【doc】双线性流形上实对称矩阵的最佳逼近

【doc】双线性流形上实对称矩阵的最佳逼近 双线性流形上实对称矩阵的最佳逼近 @ f6—2,D 1996拄 第26卷 3月 第1期 山东工业大学 JOURNALOFSHANDONGUNIVERSITYOFTECHN0L0GY Vo1.26No.1 March1996 双线性流形上实对称矩阵的最佳逼近 曹建胜朱海f10 (石油大学数理—两257062)(山东工业系济南250061) A摘要研究了双线性流形上实对称矩阵的最佳逼近问题,给出7它的解,并说明7许多 fq题是它的特例. 关键词双线性;对称矩阵;最佳逼近 中图分—— 0引言 芙艇砰腕衫 设R…表示所有实m×"阶矩阵的全体;5表示所有×"阶实对称矩阵的全体; OR…表示所有H阶实正交阵的全体{对于一(n)ER…,B一(b)ER…,用A*B一(嘶, 6)ER…表示与B的Hadamard积;l?llF表示矩阵的Frobenius范数;对给定的x? R,,YER,定义ll(x,y)r一(1xl}+llyl;){. 设S一{(x,y),XESR…,YESR—lf(x,y)一lAx+y—D;+llXA+y +D2ll}rain),其中,ER…,DER…,D2?R… A的奇异值分解为A—u(::)y,rank(A)一r,UEOR,VEOR…,三一diag(a, …,). 我们考虑下列问题: 问题给定' i 一 r,—rH1 ES,使f2(x,y)一llAVx—Ell}TlyuB—E.~-=min. 在上述问题中,若取Y一0,E.一0,Y0=0,D—D,则文献[1-43是本文所研究问题的 特倒. 由于S中含有两个线性流形,因此我们把S称为双线性流形.本文给出了问题的解. 1问题的解 首先给出几个引理. 引理1设x,BER,令S一{AESR….AX一Bl一min), 收稿日期t19940403 第一作者简介曹建胜,男,讲师,生于J965年.1986年毕业于山东工业大学(本科),1989年在西安 交通大学获硕士学位,研究方向为矩阵理论与非线性方程组的解. 第1期曹建胜等:腰线性流彤上实对称矩阵的晟佳逼近 x的奇异值分解为 x一0(三o),rank(x)一, 00 其中,一U , D T … ,一?0R"ag()r1,,1r],—r1一. 则任取J4?j,A可表示成 A一l'uB五+乏But)三uzlT 【U2BLVA22J 其中,一(钎)ER,吼一1/(+d;),1?,?n,AESR………为任意实对称 矩阵. 引理2设x,B?R,令s={AESR"'…XA--B=rain},X的奇异值分解如 (1)所表示.则任取AES,A可表示成 阵 睦 uBl A2.J 其中,一()ERr~~r,%一l/(+),1?,?r】,A?ESR'(k--rI)为任意实对称矩 引理3设X,BER"~k,B?一,令j一{AESR×IIIxA—BII}十IIAx一Bil} min},x的奇异值分解如(1)所表示,则任取A?j,A可表示成 A— *[(三1U.B]V】+V]B1TU]三 十三1TB2TV,十~)ITB三)/2]三(BV,+U,tTB.) ' (B+岛)三/Z vr 其中,一(吼)ERr],吼一1/(d+d;),l?,?r1,A2ESR'",为任意实对称矩 f理2和f理3类似于文献[3]中的定理1,可同样地进行证明 定理l设A?尺…,其奇异值分解为 A—u(三O),r丑nk(A)一r,u一(L7L,u2) E0尺…, oor一—— r ?OR…,三一diag(,…),q??心?…?>0 一 (吼)?Rx,一l/()' m a 一 , 5/= 口. a r ,1?,? 一 ()ER,以一1一lsgn(a.一),l?i,J?r ,UT B T1 ,. +,T, ,U * , 一 A l8山东工业大学1996年 则任取(,y)ES,有如下表达形式 — VIM+(?一R) f(2D1u+V2TDzU1)三/2 Y=U *三(lTu1+1D2U) (E,.tD1+uDzrV)三二/2}+*R三一iT(D+DpU/2 u2(D1)三一./2Y 其中,=三(己,1TD1V+ulD2V1)一(:TD:vU【+D2U1)三]/2,N=三u.(U1vD1V1 +1D1[,1+D2u1+UiTD2TV1)三]/4,且RESR",XESR'……,,Y22E SR一一为任意的实对称矩阵. 证明根据的奇异值分解利用矩阵分块类似于文献[5]中的定理l同样的证明. 记 .一 『+?三叫(D-+uDzz)/]t五DJT u+/2 .' 0J y *三(lTDlTU1+V1TD2U】) 一 ulT(D+D2)三]/2)三一V1T(Dl+D2)u2/2) UV~(D1+D2)l三一/20 则对于(,y)ES,有 叫一] -- Y:YY+U R .]?+f,l(3) 定理2在上述问题中,4的假设与定理1相同,设A的奇异值被分为f(1??,)段相 同的数值,即三一dig(J…n,J……,n),It,为尸.阶单位阵,且?尸.=r,嘶>n>…> 将41,(AVX1一点1)和U(ylUB--E2)分块如下: .(A(】,Af,…,A{)一 p],2,…, (AVX1,E1)= U(yUB—E2)一, A(1??,)的奇异值分解为A一u 州,一;… 1??,, (Fi",Fl,…,F,一El;) P,P2,…,Pf,一, 一 F{",一F,…,一F", 户:,户2,…,Pf,,一 ( . ,rank()一 00 三;1)一diag(a~),n,…,以) 2 ,V D T ,U D T ,U 一 Er X P R 0 ?? : 一 ( 『f 第l期曹建胜等:双线性流形上实对称矩阵的最佳逼近19 ^z和B的奇异值分解为 ^一uc:,ranc一 u』:(【,{,u;)EOR缸,5"一(望,{)EOR"一, l,k—s. 1,—r一】 三2^一diag(a~",n;"'._?,), B一uc:,,rank(B2)一, u一(u,u)EOR一一,一(;P,;)EOR缸 2,m—r一52S2,k一 三z—diag(a],n;",…,n曼) 则任取(x,y)?.,x,y有如下表达式 X—XL+Vdiag(一R, Y—Y1—Udiag(R,R2, 其中,对每一个固定的i(1??,)有 (4) (5) 叫嘲墨':.足(+西一2一,… f"*(u器E;{三+三2^{E口)三E;u)] x一"1,ly" 【ug"Ey{j:毫X..J f*(}玎E}";三+三磐E署u{)三u箸E筹V錾)] Y22一u;},lu;" I品Egu籍三Yj 其中,对每一个固定的(1??),记 一 (三}u;F"+}FUI2Z[i'+三u;FV+fFu三;)/2 , 一()ER4",且张一1/(+z),1?,?r "=(硪)?R,且娥一1/(+n),1?J,?s. : ()ER.,且碟一1/(《".+《".),1?J,?. R2ESR'一一一(1?i?,).x2.ESR…一L…1 Y.ESR一一为任意实对称矩阵. 证明任取(x,y)?S,根据A的奇异值分布情况与(2),(3)知x,y可表达为下列形 式: X—X1+dig(,R】,,R2….,一R,X22)(6) Y—Y1+Udiag(R1,Rz….,R,Y22)[r(7) 其中,R,ER^(1??,)为任意对称矩阵. 将用(6),(7)表示的x,y代入问题中的(x,y)里有; T X R 一 , .— RR 2O山东工业大学l996年 (x,y)=XEI;+IYUB—E2I; 一- I(X1一E)Adiag(R,一R….,一R,X)I【; ffu(yuB—E2)+diag(R】,R2….,R,Y22)B}f} . ItdR.F"IL;+Iidxz—EIL} +三IR.玎一I【}+I【yBEll} 要使f(x,y)=rain,必须有R.,x,y使下式成立,即 IfR.一"+fJRf"lf;一rain(1?i?f)(8) llzX22一E}0P—rnin(9) lly22B2一E;}iIF=min(1O) 根据引理1.2,3由(8),(9),(10)式可得到R(1??),X,Y的表达式,将R(1?? ),xy代入(6),(7)中即得到定理2中的x,y的表达形式(4).(5). 注(1)当f=l时,即d的奇异值都相同,将A,B分成两块进行讨论. (2)当=r时,即d的奇异值都不相同,将A,B中的与按行向量和列向量 进行讨论. 参考文献 1戴华.线性流形上实对称矩阵最佳逼近.计算数学,1993,(4):478~488 2张磊.一娄对称矩阵的逆特征值问题.高等学校计算数学,1990,12(1):65~71 3孙继广.实对称矩阵的逆特征值问题.计算数学,]988,1O(3):282~290 4谢冬秀.线性流形上的逆特征值问题.高等学校计算数学,1993,(4);374~380 5ChangXiaowen,Wang~asong.TheSymmetrilSolutionoftheMatrixEquationsAX+YA= C AXA+BYB=Cand(AXA,BXB)一(c,D).LinearAlgebraanditsApplications,1993 179:171,189 THEBESTAPPRoXIMATIONOFREALSYMMETRICMATRICESON THEBILINEARMANIFOLD CaoJiansheng (Dept.ofMath.andPhys.?Univ.ofPetrolenum,Dongying257062) ZhuHaiyanFuShaochuan (Dept.ofMath.andPhys.,ShandongUniv.ofTech.,finan250061) ABSTRACTResearehstheproblemofthebestapproxitaation0frealsymmetricmatricesont hehi- linearmanifold,givesthesolutionoftheproblem?indicatesthatmanyproblemsarethespecia lexamples oftheaboveproblem. KEYWORDSBilinear;Symmetricmatrices;Bestapproximation