]],y==u[x]*Sin[v[x]/u[x]]},x]; Simplify[Solve[%,{u′ [x],v′[x]}]] v[x] Cos[]v[x] v[x]v[x]u[x] Out[2]= u'[x] Cos[],v'[x] ,Sin[], u[x]u[x]u[x] In[3]:= D[{x==u[y]*Cos[v[y]/u[y]],y==u[y]*Sin[v[y]/u[y]]},y]; Simplify[Solve[%,{u′ [y],v′[y]}]] v[y] Sin[]v[y] v[x]v[y]u[y] Out[3]= u'[y] Sin[],v'[y] Cos[], u[x]u[y]u[y] 例10.12 求下列极值问题: 1(函数f(x,y) x3,3xy,15x,12y. 2(求函数f(x,y) x2,y2,12,16y，在x2,y2 25上的最大最小值. In[1]:= Clear[x,y,z,a,b,c,d,t]; 解 1( f[x_,y_]:=x^3+3*x*y^2-15x-12y; a=D[f[x,y],{x,2}]; b=D[f[x,y],x,y]; c=D[f[x,y],{y,2}]; d=a*c-b^2; t=Slove[{D[f[x,y]= =0,x],D[f[x,y]= =0,y]},{x,y}]; l=Length[t]l For[i=1,i<=1,i++, Print[t[[i]]; d1=d/.t[[i]]; a1=a/.t[[i]]; z=f[x,y]/.t[[i]]; Which[d1>0&&a1<0,Print[“fmax=”,z], d1>0&&a1>0,Print[“fmin=”,z], d1= =0,Print[“No Sure”,z], d1= =0,Print[No]] ] Out[1]= {x->-2,y->-1} fmax=28 {x->-1,y->-2} No {x->1,y->2} No {x->-2,y->-1} fmin=-28 2( 先求f(x,y)在圆域内x2,y2 25的最大最小值: In[2]:= f[x_,y_]:=x^2+y^2-12x+16y; t=Solve[{D[f[x,y]= =0,x],D[f[x,y]= =0,y]},{x,y}] Out[2]= {{x->6,y->-8}} (*驻点*) In[3]:= x^2+y^2-25/.t[[1]] Out[3]= 75 该驻点在圆外，圆内无驻点，故不取极值。下面考虑圆x2,y2 25上的最值。这是在约束条x2,y2 25下的条件极值,用Lagrange乘数法求解。 In[4]:= Clear[x,y,F,t]; F[x_,y_,t_]:=f[x,y]+t(x^2+y^2-25); s=Solve[{D[f[x,y,t]==0,D[f[x,y,t]==0,y],D[F[x,y,t]= =0,t]],{x,y,t}} Out[4]= {{t->-3,x->-3,y->4},{t->1,x->3,y->-4}} In[5]:= F[x,y]/.s[[1]] Out[5]= 25 In[6]:= F[x,y]/.s[[2]] Out[6]= -75 练习10.1 1 求下列函数的偏导数。 (1) z (3) u 1x2,y2 (2) z exy yzx,, (4) u (xy)z xxz dz。 dx2 求下列函数的偏导数或导数。 (1) 设z arctg(xy),y ex， 求 3z 3z(2) 设z xln(xy),求2， xy xy2 (3) 设z x2lny,x u z z,y 3u,2v,求，。 v u v u uxy u(4) 设u f(,)，求，，。 z xyz y x(5) 设z f(x,y,xy,)，求zx,zxx,zxy。 y 3 求下列方程所确定的隐函数的导数。 (1) x2y,3x2y3,4 0，求 (2) e,xy,2z,ez 0，求dy。 dx z z，。 x y z x z，，。 x y y(3) z f(x,y,z,xyz),求 (4) x2,y2,z2 a2,x2,y2 ax，求dydz，。 dxdx4 求函数f(x,y) x2,5y2,6x,10y,6的极值。 5 求函数z x2,y2，在{(x,y)|x2,y2 4}范围内的最大最小值。