初等几何研究第一章习题的答案(2)

初等几何研究第一章习题的 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 (2)初等几何研究试题答案,II,二、关于和、差、倍、分线段(角)P49301.等腰中，的平分线交AC于D，证明:BD+AD=BC。ABC，,，AB100,,,,证:在BC上取点D,使BD=BD,连结DD且BD平分ABC，,00又BD=BD,？，,，,120,40C？00？，,380？，,240,，，，,，23C,,0？,CDDD？，，，,3180A即，,，2C又，,点A、D、D、B四点共圆且DD=AD，,，14？？,,BC=BD+CD=BD+AD？2.已知，ABCD是矩形，BC=3AB,P、Q位于BC上，且BP=PQ=QC,求证:?DBC+?DPC=?DQC解:作矩形BCEF与矩形ABCD相等，在EF上选取点O使得FO=2EO.连结BO、DO。由图可知，由BO=DO，且有?BFO??OED,??FBO+?BOF=90º?BOF=?DOE??BOF+?DOE=90º??BOD=90º?BOD为等腰直角三有?DBO=45º??DBP+?QBO=45º??DPC=?QBO??DBP+?DPC=45º??DQC为等腰直角三角形?有?DQC=45º因此，有?DBP+?DPC=?DQC3、圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于X，由X向AB、BC、CD和DA作垂线，垂足分别为A?、B?、C?和D?。求证:A?B?+C?D?=B?C?+D?A?证明:(方法一)?X、A?、A、D?四点共圆(对角和180?)CD??XA?D?=?XAD?又??XAD?=?XBC(圆周角)C′同理?XA?B?=?XBC,即?XA?D?=?XA?B?同理可得?XB?A?=?XB?C?,?XC?B?=?XC?D?,B′D′?XD?C?=?XD?A?X?X是四边形A?B?C?D?的内心。?A?B?+C?D?=B?C?+A?D?(方法二)利用正弦定理.设r是四边形ABCD的,,外接圆半径～在以BX为直径的圆上AB,,,,ABXBB,sinCDXDD,sin同理？,,,,ABCDBDBAB，,sin=2rsinsin？,,,,BCADrCD，,2sinsin同理可得ABA′又？，A和，B和，D是两对互补的角，C;,,,,,,,,ABCDBCAD，,，？，，4.在梯形ABCB中，AB//CBD=2B,求证AB=AD+DC1，，？证明:在AB上取一点E，使AE=AD.AED=ADE，，因为AB//CD所以EDC=AED，，，所以AED=ADE=EDC，，，，所以ADC=2AED因为D=2B，，所以AED=B？所以DE//CB四边形DEBC是平行四边形所以DC=EB所以AB=AE+EB=AD+DCA5已知:G是ABC的重心，过G作直线分别与AB,AC,交于E,F，求证:EG2GF。,证明:在EF上取点D使DH//AB,故BEG,GDF,,,故G为ABC的重心，,HE则GH/BG=1/2=DG/EG,故EG=2DG2GF,G命题得证DF6.已知:在凸四边形ABCD中，ACBD于O，且OA>OC，,BCOB>OD，求证:BC+AD>AB+CDA证明:如图做AD=AD，BC=BCAD=AD，BC=BCD？1111C1四边形CDCD是菱形，则CD=CD？1111O又在ABE、E中AE+BE>AB,>,,CDCE，DECD？E111111CD即BC+AD>AB+CD？BC，AD,AB，C1111D17.在直角梯形ABCD中，AB是垂直二底的腰，另一腰切以AB为直B径之圆于E，过E作底的平行线交AB于F，求证AC平分EFAD证明:连结AE并交于的延长线于G如图因为AD=DEAED=DAE又AED=CEG因为AD//BC，，，，？AD//BGDAE=EGCEGC=GEC，，，，？？？CE=CG又因为BC=CBC=CGC是BG的中点？？？M也是EF的中点FM=MEAC平分EF？？？EFE8、在梯形ABCD的底边AD上有一点E，使?ABE、?BCE、?CDEAD的周长相等。求证:BC=BCG2’CC证明:在BC边或其延长上取点C′，使BC′=AE,B,//C?ABCD是平行四边形?ADB,,FCC又?AE=B?AEB是平行四边形,,ECC?AB=E??ABE、?BE周长相等,C又??ABE、?BEC周长相等?=C1AD?BC=AE同理BC=ED?BC=ADEF29、在?ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，D为BC上的任一点，过D作DP?CF交BF于P,作21DQ?BE交CE于Q，连结PQ分别交BE、CF于R、S，求证:RS=PQ3证明:FC与DQ的交点为G，BE与FC的交点为HAHE1由题知点H为?ABC的重心，则,EB3SQQGF?FC?PD?又?QD?EB,QPQDPHERSQGDHE1GQHES??,,,,QDEBQPQDEB3BG11?SQ=QP同理可证得PR=QP33D1?RS=PQC310.以矩形ABCD的各顶点为中心～分别以为半径作圆～使～再作两r，r，r，rr，r,r，r,ACABCDACBD对圆?A、?C、?B、?D的四条外公切线。求证:这四条外公切线围成的四边形有一内切圆。证明:连结AC、BD交于O～?A、?C的两条M公切线为EF、MN～E、F、M、N为切点。连AE、CF过点O作OP?EF～垂足为P～Q作OQ?MN～垂足为QN?四边形ACFE为直角梯形AB11?OP,(AE，CF),(r，r)AC2211O同理OQ,(AM，AN),(r，r)AC22E同理点O到其他一对公切线长为DC1(r，r)BD2Er，r,r，r又ACBD?点到4条公切线的距离相等F?4条公切线所围成的四边形有内切圆11.在凸六边形ABCDEF中，所有的内角相等，求证:AB-DE=EF-BC=CD-FA证明:?六边形各内角相等，?其内角皆为120?ED?各对边互相平行作?ABCP?CDEQRPQ=?AB-DE?同理，再作?AFEQ，则PR=?AB-DE?QR=?CD-AF?PQC?PQR各内角皆为60??PQ=QR=RP?AB-DE=EF-BC=CD-FAF3BA12.利用上题，若长度分别为a,aa的线段，且满足条件a-a=a-a=a-a2……61425361求证:这6条线段可以作为一个各内角皆相等的凸六边形，E证:利用上题结果，可如下作之:DR(1).先以彼此相等的三数a-a,a-a,a-a为边作正?PQR142536(2).延长PQ至C，QR至E，使PC=a，则QC=a,使QE=a,则QR=a436P(3).在PC异侧各作?PCBA、?QCDEQCE分别引QE、PA的平行线，设它们相交于F，则ABCDE(4).过A、F即为所求。BA13.设?O、?O和?O是共点于O的三个相等的圆周，A、B、O是1230它们两两相交的另一点。求证:OA+OB+OC=180证明:利用两等圆的连心垂直平分公共弦设?O、?O交于A，?O、?O交于B，?O、?23,,,O交于C再连OO、OO和OO，则因OB、OC分别垂直,122331平分OO、OO，3112O2C1故知?OOO=?OOO，?OOO,(?BOO，?213,,,,,21AOOC),，，OBOC),211O同理:?O,()OCOA，，,，OOAOB(),O31220O3所以，180=?OOO，?O，?O,OAOBOC，，21323B14.如图，设?O、?O、?O是相等的三个圆周，?123O与?O相交于A、A，?O与?O相交于B、B，?121231AO与?O相交于C、C，求证:311o2AABBCCABBCCA111111111，，,，，,:()180C1证明:连结OO，OO和OO，则有?O=?OOC+?BOO1223311211112Bo111A1,?BOC=(?BOB+?COC),?BOC11111111B21C1111,，,()BBCCBCo32同理121111，,，,OCCAACA()2131111，,，,O()AABBAB24