【doc】利用柯西不等式求椭圆上点到直线的最大值

【doc】利用柯西不等式求椭圆上点到直线的最大值【doc】利用柯西不等式求椭圆上点到直线的最大值利用柯西不等式求椭圆上点到直线的最大值山柯两等式: . ? . (3Xo+4yo)=(6?了Xo+12?等) <(6+l2)(鲁2+--~-)=l80,() . ? .-6<3xo+4yo6, . ? .20—6,5?3jcn+4+2020+6?亏, .20—645 5 20+645<一 5 <??—— 5 Blj—20-— 6q~ 5 20+645 5’ ()式等号成立6= 12 ,...

【doc】利用柯西不等式求椭圆上点到直线的最大值利用柯西不等式求椭圆上点到直线的最大值山柯两等式: . ? . (3Xo+4yo)=(6?了Xo+12?等) <(6+l2)(鲁2+--~-)=l80,() . ? .-6<3xo+4yo6, . ? .20—6,5?3jcn+4+2020+6?亏, .20—645 5 20+645<一 5 <??—— 5 Blj—20-— 6q~ 5 20+645 5’ ()式等号成立6= 12 ,即3jc0. xoi三yo|2 ?26? 联立..一1.9 3Xo, f2f2 解 X0T 一 ‘ 645 或 r645’解得{一或{5一Il【Yo了’【Yo一了’ 代入(1)验证可知,点(2qr5/5, 6,8/5)到直线的距离达到最大,一=(20+6vt’5)/5. 例2已知椭圆X2 +9=l,在此椭圆上求一点P,使得点P到直线3x+4y一10=0的距离d.取最大值. d= 分析设P(xo,Yo),则 3Xo+4yo一101 山柯两等式: ? ? ‘(3Xo+4yo)_(6+l2 <(6+l2)(等2+争_l80, ? ‘ .一 6,/53jc0+4Yo?6</5, ? ‘ .- 645—10?3Xo+4. y0—106,/5—10, ? ‘ .13jc0+4.y0—101?10+645, 5 l0+645 5 . ? . d—10 _ +6,,/5 ,. ?d,:—10 _ +6qr5 . 用例l,2同样的方法可以求出椭圆上哪点到直线的距离最小值. 山以上两例可推出一般的情形: 已知直线L:Ax+曰y+C=0,椭圆:/a+ Y/b=l,P(xo,Yo)为椭圆上任一点,点P到, 的距离为d,确定d的表达式. 解山公式:可知, ?+ . . ‘(+)=(+6华) += 一4,????????,,????? (口.+6)(+):口.+6. . ‘ .一 ?口A+b2B+Byo ?4—a2A2+—b2B2. -..一?a.A+b’B+C?Axo+Byo+C 丽+c, 等号啦龃=时, tIJYo=b2B j(0. i)?I,C>0时, IAxo++CIaA+b2B+C 一一B .,?口A+b2B一C一—一. ii)I,C<0时, IAx0+8y0+CIaA+b2B一C 即—x/a — 2A2 — + — b2 — B2 一 - C , ?+B .,x/a.A+b2B一C 一—了’A+B (用上面同样的方法可以求出椭圆上的点到直线的距离最小值.) 数学建模在中学数学中的应用福建惠安瑞东学校陈振农数学建模是指通过建立数学模型来解决实际问题的一种方法.一般分三步进行:?对现实问题进行抽象分析,建立数学模型;?对建立的数学模型进行推理和演算,数学地求得模型的解:?把模型的解返到现实问题中去检验是否符合现实问题,若符合即获得现实问题的解,否则,返同?修改数学模型. 数学建模几乎贯穿于整个中小学数学学习过程,小学数学的解算术应用题;中学数学的列方程解应用题:建立函数表达式及解析几何里的轨迹等都孕育着建模崽想方法.中学数学问题,不论是纯数学问题还是实际应用题,都需要通过数学建模加以解决.下面来看几个例了: 1纯数学问题 lx+Y+z1,? 例l解方程组:{+Y+z=l/3,?【3+J,q-23:l/9.? 分析奉题若用常规方法求,相复杂.仔细观察题设条件,挖掘隐含信息,联想各种知识,即可构造各种等价数学模型解之. (1)方程模型方程?表示三根之和,山?,?小难得到两两之积的和(++=1/3)再山?又可得三根之积(xyz=1/27),山书达定理,可构造如下三次方程模型Y,Z恰好是其三个根. t一t+t/3—1/27:0.? 方程?的三重根为t=1/3,所以方程组的解为:X=Y=z=1/3. (2)函数模型观察?与?两边的特征及联系.若以2(x ++z)为一次项系数,+Y+z)为常数项,则以3:(1+1+1)为?次项系数的一次函数: /(f)=(1+1+l)t一2(x+Y+z)t+ (X+Y+z),? 为完全半方函数3(t一1/3).又根据?的特征有: f(t)=(f—)+(f—J,)+(f—z), 从而有t—X=t—Y:t—z,即x=Y=z,再又山 ?得::Y=z=1/3,这是?,?的I桂一实数解,它也适合?,故=Y=z=1/3是原方程组的唯一实数解. (3)平面解析几何模型方程?,?有实数解的充要条件是直线 ?27?

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