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MATHEMATICAAPPLICATA
9001，14(4)：55～60
一维对流扩散方程CRANK—NICOLSON
特征差分格式
王同科
(山东大学数学院，山东济南250100；河南师范大学数学系，河南)
摘要：本文针对一雄线性和非线性对流扩散方程提出了一种Crank—Nicolson类型的
特征差分格式，给出了该格式形成的线性代数方程组可解的一个充分条件，证明了该
格式按离散口模是收敛的，且其收敛阶为O(At。+h2)．
关键词：一维对流扩散方程；线性；非线性；特征差分格式；二阶精度；收敛性
中图分类号：0241．82 AMS(2000)主题分类：65M25
文献标识码：A 文章编号：1001—9847(2001)04—0055—06
考虑如下形式的一维对流扩散方程
害+b(x,t)意一羞(n(z∞象)；，@，f)，z∈Eo,1]，r∈Eo,7T]，(1)
u(x，o)=‰(z)，z∈EO，1]， (2)
u(O，￡)一u(1，f)一0，t∈(o，7']． (3)
首先将区间EO，1]剖分为N等分。设空间步长为h，时间步长为血．记∞一访，，=n血，“?一“(∞，
，)．设算子杀+6乏的特征方向为r，记产v，而，则器特征线r，有面3u+6h，f)差一尹警．经
过(卫。，ff+1／2)的近似特征线为z=卫．+钟+1肛(t--t”+1／2)，记它在t“，f州时刻与z轴的交点分别为
i．，毫，则虱=丑一钟刈z百At，圣．一z，+b7州z百At，进一步，记该近似特征线在，，￡川之间的长度为
At,则△r一△捌十1儿．在(丑,ff+t／z)处离散P等，有尹磊3u(z¨，¨“)≈硝州，z篓兰堡掣一
竺兰堡妥掣．其中。什·(童。)，矿(j．)需要通过插值得到．为了保证计算精度，采用二次插值．
假设毫，叠。∈r'x卜，，zm]，若令嘶=一嚣钟十1脂，则经过计算，可得
矿+1(毫)≈(Jz“叶1)(南)=专(辞一q)衅}+(1一辞)越州十号(砰+嘶)t世}，
∥(茜)。(L∥)(暑)一吉(《+嘶)。～。+(1一辞)。?+丢(衅一q)。_。．
“’
·收藕日期；2001一02-23
基金项目：国家自然科学基金项目(19972039)和国家教育部博士点基金资助项目(96042202)．
作者简介：王同科(1965一)，男，汉．河南南阳人，河南师范大学剐教授，山东大学博士，研方向为微分方程
数值解法．
万方数据
56 应 用 数 学 Z001
记如(矿q-i／ZdlT“)·一h叫Ld霉摇(“㈩一ui)一n譬摇(峨一Ui一1)]，则扩散项利用Crank—Nicolson的办法可离散为[未(n塞)]：机门≈砖(a"+I／2以学)。．综合以上推导，用u表示差分近
似解，可得以下的特征差分格式生竺=垡名}型一如(n一“毪竿)．一力¨“，1≤i≤Ⅳ一1，。≥o．(5)
进一步，令尺-一丽Atn撇，心一孺Atn苎船，则(5)可以表示为三对角线性代数方程组的形式，
[专(霹+啦)一马]【，搿+[(1一辞)+尺．+R：]沈+1+[吉(《一嘶)一尺。]u譬}
一atf7+价+[丢(辞一q)+R：UL。+[(1一《)～(R+尺：)]u?(6)
+l告(群十嘶)+R。}ux，，l≤i≤N一1．
■“ J
定理1若l研“n血l≤(／可一1)^或i嘶1≤』I≥l*。．618，则方程组(6)的解存
在唯一．
证 记。一号(砰+畸)一岛，面=(1一霹)十R，+R，。一号(砰一坼)一R，若。≤
q≤竿则丢(砰+嘶)>。，丢(砰一嘶)
o无论哪种情形，直接计算可得ld。I>h1，l西}≥I。I+hl(矗=2，⋯，Ⅳ
一2)，Jd”zJ>lr一-J．从而，方程组(6)的系数矩阵对角占优，方程组(6)存在唯一解，且可以
用追赶法求解．下面分析收敛性，假设
“∈w：([o，丁]，w-([o，1]))，n∈P([o，刀，wi([o，】]))，
b∈L-([O，丁]，wL([o，1]))，o<Ⅱ，≤n≤d-，⋯≤6-．
(7)
方程(1)在(z。t”“2)处沿特征线可离散为堡二二垒蔓产一母(n计“：疋竿)．=力州脂+群州，2，1≤i≤Ⅳ一1，(8)
其中砰““为截断误差．利用Taylor公式可得
矿”一等(矿窘)：“”一(塞)_“2[等嘉r“2一[警窘+等鲁r”2
一秽rL堡12塑a=．十㈣”“等鑫r。+O(At3w)=吣。w)．
(9)
令}一“一U，(8)一(5)，并利用(4)，得误差方程
曼塑At一如(∥+“z以竺竺乎笠)．=击[(一∥+，(∞)一L。”+-(毫))+(扩(夏)
一，2扩(瓦))]一悫[(车擘}一}耸·)一2(e十1一曰)+(手2f一车卫-)](10)
+鑫[(尊+11+鼠，)一(洲+单。)]+《+m，
加+14-々
上式两边分别乘以堕—i。旦，作离散L2内积．记左端项分别为L⋯L，右端项分别为T，，T。
万方数据
第4期 王同科：一维对流扩散方程CRANK—NICOLSON特征差分格式 57
妒扣州卜It'llq骖a．忙学02， (11)
T1为插值误差估计．直接计算，利用Cauchy不等式，记K为一常数，不同地方代表不同的意
义，则
ITlI≤删+K0学卜 ㈣，了1。一一去N∑--I《[(钵}+钒，)一2(掌+，+鲁)+(躺+银。)]半^了1z一一去圣虹(钵}+钒，)一2(掌¨+鲁)+(躺+银1)]学^
+击葛《(镇。一28+㈧譬掣n
一击警砰[坠净一学弘
+士善c略。硼[龟{}+罄+2 鲁”+宴1钟÷2 j 垫一
一圭善《c钒。一曰，[啦挚一半]一一壶善《(钒t一曰“芈一譬半k
一圭董(略。一州％。一鲁)譬导。一壶善(略-一砰)(％·一鲁)％导^
一T2l+T22+T23+T24．
注意到吒一一爰6r“z，则1丁。tI≤{6”血0以￡=害!『由于
略-一砰一筹f警旧(坩Ⅷ一z)
利用Cauchy及离散Poincare不等式，得lT22I≤KAt
TzsI≤去蚤砰(铒·一鲁)2曲+忐墨1《
1^』 _Ⅳ一
以半阳％，有
肄甜十搴～。 鲁+1+鲁]2h
2 2 J 8
取e=尝，则l7T。撼肿旷+警卜学l2．犯浦I?：撼Klit旷+叫学『从而
忆l≤陋+钏以学卜酬jZ+K』学42，
利用分部求和公式 T3：--壶莹c％一嘶，毕生半。壶蚤c％叫翌挚譬等一
：上2董警(馥)盥坐丛^，2 2台如”“ “’
所以 l丁sl≤KJ|学』2，
由(9)得 丁tI≤Kc血4+∥，+Ki￡=≠!』2，
(13)
(14)
(15)
万方数据
58 应 用 数 学 2001
由(i0)一(15)，只要血及h适当小，则有
盟竺兰嵯襻≤足(ff争+：il。+ffP胪)+K(Att+∥)，(16)
上式两边乘以2&，对n求和，并利用离散Gronwall引理，得
maxllPIl2≤K(At2+h2)， (17)
其中五与n，塞，6，差，窘，差≥，耄，害％等有关．将以上结果
总结
初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf
为以下定理．
定理2(收敛性定理)若4，b，“满足条件(7)，则特征差分格式(5)的解按离散口模收敛
到(1)一(3)的精确解，且收敛阶为0(出2+h2)．
前面给出的特征差分格式可以推广到非线性对流扩散方程，即(1)变为
害+b(x,t,u)塞一壶(n扛，r，“)差】一f(x,t,u)，z∈[o,13，}∈[o，71]．(18)
令i。一35"f—b7+1脂(u7+I／Z)警，圣，=z。+卅+1肛(u74-1／2)等，则沿近似特征线r，在(丑，tn+l／2)处，
(18)可离散为
垡!玉堑；；二—!蔓型一赴fa．+l／2(un+t／z)以笙：二士笪1一／rm(。一+-，2)+。r·，z，(19)
其中47j掳(“尊船)一告[《+1／2(zF““)+a搿“(”譬}“)]，《!船(雌!册)可类似计算．经过计算，
截断误差gPl／2类似于(9)式，即群¨以=o(血2+∥)．假设毫，五∈[丑一。幽+。]，在(19)中舍去
截断误差项，并对“”1(童．)∥1(i。)作二次插值，用己，表示差分近似解，则有型巡笺型一以pm(。n+l／z)以掣1————西——～一o。P⋯‘ "，——r～J
上式仍为非线性方程，进一步对其作线性化处理，令研+”一忑37。．一丢研～·当n—o时，取
tT)72=钟+虿1“e面3uJ。o，可以保证研w2具有二阶精度．再令
兄=蕾一钟+，／2(田+-／z)等，戈。=嚣+睇+Ⅲ(疗?+-“)等，
从而得到非线性方程(18)的特征差分格式为
!l!：：：!i；!A—二t：—!连：：婴一如(““+，，z(口w+，，z)乱!：!：：：：—i2二!!J．=门+·，z(疗?+，一)，(2。)
其中厶驴+1(戈r)，厶【P(z)按(4)式计算，只是将啦换为画一一鬟钟⋯。(研“。)．为了分析格式
(20)的收敛性，给出一些假定条件．首先假设(7)满足；其次，进一步假定
耋，瓦3b∈L∞([o，丁]，L”([o，1]))，I，(“。)一，(毗)I≤LI撕一“：I．(21)
令}一“一U，(19)一(20)，结合(4)式，得误差方程
掣一如(矿”n(研“，z)奠曼兰亨!)。
一一忐[(扩+1(圣。)～““+1(贾．))～(∥(毫)一∥(贾，))]
一一忐[(矿+1(毫)一J。““+1(贾，))一(∥li．一j：““(x。))]
一最[(钟}一‰·)一2(矿1一鲁)+(科一钮，)]+去[(群}+瓯。)
万方数据
第4期 王同科：一维对流扩散方程CRANK—NICOLSON特征差分格式 59
一(牡H舡，)]+名((∥“(矿⋯)一矿”(印⋯腿竿r
+[竹+1门(“?+1／2)一力+m(断+l／z)]+eH卞1止， (22)
上式两边同乘以笠兰≠里，作离散工。内积．记左端项分别为L。，L2，右端项分别为丁，，丁∥．．，
T，，则L-，厶的估计式类似-于(11)．下面估计(22)中右端各项．由Taylor公式，得
“∥“一疗∥“一熹血2(碧)j““+O(at3)+号宕一号鲁～，
∥。一西n：吉出z(警)}+。c血气
姐3’
由于{。一戈．=譬警(醒“n一口r勺，夏一冠—一5ztab7m+1／2(“rn一研“2)，I±i(23)
IT。I K(At4+II享"ll2+Ilp-1II2)+K8璺=害102， (24)
L为插值误差．类似于(12)，有
IT2IKh4+K4学『 (25)
了1。，T4的估计类似于(13)，(14)．由于
‰一茸=一篇[警一+警c翰～即，2)]
一一譬[警+呈2型3u熊ax一一1型百3u。-1]+垒警[三弘18P23u J 2 2 _1]，2L缸 缸 ’ 抛o⋯ ”
引入归纳假设(M为一正常数)
}l以P忆≤M． (z6)
由于P一0，上式对n一0自然成立．由假定(7)，(21)，有
I珥+，一瓦l K&t，Ia2+。一辞l≤足等．
从而，类似于(13)，(14)的推导，有
71sI≤陋+钏以竺笋『+KII争II2+KI竿卜(27)
IT,I≤Kl学『 (28)
利用分部求和公式，得
T；=一董i=0c。薅c嚼，一碟c嚷№华以学一，
由于磷(“譬；)一n建(口罐)一百1警雠+}埘+{)十吉譬(“蛘一噼)，
l以垡=；丝I≤11,41。NmⅫ扣。，，由假定(21)及(23)，利用带￡的cauchy不等式，得
ITsI≤el以￡=争蔓『+K(△f4+lIP”+IIp叫IIz)， (29)
由于f满足Lipschitz条件，由(23)，得
l丁。I K(At4十I|P¨2+I{P叫II2)+K0￡=害二!『， (3。)
万方数据
60 应 用 数 学 2001
L为截断误差估计，有IT，IK(AP+h4)+KH学II2．由(22)一(30)，只要E及出，^适
当小，则有
监=』≥吾』￡止≤K(IIP+·旷+lIP旷+fIP一一胪)+K(Att+h4)．
上式两边乘以2At，对一求和，并使用离散Gronwall引理，得maxllPl／2≤K(At2+h2)．最后，验
证归纳假设(26)．注意到At—o(^)，有II以P忆≤h一刮P||≤K(z2t2h—j+hf)≤M，归纳假设
成立，从而得下面的收敛性定理．
定理3 若n，b，“，f满足条件(7)，(21)，则特征差分格式(20)的解按离散L2模收敛到
(18)，(2)，(3)的精确解，且收敛阶为o(At2+h2)．
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Crank—NicolsonDifferenceSchemeAIongCharacteristics
forOne—DimensionalConvection—DiffusionEquation
WANGTong—ke
(College盯Mathematics，ShandongUniversity，dbzan，250100，China；Dept．ofMath．Henan
NormalUniversity，XinXiangHenan，453002China)
Abstract：ThispaperpresentsaCrank—Nicolsondifferenceschemealongcharacteristicsfor
one—dimensionallinearornolinearconvection—diffusionequation．Itgivesasufficientconditionfor
solvingthelinearalgrabicequationswhichformedbythescheme，andprovesthatthemethod
convergesindiscrete工2normtothesolutionoftheconvection—diffusionequationwithorderO
(血2+h2)．
Keywords：One—dimensionalconvection—diffusionequation；I，inear；Nolinear；
Characteristicsdifferencescheme；Second—orderaccuracy；Convergence
万方数据
一维对流扩散方程CRANK-NICOLSON特征差分格式
作者： 王同科
作者单位： 山东大学数学院,
刊名： 应用数学
英文刊名： MATHEMATICA APPLICATA
年，卷(期)： 2001,14(4)
被引用次数： 13次
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1982(05)
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