本原海伦三角形的边的问题

本原海伦三角形的边的问题 3 黄曦 ()430050 武汉船舶职业技术学院 招生就业指导处 ,湖北 武汉 摘 要 :给出本原海伦三角形的三边长构成等差数列的充要条件 ,证明了不存在本原等腰海伦三角形使其之边长均 为平方数 。 关键词 :本原海伦三角形 ; J acob i符号 ( ) 文章编号 : 1672 - 0768 200605 - 0044 - 02 中图分类号 : O175 文献标识码 : A () 1. 引言1 对任何素数 p ? 3 m od4 , 本原海伦三定理 海伦三 角 形 是 边 长 与 面 积 均 为 整 数 的 三 角 角形的三边长中至多有一个为 p的倍数 。 形 。若海伦三角形的三条边互素 , 则称之为本原三 证明 : 假设本原海伦三角形的三边长中有二 角形 。关于海伦三角形以及特殊的海伦三角形的 个为 p的倍数 , 不失一般性 , 设 p | a且 p | b, 由假设 存在性问题及表示海伦三角形三边的一般公式和 ( ) p | c, 再由公式 1 得 2 4 海伦三角形边和面积的性质 , 在文 [ 1 ]、[ 2 ]、[ 3 ] ()16S? % cm od p 和 [ 4 ] 等中已进行了一些研究 。 () (由于 p 8 c 且 p ? 3 m od4 , 此 不 可 能 与 本文的目的是进一步讨论本原三角形的边的 1 - ( )) = - 1 矛盾 . 证完 . p 一些性质 , 以下均设 a, b, c表示本原海伦三角形的 为了证明我们的第二个结论 , 我们需要 : 三边长 , p是它的半周长 , S 是它的面积 , 则 2 引理 1 设 d 为正奇数 , 则丢番图方程 x - ( ) ( p p - a p - ) ( )S = bp - c 2 2 ) ( )( 3 y = d , x, y = 1 2 整理得 2 2 2 2 22 2有解的充要条件是 d 的每个素因子 p均满足 16S= 2 ab+ 2 bc + 2 ac 4 4 4 3 - 1 % a% b% c ( )1 ( ) = 1. 这里及上面的 均表示 J a cob i符号 .p p 2. 主要结论及其证明 [ 3 ] 证明 :显然 3 8 d, 否则 3 | x, 从而 3 | y与方程 中讨论了本原海 伦三 角 形的 边长 和 面 文 [ 3 ] ( ) ( ) 2 有解 x, y = 1 矛盾 。 积的性质 , 朱道勋 证明了 : ( ) ( ) 若方程 2 有解 x, y = 1, 对 d 的任何素因 ( ) 1 本原海伦三角形的三边长是两奇一偶 。 2 2 (子p, 均有 x ? 3 y m od p) ( ) 2 本原海伦三角形的最小边长是 3。 3 ( ) ( 3 三个连续自然数 2 k - 1, 2 k, 2 k + 1 k ? 2 ( 故)= 1. p ) 的自然数 作为本原海伦三角形的三边长 , 当且 3 ( ) 仅当 k是二阶线性递归数列 { a} : a= 2, a= 7, 其次 , 如果对 d 的任何素因子 p均有 = n 1 2 p ( ) = 4 a- an ? 1 的项 , 因此 , 三边为三个a n +1 n n +2( ) ( ) 1, 则每个 p在 Q 3 中分裂 。熟知 Q 3 的类数 连续自然数的海伦三角形有无穷多个 。 2 2 [ 4 ] 为 1, 因此 p = x p- 3 y p 有解 . 1995 年 , 曾登高 证明了 : aa 1 t设 d = p? p为 d的标准分解式 , 令 x + 3 ( ) () 4 对任何素数 p ? 1 m od4 , 存在本原海伦 1 t t 三角形 , 其三边长中有二个数为 p的倍数。 2 a i ( )y = + 3x p i p i? ( ) () 5 对任何 p ? 3 m od4 , 本原等腰海伦三角 i = 1 2 2 2 ( ) x易证 x, y = 1, 且有 - 3 y= d. 证完 . 形三边长中至多有一个为 p的倍数 。 ( ) 因此我们有 : 6 对任何素数 p ? 3, 存在本原海伦三角形 定理 3 设 d为奇数 , 则等差数列 2 k - d, 2 k, 2 k使三边长都不是 p的倍数 。 ( ) + d 2 k > d 作为本原海伦三角形三条边长的充 本文的第一个结论是 : 3 收稿日期 : 2006 - 05 - 24 ( ) 作者简介 :黄曦 1970 —男 ,湖北人 ,武汉船舶职业技术学院招生就业指导处讲师 。 44 黄 曦本原海伦三角形的边的问题 3 海伦三角形 。 ( ) 要条件是 ?对 d 的任何素因子 p, 均有 = 1;p 证明 :假设存在这样的本原海伦三角形。由 于 ( ) ?k为二阶线性递归数列 { a} : a= x, a n 1 d 2本原海伦三角形的三边中两边为奇数 , 一边为偶 2 2 2 ( ) = 2 x+ 3 y, a= 4 a- an ? 1 的项 , 其中 数 , 故可设三条边的边长分别为 a , a , 4 b .d d n +2 n +1 n 2 2 2 2 ( ) x, y满足方程 x- 3 y= d 且 x, y= 1. (4 b 的边上的高 h为有理数 面积由于边长为 d d d d d d 244 证明 :必要性 :由于 2 k - d, 2 k, 2 k + d 为本原 ) ( ) h为整数 , 又有 = a - 4 b4 故 h 为整数 。由 ( ) 海伦三角形的三条边 , 故 k, d = 1 且 ( ) 4 可得 2 4 a + h = 2 b ( ) ( 13 k ?k k + d k -)S = d )( 5 2 4 2 2 = 2 ba - h bb= b 21 2 ( )3 k- d = k 4 4 2 222 ( ) ( ) 再由 5 得 b+ b= a6 1 2 由此可得 k= d + 3 r, [ 5 ] 22 2 ( ) 熟知 可知方程 6 仅有整数解 bb= 0, 矛 1 2 ( )( )即 x- 3 y= d有解 k, r = 1, 且 x, d = 盾. 1. 2 2 [ 5 ] 23. 进一步的问题 ( )- 3 y= d, x, y 熟知 有 x = 1, x > 0, 综合本文的讨论与文献中的有关结论 , 下面 y > 0的全部解可表示为 n 两个问题值得我们关注 ( ) ()( )x + 3 y = 2 + 3 3 3 x + y d d () 2 2 2 问题 1 曾登高 是否存在边长均为平方数的 ( ) ( ) 其中 x, y为方程 x - 3 y = d , x, y = d d 海伦三角形 ? 1, x > 0, y > 0 的某一类解中的最小解 。 设 a, b, c为本原海伦三角形的三条边 , S 为其 ( ) 由 3 我们有 k = x = a, a= x, a2 x= n 1 d 2d( ) 面积 , r a bc表示 a bc的根 , 即 a bc为所有不同的 + 3 y, a= 4 a- a, n ? 1. d n +2 n +1 n 素因子的乘积 。 )( 充分性 :我们只要证明 : a, d = 1 即可 。由 n 问 题 2 是 否 存 在 本 原 海 伦 三 角 形 , 使 y使于存在 ( ( ) ) g cd r a bc, S = 2 ? n ( ) ( )= 2 + a3 y + 3 x+ y3 n d d 或弱一些的问题 n ( ) + ( )故 a 3 y 2 - 3 = x+ y3 nd d 问题 3 对任给 > 0, 是否存在本原海伦三角 ε + )即 3, ( ( - v3 = x+ y( ) )( ( ) ) ( ) ) ( a3 y u 形 , 使 g cd r a bc, S ? r a bc, 当 r a bc足 n ddnn2 2 = 1 够大时成立 ? u- 3 v n n x= au- 3 y v dn n n也就是 , 参考文献 : y = uy - av dn n n [ 1 ]郑玉美 , 有趣的海伦三角形 , 中学数学 , 1993 ( ( ) )从而 a, y | x, y= 1. n d d 2 22( ) 3 : 28 - 29 又( ) a n - 3 y = d , 故 a , d = 1. n [ 2 ]杨世明 ,中国初等数学研究文集 ,河南教育出 3 ( ) 由定理 3 可知 , 当 d 的素因子 p均满足 版社 , 1992 p = 1时 , 存在无穷多个三边的边长成公差为 d的等 [ 3 ]朱道勋 ,关于海伦三角形的边和面积的性质 , 比级数的本原海伦三角形 , 否则 , 不存在这样的本 ( ) 中学数学 , 1994 9 : 20 - 21 原海伦三角形 。 [ 4 ]曾 登 高 , 海 伦 数 组 的 若 干 注 记 , 中 学 数 学 , [ 4 ] 文献 中问题 : 是否存在三边长均为平方数 1995 , 5: 37 的本原海伦三角形 。一般说来 , 解决这个问题的难 [ 5 ]柯召 ,孙琦 ,谈谈不定方程 ,上海教育出版社 , 度较大 , 但对于等腰海伦三角形 , 我们有 1980 定理 4 不存在三边长均为平方数的本原等腰 ()责任编辑 :刘国炳 The Properties of the Sides of the Prim itive Helen Triangle HUAN G X i ()W uhan In stitu te of Sh ip bu ild ing Techno logy, W uhan, H ube i 430050 A b stra c t: In th is p ap e r, we give a nece ssa ry and suffic ien t cond ition fo r a sequence w ith common d iffe rence to be th ree side s of a p rim itive H e len triangle. Fu rthe rmo re, we p rove tha t the re doe s no t exist p rim itive iso sce le s H e len triangle such tha t its th ree side s a re squa re s. Keyword s: P rim itive H e len triangle; J acob sym bo l. 45