均值不等式的
证明
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方法
柯西证明均值不等式的方法
by zhangyuong(数学之家) 本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法,这种方法极其重要。 一般的均值不等式我们通常考虑的是: A,Gnn
一些大家都知道的条件我就不写了
x,x,...,x12nn ,xx...x12nn
我曾经在《几个重要不等式的证明》中介绍过柯西的这个方法,现在再次提出: 二维已证,四维时:
4a,b,c,d,(a,b),(c,d),2ab,2cd,4abcd,4abcd 八维时:
484(a,b,c,d),(e,f,g,h),4abcd,4efgh,8abcdefgh这样的步骤重复n次之后将会得到
x,x,...,xn122n2 ,xx...xn12n22
x,x,,x...12n令 x,xx,xx,x,,x,,A,...,;...n,,11nnn1n22n
由这个不等式有
1nn1,nnA,(2,n)Annn2,n222即得到 A,,xx..xA,(xx..x)A1212nnn2
x,x,...,x12nn ,xx...x12nn
这个归纳法的证明是柯西首次使用的,而且极其重要,下面给出几个竞赛题的例子:
例1:
n1n 若证明,,,,01(1,2,...,)ain,i1,1a,1iin,1(...)aaa12n
例2:
n1n 若证明,,,rin1(1,2,...,),i1,r1,1iin,1(...)rrr12n
这2个例子是在量在不同范围时候得到的结果,方法正是运用柯西的归纳法:
给出例1的证明:
当时n,2
112,,,,,,,,,(1)(2)2(1)(1)aaaaaa12121211,,aa1,aa1212
设paqaa,,,,a2121
2,,,,,,(1)(2)2(1)qppq
2,,,,,,,,,,pqpqqpqqqpq22(1)2(1)22,而这是元均值不等式
因此
111111,,,,,2()1111,,,,aaaa11,,aaaa12341234
4,将此过程进行下去
1,aaaa1234
nn212因此,,11,ai1,ni21(...),aaan122
1
n令aaaaaaG,,,,,...(...)nnnn1212,,2
nnn1122n有,,,,(2)nn,21n, 111,,,aGGi1,innn221(),GG
n1n即,,11,,aGi1,i
例3:
nn11已知个实数都记nrstuvinRrSs,,,,,5,,,,1(1),,,,iiiiiiinnii
nnn111TtUuVv,,,,求证下述不等式成立:,, ,,,iiinnniii
nrstuv,1RSTUV,1niiiii()(),,rstuvRSTUV,,11i,1iiiii
要证明这题,其实看样子很像上面柯西的归纳使用的形式
xe,1其实由均值不等式,以及函数是在R上单调递减 fx()ln,xe,1
因此
nnnnnn
nnnnnnRSTUVrstuvrstuv,,,,,,,,iiiiiiiiiiiiiiii,,,,,,111111
n
n1rstuv,,iiiii1RSTUV,i,1n(),n1RSTUV,n1rstuv,iiiii,i,1我们要证明:
n
nrstuv,1,iiiiinrstuv,1,1iiiiii (),,nrstuv,1,1iiiiiinrstuv,1,iiiii,1i证明以下引理:
n
nx,1,inx,1,1ini ()(),,nx,1,1iinx,1,i,1i
xx,1xx,,1112212n,,,2()()()时,xx,,11xx,11212
2令AxxAxxxxxxxx,,,,,,,,,,(1)(1)1212121212
2,,,,,,,,,,,,2(1)(1)(1)AxxxxAxxxxxxxx121212121212,,,,2(1)Axxxx1212
2,,,,,(1)(1)2(1)AxxAxx1212
显然成立
n2,nnnnn2x,1nnG,1GG,12,n2in因此()(),,,(),Gxn,,i2,nxG,,11ii,,11inn2GG,1
nG,12,()G,1
n nx,1i,nx,1i,1ni()(),因此,nx,1i,1inx,1i,i,1
所以原题目也证毕了
这种归纳法威力十分强大,用同样方法可以证明Jensen: ()()fx,fxx,x1212~则四维: (),f22
x,xx,x,x,xx,x34123412 ()()()()2()2()4()fx,fx,fx,fx,f,f,f1234224一直进行n次有
()()...()...fx,fx,,fxx,x,,xnn121222, (),fnn22
x,x,,x...12n令 x,xx,xx,x,,x,,A,...,;...n,,11nnn1n22n
nnf(x),...,f(x),(2,n)f(A)nA,(2,n)An1有 ,f(),f(A)nn22
所以得到
fxfxfxxxx()()...()...,,,,,,12n12nf (),nn
所以基本上用Jensen证明的题目都可以用柯西的这个方法来证明
而且有些时候这种归纳法比Jensen的限制更少
其实从上面的看到,对于形式相同的不等式,都可以运用归纳法证明
这也是一般来说能够运用归纳法的最基本条件