【doc】用分块法降阶计算行列式和矩阵求秩算法的探讨
用分块法降阶计算行列式和矩阵求秩算法
的探讨
?
1989~.浙江工学院
(总第删蒯)JOURNALOFZHEJIANGINSTITUTE0TECHNOLOGY
3i989
'Sum.d4)
用分块法降阶计算行列式
和矩阵求秩算法的探讨
刘东
(基础课程部)
摘要
文献[1]提出7用分块法降阶计算高阶行列式和矩阵求秩的方法,但计算量 还很大.本文提出两个基本命
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
,根据行列式或矩阵元素的特点,通过初等变换, 进行合理分块,利用基本命题改进算法,使计算量最少.
关键词:行列式,秩,计算方法,矩阵变换法
文献[1]中Schur定理提出了高阶行列式降阶计算的一个方法,即设n阶行列式 IMIl
是分块行列式,且A是非奇异矩阵,则
IMI=IAIID—CA'Bf(1)
(1)式右端起了行列式降阶计算的作用,但需要计算r阶方阵A的逆阵,两次矩阵的
r阶行列式之乘积,计算量还是很大的. 乘法,一次减法,r阶和n—
本文对(1)式右端的计算如何最简进行探讨;并对用分块法降阶求矩阵的秩,使计算
尽量简单.
1降阶计算行列式的简化算法
如同n阶行列式的性质一样,分块行列式也具有以下性质:
性质1分块行列式{MI某一块行(列)的元素左(右)乘以非异阵K,
列式乘lMI,即
l,KIl会『
啦藕日期?1989—02—27
等于用K的行
?
103?
文叶I涉及的矩阡运算,假都满址运算条件. 征利用分块矩阵的运算录lLaplace展开定理,【U得 =
J(誉…))I
=
.
:…K-:l
为了便于应用,将(2)式改写成
A
c
性质2分块行列式的某一块行f列)左(右)乘以矩阵K,然后加到另一块行(列)
上去,行列式值不变.即
l十A十BCKADKB{=lACBDl十十:ll 证
c+A.Bl=1(:…)()l
=
…会:l
性质3分块行列式lMl的两块行(列)对调得IMl,则 -M?-=}三:l=c一,"nuj.13ii 其中r和n分别是lAJ和JMl的阶数.
证
(l
==
c——'1+2+?'+【(n—f+1'+_-?+n'l『==c——fn+ll;l
利用上述性质和Laplace展开定理很容易得到(1)式的证明:
lAc:l=tA-lA.-Bl=tA-}:.一Ac-tAB一Bl= IAIlD—CA.Bl(3)
下面分情形讨论【1)式右端计算的简化问题,为方便起见,将单位阵两行(列)瓦换
得到的初等阵称为对换阵.
1.1行列式中台有r(?2)阶子阵是单位阵或对换阵 作为(1)式的直接推论,有
基本命题1
tD--CB-?
'
(4)式将一个13.阶行列式的计算,转化成低阶矩阵的一次乘法,减法和一个13.一r
阶行
?
104.
列式的求值,讣算量比(1)式明显l减少. 总可以利用行(列)调换得到新的行列式, 阶计算.
倒1计算行列式
凼而行列式r{r含有予阵魁单传阵或对换阵时, 其左上角子阵是单位阵,从而利用基本命题1降 2l01—1
32l02
D=112—15
i0—1614{
14587—1l
取自(1)中例题(P56~I3),观察行列式中由第1,2行与第3,4列相交处元素
组成的子阵,是对换阵,将1,4列与第2,3列分别互换得
}10i12—1I
01i232-
D=(一1)一12;115 16:一104
78;54—1J
=一z
3
.
410f+sf1"810f=sIlIf… 与文献(1)中的计算比较,计算量明显减少.
例2计算行列式
(1)
l2
0——1
l0
01
14
2l
13
31
)行列式的左下角2阶子阵是单位阵
12
0—1
1
O
I4
21
013 :
13l 一
2
—
14
——
18
—
3
—
20
—
34
10
0l
12
0—1 0
—
7
—
1O
;l3 :31 :l4 :21 )一(一;一)ff一:一J一一7
5行与第2,3列交错的元素组成的子阵是2阶对换阵.
?
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IlJ, 5n9
4舯勰
0船,,J?l?,,一
,1lIJ/ 一a4l —
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41215 l2123 —
2151O l03n1 O2I32 一
)
2
(
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i
第
l内
式
列
行
)
2
012
201
—
135
331
210
19300 25310 683
12
21
14
483
14
21
12
21
35
)_/.0\《81116l\677,17—18—18j一9—16—8—3
1.2行列式中不含r(?2)阶子阵是单位阵或对换阵
(3)式表明,用分块法降阶计算高阶行列式,可不必先求A-1再作乘积AI1B,只要
对矩阵施行初等变换将A化成E,同时可使A右邻的矩阵B变成AI1B,即
行初等变换
(AiE)————(E;AI】B)
再计算lAlJD—CAI1BJ.因此,适当选择A,使A容易化成单位阵且AB表达形式简
单
(尽量取JAl=?1,避免分数运算),能使计算简单.这样的矩阵有:1.对角阵}2.三角形
阵|3.容易化成单位阵的其它矩阵.为此,可在行列式中先找出一个上述形式的子阵,
再通
过初等变换将它换至左上角,然后进行计算.
例3计算行列式
(1)D=
2—4
—
36
—
11
0
0
2
31—3
1—13
11
0—1
56
42
11
(2)D
0
C0d
解(1)易见行列式右上角是2阶三角形阵,将第1,2列分别与第4,5列对换,
并分块: 106, D=(一1) 11;02—410;0—12
56
42
11
—
1
3
1—
0—3601:03—6
)_(
11
31
1—1
56
}42
I11
013—2吼 02—41 02—4
2—11 —
331
31—1
2—1427 —
315
3—13
b0
?
?
bd
0
aC
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f2)D2= d
b
?
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???? d
一
320
1ib/a ?
.:.' 1ib/a
=a??…?…??…'''…''
cid
.
?
.i'. cid
=a.(d-bc/a)=(ad—bc),
倒4计算行列式 Ml=
(d—bc)/al 01
0l
(d—be)/a{ 解这个行列式内没有二阶上子阵是单位阵,对换阵,对角阵和三角形阵,但可以找
出一个易化成单位阵的子阵,因为
I
将行列式分块
从而
D=…?………?………?
5
13
先对分块矩阵(A;B)进行行初等变换求A-1B
,1
I
\2
,1
———
{
\0
/3
CAB=I2
D—CA-1Bl= —
e
,0
11,
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—
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7
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4
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5n2m 4加?73 37n75 23574 —
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一
11l==一52
—
1l
所以
IMl—JAl1D—CA13}=52
在高阶行列式的计算中,一般来说对于无规则的数字行列式用上面的算法都H:较方便
现将具体做法归纳如下:
1.若在行列式内可找到阶数?2的子阵是单位阵或对换阵,先通过行和列对换将它移
至左上角,再利用基本命题1计算.
2.若在行剜式内阶数?2的子阵中投有单位阵或对换阵,而有对角阵或三角形阵,尽
嚣选择行列式等于-t-1的子阵,移至左上角,用(3j式计算.
3.对于没有0元素的行列式,宜选择容易化成单位阵的子阵(最好是其行列式值魁 ?1),换至左上角,先计算(A;B)—?(E;A'B),再计算lD—CABf和fAf,求得原 行列式之值.
降阶计算矩阵秩的简单算法
同矩阵的初等变换一样,分块矩阵也可定义块初等变换.
定义分块矩阵A的块行(列)初等变换是指:
1.用一非异阵K左(右)乘A的某一块行(列)J
2.用矩阵L左(右)乘A的某一块行(列)加到另一块行(列)上去| 3A的第i块行(列)与第j块行(列)对调.
分块矩阵的块初等变换也不会改变矩阵的秩,证明见[2). 文献[1)中也提出了秩的降阶定理,即若A是非异阵,则 JAn'
R(nD)=R(A)+R(D—CA一B)(5),U,
与行列式的计算一样,这里也有如何使右端计算尽量简化的问题. 2.1矩阵内含有r(?2)阶子阵是单位阵或对换阵
/R,
基本命题2设分块矩阵(=二),则
}LD/
/E.B,
Re,,'一J=r+R(D—cB)(6)\D,
如果矩阵内有子阵是单位阵或对换阵,总可以通过行或列对换,将它移至左上角,
矩阵
的秩保持不变.利用(6)式,计算n阶矩阵的秩就转化成计算n—r阶矩阵的秩(尚需
计
算低阶矩阵的乘法和减法各一次),比直接用f5)式计算简便得多. 例5求下列矩阵的秩
?108?
O35
一一
4
一
(1)
(2)A_
R(A);oo1;363+Rff.21一f.\\\\3277/\3277J] =3+o=3
(2)矩阵内台有二阶对换阵,将第1,3列对换
R(A)一R
10j10
01:10
11;00
,一2
—2+Rf1
,一1
2.2矩阵中不台r(?2 设A是非异阵,则 R
(
0,
01=2+3=5 1/
)阶子阵是单位阵或对换阵
)=R(暑AB)=R(.) =r+R(D-CA一B) 这里也不必先求A-1再计算AB,选择A的要求和做法也与1.2一样.
例6求下列矩阵的秩 -
一
4
?
109
123
HOOO11
OOl361011O 0102【^011O1 45
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1O14 L2O4 O313 —
2411 一一
12O1 一
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譬
M
)
1
(
一
妻)解(1)易见矩阵M中第1,3行与第1,3列相交处元素组成的子阵是对角阵,其
行列式之值是一1,故
M—
10
O1
23
—
13
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11
1
0
???.?
2
4
1—4
—
11
02
42
RcM,z+R((一:::;)一(二一;二一;))
=2+Rf3o1=4,8一b/
(2)矩阵中有一个元素是0,二阶三角形阵有16个,选择容易化成单位阵的一个J由
第4,5行与第1,3列相交处元素组成的子阵,其行列式等于2,但第5行有公因子2,
不会产生分数运算.将所选子阵移至左上角并分块:.
1l0
M
10;321
42:6—418
???……?__????.?'?_??…?……?…?
一
26i一8—8—4
1—6:563
2—4;646
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I42;6—418
=
(三)
/o32\
\02一6—1214/
一
(0.3一7)fiI\]一一6,
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(一--8)一(一一--i6)(一3.一:)
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一一
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一
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M
)
2
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一
,,
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,1632—4
=
I一16—324 \一12—243
易见R(M)=2+2=4.
利用矩阵的初等变换和基本命题2计算高阶矩阵的秩,具体做法也可象行列式计
算一样
!日纳,不再列出
致谢:本文得刭浙江大学陈维新副教授的指导,特此致谢.
参考文献
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"]同济大学数学教研童.线性代数.北京-高等教育出艘社.1982:16,l7
AnApproachtotheAlgorithmforCalculatingDeterminant andRankofMatrixbytheMethodofPartitioningand DescendingOrder
LiuDong
(DivisionofBasicCollrses)
Abstract
TheliteratureE1]listedbelowthisarticleisproposesanalgorithmfor
calealatingahigherorderdeterminantandrankofmatrixbythemethodof
partitioninganddescendingorder,butthismethodneedsalotofcalculation.
1nthisartide,twobasicpropositionsarepresented,andthealgorithmis
improvedtOreducecalculationtominimtimbywayofelementarytransform—
ation,reasonablepartitioninganddescendingorder. Keywords:Determinats,Rank,C0mpu协ti0na1method,Matrixtransform methods
?
ll1
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0l6
?442 一一
^U88 432 —
418 i
一
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,,一
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436 864 —
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