滚动问题中弧长的计算
湖北省黄石市下陆中学 陈 勇
以几何图形的滚动为载体，求几何图形在滚动过程中某点所经过的路线长度的中
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试题的一大亮点，解答这类试题关键是搞清图形在滚动过程中某点所经过的各段路径，然后逐段求出各段路径的长度，再求出总的路线长度，现对其进行分类解析，供大家参考。
一、三角形在桌面上滚动
例1((河南省中考题)如图，一块含有30?的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C的位置，若BC的长为15cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为( )
A.12cm B.10cm C. 15cm D.20cmx
解析:三角板在旋转过程中 点A从开始到结束所经过的路径是以点C为圆心，以AC长为半径的圆上的一段弧，这段弧所对的圆心角是120?，由BC=15 cm，?A=30?,可知AC=30 cm，所以可求得这段路径的长为:=30=20。
答案
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选D。
二、正方形在直线上滚动
例2.(黄冈市中考题) 将边长为8cm的正方形ABCD的四边沿直线向右滚动(不滑动)，当正方形滚动两周时,正方形的顶点A所经过的路线的长是 cm..
解析:当正方形ABCD滚动一周时，所经过的路径是由三段圆弧组成。第一段是以第一个点C(即第一次滚动时点C的位置)为圆心，以AC长为半径的一段弧，第二段是以第
二个D点为圆心，以AD长为半径的一段弧，第三段是以第四个点B为圆心，以AB长为半径的一段弧，因为每次滚过的角度均为90?，所以其弧长均为弧所在的相应的圆的周长的，所以当正方形滚动两周时,正方形的顶点A所经过的路线的长是:2×(2××8+2×8+2×8)=16+8.
三、矩形在直线上滚动
例3((济南市中考题)如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，将矩形ABCD在直线上按顺时针方向不滑动的每秒转动90?，转动3秒后停止，则顶点A经过的路线长为 。
解析:矩形ABCD在滚动过程中，顶点A经过的路线由三段圆弧组成，第一段是以点B为圆心，以AB长为半径的一段弧，第二段是以点C为圆心，以AC长为半径的一段弧，第三段是以点D为圆心，以AD长为半径的一段弧，因为每秒转动的角度均为90?，所以其弧长均为弧所在的相应圆的周长的，所以当滚动3秒后顶点A经过的路线长为: ×(2×8+2×+2×6)=7+5=12。
四、圆在折线上滚动
例4((芜湖市中考题)一个小朋友在粗糙不滑动的“Z”字型平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与CD是水平的，BC与水平面的夹角为60?，其中AB=60cm，CD=40cm，BC=40cm，请你作出该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线的示意图，并求出此路线的长度。
解析:如图所示，圆盘在滚动过程中圆心经过的路线由四段组成，第一段:线段OO，第二段:线段OO，第三段:O到O的一段圆弧，第四段:线段OO。
由点O分别作OE?AB，OF?BC，可得?OBE=?OBF=60?，
在Rt?OBE中，由BE=OE?cot60?=( cm) ，所以， OO=AB-BE =60-(cm);
O=BC-BF=40- (cm); 由BE = BF 得，O
由?OCO=360?-120?-2×90?=60?，可求得圆弧OO的长 ==(cm);OO=CD=40 (cm)。
所以，圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线的长度是
(60-)+(40- )++40=140-+(cm)。
浙公网安备 33021202002483