最大模原理与应用

最大模原理与应用 作者：XXX    指导老师：XXX    摘  要  最大模原理是研究解析函数的有力工具.通过对最大模原理相关知识进行学习和研究,本文主要从三方面来探讨其相关理论:第一部分,给出了最大模原理的各种不同的叙述形式并加以证明；第二部分,给出了最大模原理的推广,重点研究了它在具有保域性一类函数及在调和函数中的推广；第三部分，给出了最大模原理的应用. 关键词  最大模原理  最小模原理 引理 定理 三圆定理 1 引言 最大模原理在复变函数理论中是一条经典性定理,它深刻反映了解析函数的性质.前人对最大模原理的内容、证明及应用都从不同方面给出了缜密的研究和推广,而该文鉴于前人研究的基础之上,对此原理的相关理论及其应用作了一个系统的小结,然后在此基础上进一步重点研究了最大模原理在具有保域性一类函数及在调和函数中的推广；其次进一步研究使用最大模原理证明一些有名的定理和引理。 2 最大模原理的各种不同的叙述形式 2.1 最大模原理（形式1） 若函数 在区域 内解析，则 在 内任意点都不能达到最大 值，除非在 内 恒等于常数。  证明：假设 的模在 内一点 达到最大值 ， 假定在 的某个邻域内 ，其中 . 取充分小的数 ，使 ，且使 ， 设 为 的一个值，令 ，有 因此， 所以， ，矛盾，即 在 内任意点都不能达到最大值。 2.2 最大模原理（形式2） 设函数 在区域 内解析，在 内有一点 ， 使得对于 内的所有点 ， 有 ，则 为常数． 证明：设 ： ， ， ： ， . 由柯西积分公式， ， 因为对于 内的所有点 ，有 ， 所以， ，所以对于任意 ， ， 由于 得任意性， 将任意圆 映为圆周 ，即 在 上市一个常数，由解析函数的唯一性定理 . 2.3 最大模原理（形式3） 设 为复平面的有界开集， 在 内解析，在 上连续，则 . 证明：因为 为复平面的有界开集，所以存在一点 ，对 上所有的点 都有 ，如果 是一个常数，则结论显然成立.如果 不是一个常数，则结论显然成立，由最大模原理（形式2）可知结论成立. 2.4 最大模原理（形式4） 设 在区域 内解析如果存在一个常数 ，使得对于 （ 在扩充复平面中的边界）上的所有的点 ，有 ，则对于 内所有的点 ，都有 . 证明：设 ，令 .因为 是连续的，所以 是开集.由于 上的所有的点 ，有 ，所以存在 ： ，使得对于 内的所有点 ，都有 ，于是 ，因此， 是有界的， 是紧集.但 ，所以对 上的点 有 .故， 为空集或 为常数.但如果 是常数则由假设可得 为空集. 3 最大模原理的推广    3.1 最大模原理在关于多个函数的模中的推广 我们已经知道，若恒不为常数的函数 在区域 内解析，且连续到其区域边界，则 仅在其区域边界上达到最大值． 那么，若恒不为常数的函数 与 都在区域 内解析，且都连续到其区域边界，则 是否也仅在其区域边界达到最大值呢? 解：作函数 , 则对 ，令 ． 则  （当 时,令 ）． 现再作一函数 ,根据解析函数的性质，函数 仍满足在区域 内解析，且连续到其区域边界，应用最大模原理，在其边界某点 可取得最大值,即 有 ． 但因为                    与 , 所以 , 即                            ． 因此， 也仅在其区域边界达到最大值． 同理，可得到下面结论： 若恒不为常数的函数 、 … 都在区域 内解析，而且都连续到其区域边界，则 是连续到其区域边界的函数，且仅在其区域边界上达到最大值． 3.2 最大模原理在扩充边界的推广 说明：复平面用 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示,如果 ,令 表示 在扩充复平面中的边界,并且称之为扩充边界.显然,如果 是有界的,则 ；如果 是无界的,则 . 有了这些准备之后,我们便可给出最大模原理在扩充边界的推广: 定理：设 为 内的域, 在 内是解析的,假如存在一个常数 ,使得对于 上所有的点 ,有 ,则对于 内所有的点 ,都有 . 在证明之前给出下面的定义: 定义：如果 , 或 ,则当 趋于 时, 的上极限 定义为 . (如果 ,则 为 的度量下的圆). 证明：设 是任意实数,取 ,假如证明了 是空集,则定理便得证. 因为 是连续的,所以 是开集.由于对 上的点 都有 ,所以存在一个圆 ,使得对于 内所有点 都有 .于是 ,因为这条件当 无界且 时也成立,所以 必是有界的.于是, 是闭域.因此应用最大模原理的推论2,并由于 ,所以对 上的点有 .因此,或者 ,或者 是一个常数.但如果 是常数,由假设也可推出 .证毕. 注：此题说明若 在区域 内是常数，则题中等号成立. 3.3 最大模原理在具有保域性的一类函数上的推广 约定：在扩充复平面上,任何以伸向无穷远处的简单曲线为边界的区域都不包含点 ,并视两方都伸向无穷远处的简单曲线为经过点 的简单曲线. 定理1：设函数 在扩充 平面的区域 内单值连续, 为复平面上的区域,则 在 内任意点都不能达到最大值. 证明：(反证法）假设 在区域 内一点 达到了最大值.即 ，有 令 ,则 .由于 为复平面上的区域,所以 ,又由于区域都是开的，所以必有 的某个邻域 ,于是在 内可找到一点 ,使得 ,则存在 ,使 ,而且 ,与假设矛盾.故 在 内任意点都取不到最大值.证毕. 定理2：设 为扩充 平面上的边界非空的区域,函数 在区域 内单值连续, 为复平面上的区域,若存在正常数 ,对 , 的每一个边界点都有一个邻域,使在这个邻域内的 的每一个点Z处都有 ,则在 内 . 证明之前给出下面定理： 波尔查诺—魏尔斯特拉斯定理：每个有界无穷点集,至少有一个聚点. 证明：设 ,则 ,有 .根据上确界的定义,必有 内的点列 ,使得 .                        由波尔查诺—魏尔斯特拉斯定理, 在闭域 上至少有一个聚点 ,并易知 必存在收敛于 的子列,不妨设 . 下证 ,事实上,若 ,因 在点 连续,由上式得 .即 在 内一点 处达到了最大值,与定理1矛盾.所以 必在 的边界上. 又由于 ,存在 的某个邻域 ,使 上任意点 处有 ,因为 收敛于 ,对上述 ,存在自然数 ,当 时, ,从 而,由此及⑧式即得 .由于 是任意的,所以 ,故在 内 .证毕. 定理3：设 为扩充 平面上以简单曲线 为边界的区域,函数 在闭域 上单值连续, 为复平面上的区域,若存在正常数 ,使在 上, ,则在 区域 内 . 证明：设 为 上任意一点,由题设知 从 内连续到点 ,所以 ,必存在 ,使在 上有 ,从而 有 . 由定理2知,在区域 内 .证毕. 3.4 最大模原理在调和函数中的推广 定理（调和函数中的极值原理）：设 在区域 内是调和函数,且不恒等于常数,则 在内 任意点处不能达到最大值. 证明：只证明最大值的情形,因为调和函数 的最小值点便是函数- 的最大值点,且- 也是一个调和函数. 用反证法,假设 在区域 内的某一点 处取得了最大值,即 有 .在单连通区域 （若 为多连通区域,则须引一组割线,使 化为单连通区域 ,并使 ,下面就以 代 ）内作与 共轭的调和函数 ,并记 ,则函数 在 内单值解析,且其模为                                      . 所以 也在点 处取得了最大值 ，这与解析函数最大模原理相矛盾.证毕. 注：(1).同样可得到调和函数的极值原理的推论： 推论1：设 为区域 内非常数的调和函数,并且连续到其区域边界,则其最大值与最小值只能在其区域边界上达到. 推论2：设 为区域 内的调和函数,若 在区域 内取到了最大值,则 在 内必为常函数. (2).调和函数极值原理与解析函数的最大模原理区别为：调和函数的极值原理是关于实函数的值的大小；而解析函数的最大模原理是关于解析函数的模的大小. 二者联系为： 在区域 内解析 在区域 内 是 的共轭调和函数.从而就致使调和函数极值原理与解析函数的最大模原理有着密切的联系,从上面的证明过程可看出,二者在取值大小上具有一致性. 4 最大模原理的应用 4.1 证明最小模原理 最小模原理：若区域 内不恒为常数的解析函数 ，在 内的非零点 有 ，则 不可能是 在 内的最小值. 证明：因 在 内解析且不恒为常数，若有零点，则这些零点必是孤立的.因此，由 ， ，必存在某个含 的领域 ，使 . 作 ，因 在 内解析且无零点，则 在 内解析，又因 在 内不恒为常数，从而它在 内不恒为常数，则 在 内不恒为常数，故由最大模原理知， 在 处不能达到极大值，因此 不可能是 在 内的最小值 4.2 证明Schwarz引理 Schwarz引理：如果函数 在单位圆 内解析，并且满足条件 ， ，则在单位圆 内恒有 ，且有 .如果上式等号成立，或在 圆 内一点 处前一式等号成立，则（当且仅当） ，其中 为 一常数. 证明：设   ，令 . 定义 ，则 在 内解析.考虑 在单位圆 内任一点 处 的值，如果 满足条件 ，根据最大模原理，有 ， 让 即得 .于是 且当 时，有 ， 即    . 如果这些关系式中，有一个取等号则在单位圆 内的某一点 ，模数 达到最大值，这只有 （ 为实数）是才可能，此即 . Schwarz引理表明：若在单位圆内解析的函数 ， ， ，那么 的像到原点的距离比 到原点的距离近（如下图）.如果有一点使得这两者相等，那么 就是一个旋转映照. 4.3 Weierstrass定理 Weierstrass定理：设 是一有界闭区域，其边界 由有限分段光滑的简单闭曲线组成. 若无穷级数 的每一项均在区域 内解析，在 上连续，且级数在边界 上一致收敛，则级数在 上一致收敛，并且和函数 在 内解析. 证明：级数在 上一致收敛 ，存在 ，当 时， ， 有 又因 在 内解析，在 上连续，由最大模原理，有 在 一致成立，即级数在 上一致收敛. 4.4  证明Hadamard三圆定理 Hadamard三圆定理：设函数 在环 内解析， ，则当 时，有 等号仅当 时成立，这里 是常数. 证明：设 ， 为一待定实数，取定 在 上为解析的一支，由最大模原理，有 ，因此，在 上 即    ，        （*） 因 ， ，以及 和 随 的增大分别减小和增大， 故（*）的右端当 满足 时为最小. 在等式的两边取对数可得 ，所以 两端取得对数即得 . 等号仅当 ，即 时成立. （用虚线所示的两条相交曲线是 的情形） 注：如果 在 内解析， ，则 是 的单调增函数，除非 为一常 数；如果 在 内解析， ，则 是 的单减增函数，除非 为常数.本定理的假设是 在 内解析，故不能断言 与 哪个大.