高三数学复习知识点函数

高三数学复习知识点函数 叫做元素的 ，元素叫做元素的 。 那么把元素bbaa二、函数 原象组成的集合M称为原象的集合，则M与A的关系 ，而把与对应的aa第1讲 映射与函数 元素组成的集合称为象集，则与B的关系 。 CCb fABA1、映射的概念:设，是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的 在集合B中都有 的元素和它对应，那么这样的对应叫做从集合A到集合B的映射， f3、函数的概念:如果A、B都是非空的数集，那么A到B的映射:A?B就叫做A到(((((f记作:A?B( yfx,()BABA的函数，记作 ,其中x,y，原象的集合叫做定义域，象的集合叫C,, ABB一一映射:在集合到集合的映射中，中每一元素 ，那么这个映射叫 yfx,()做函数的值域( AB做从集合到集合的一一映射。 ,{1,2,3,4},{,,}abcABABBA4、若，;问:到的映射有 个，到的映射有 (1)、映射的定义: ,{1,2,3}ABAAB个，到的函数有 个;若，则到的一一映射有 个。 ygx,()的图象与直线交点的个数为 个。 函数x,a (2)、一一映射的定义: 上面中是映射的是_____________,是一一映射的是____________。 ABb2、象与原象:如果给定的一个集合到集合的映射，且，元素与对应，aAbB,,,a ?对于实际问题，在求出函数解析式后;必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意 第2讲 函数的定义域、解析式、值域 义来确定。 1、函数的三要素: ， ， 。 S,f(r),，扇形面积为，则 ;定义域如:已知扇形的周长为20，半径为Sr2、函数的表示方法有 ， ， 。 为 。 3、相同函数的判断方法:? ;? (两点必须同时具备)。 4、函数定义域的求法: 5、函数值域的求法: f(x)函数的值域取决于 和 。不论采用什么方法求函数的值域均应考虑y,?，则 ; 即分式的 。 g(x) 其 。 *n2y,f(x)(n,N)则 ;即偶次方根的 。 ?常见的函数值域: 0ykxbk,，,(0)?一次函数的值域为 ; ?，则 ;即零次幂的底数 。 y,[f(x)] 2?如:y,logg(x)，则 ;即对数的真数 ，底数 ?二次函数，当,时值域是 ， 0yaxbxca,，，,(0)af(x) 。 当,时值域是 ; 0a yx,tanyx,cot?正切函数的定义域 ，的定义域 。 kfx()fgx[()]D已知函数定义域为，求函数的定义域，只须 。 ?反比例函数的值域为 ; yk,,(0)x 1xy,f(x)[0,1],(x),f(x，a)，f(x,a)如:已知函数的定义域是，若,,，求0a,1)a?指数函数,，且的值域为 ; 0yaa,(2 的定义域。 (aa,1)?对数函数,0，且的值域为 ; yx,loga ?正、余弦函数的值域为 ，正、余切函数的值域为 ; kfgx[()]fx()?已知函数定义域，求函数的定义域，只须 。 ?函数，在区间 上，有最 值 ，在区间 y,x，(k,0)x 上，有最 值 ; fx(1)，[0,1]fx()如:若函数的定义域为，则的定义域为 。 第3讲 反函数 y,f(x)的值域)。 ?写出反函数的定义域(即 y,f(x)1、定义:式子 表示是自变量的函数，设它的定义域为A，值域为，从Cyx ,1(,)aby,f(x)5、若点在函数的图象上，则 在它的反函数的图象上。 y,f(x)y,f(x)x,,(y)式子中解出，得到式子。如果对于在中的任何一个值，通过式Cyx x,,(y)x,,(y)A子，在中都有唯一确定的值与它对应，那么式子就表示是自变xx (x,0)例1:，的反函数为 。 yx,,3log(1)2 ,1x,,(y)y,f(x)量的函数。这样的函数，叫做函数的 ，记作( yx,f(y) 2y,f(2x,1) 2:已知，求的反函数。 f(x),x，2x，3,(x,0) ,1一般用表示自变量，用表示函数，为此我们常常对调函数式中的字yx,f(y)x xx,1,1 3:设 f(x),9,2,3,则f(0),母，，把它改写成( yy,f(x)x x22如:求下列函数的反函数:;; f(x),x,2x，3(x,0)fx(),x2,12、反函数的定义域和值域分别是原函数的 和 ，因此反函数的定义域不 y,f(x)能由由其解析式来求，而应该通过原函数的值域来求;函数的图象和它的反函数第4讲 函数的单调性、奇偶性、周期性 ,11、 单调性: 的图象关于 对称( y,f(x) ? 定义:(注意定义是相对与某个具体的区间而言，且此区间为定义域的子集)。 ? 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 函数单调性的步骤: 3、只有从定义域到值域上的 确定的函数才有反函数，定义域上的单调函数必 a.设; x,x,A且x,x1212 ;原函数与反函数具有 的单调性;奇函数的反函数必是 ，原有 b.作差; f(x),f(x)函数为偶函数，它一般不存在反函数。 12 (一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出) c.判断正负号。 4、求反函数的步骤: 应用:比较大小，证明不等式，解不等式。 y,f(x)?求的值域; ?求单调区间的方法: a.定义法: ,1y,f(x)?将看成关于的方程，解出，若有两解，要注意解的选择; x,f(y)x c.图象法:复合函数在公共定义域上的单调性: y,f,,g(x) ,1x,y?将互换，得; y,f(x)fg若与的单调性相同，则为增函数; ,,fg(x) f(x),g(x)H(x)的奇偶性相同，则在公共定义域内为偶函数 若非零函数f 若与的单调性相反，则为减函数。 g,,fg(x) 注意:先求定义域，单调区间是定义域的子集。 f(x),g(x)H(x)若非零函数的奇偶性相反，则在公共定义域内为奇函数 ?一些有用的结论: f(x)0,定义域?常用的结论:若是奇函数，且，则; f(0),0或f(,1),,f(1) a.奇函数在其对称区间上的单调性相同; b.偶函数在其对称区间上的单调性相反; f(x)f(,1),f(1)若是偶函数，则; c.在公共定义域内 反之不然。 应用:把函数值进行转化求解。 f(x)，g(x)增函数增函数是增函数; 3、函数的周期性 f(x)，g(x)减函数减函数是减函数; f(x，T),f(x)T 定义:若为非零常数，对于定义域内的任一，使恒成立 x f(x),g(x)增函数减函数是增函数; f(x)T 则叫做周期函数，叫做这个函数的一个周期。 f(x),g(x)减函数增函数是减函数。 f(x)f(x，2),,f(x) 例:(1)若函数在R上是奇函数，且在上是增函数，且 ，，,1，0bd.函数在 上单调递增; y,ax，(a,0,b,0)xf(x)f(x) 则?关于 对称;?的周期为 ; 在 上单调递减。 f(x)?在(1，2)是 函数(增、减); 2、奇偶性(在整个定义域内考虑，注意区间是否关于原点对称) x2f(x)f(log18),?=，则 。 若x,(0，1)时， ?定义: 12 ?判断方法:?.定义法 步骤: f(x)(,,,，,)f(x) (2)设是定义在上，以2为周期的周期函数，且为偶函数，在 a.求出定义域; 2f(x)f(x)区间[2，3]上，=,则= 。 ,2(x,3)，4x,[0,2]时， b.判断定义域是否关于原点对称; f(,x)c. 求; f(x)fxafxa()()，,,2a重要结论:若函数对定义域内的任意满足:,则为函数x d.比较或的关系。 f(,x)与f(x)f(,x)与,f(x) f(x)的周期. ?.图象法 应用:求函数值和某个区间上的函数解析式。 H(x),f(x)g(x)?已知: 第5讲 函数的图像 ,x,x，h,,,y,f(x)a,(h,k)，曲线按向量平移后所得的曲线的函数解析 ,,y,y，k.,1、基本函数的图象:(1)一次函数、(2)二次函数、(3)反比例函数、(4)指数函数、(5) 对数函数、(6)三角函数。 y,k,f(x,h)式为: 2、图象的变换 (1)平移变换 y,f(x)x,R,f(x，a),f(x,a)y,f(x)?如果函数对于一切都有，那么 的 y,f(x，a),(a,0)yfx,()?函数的图象是把函数的图像沿轴向 平x。 周期为2a 移 个单位得到的; y,f(a，x)y,f(a,x)?函数与函数的图象关于直线对称。 x,ay,f(x，a),(a,0)yfx,()?函数的图象是把函数的图像沿轴向 平x 移 个单位得到的 y,f(x)(4)y,f(x) , y,f(x)，a,(a,0)yfx,()?函数的图象是把函数的图像沿轴向 平y保留 的图像，并将 的图像 ，去掉 的图像。 移 个单位得到的 y,f(x)，a,(a,0)yfx,()?函数的图象是把函数的图像沿轴向 平y 移 个单位得到的 2)对称变换 ( y,f(x)y,f(,x) 函数与函数的图象关于 对称; y,f(x)y,,f(x)函数与函数的图象关于 对称; y,f(x)y,,f(,x)y,f(x)y,f(x)函数与函数的图象关于 对称; (5)、 , 保留 的图像，并作其关于 的图像，去掉 原来的图像。 yfx,(2)注意:?有系数，要先提取系数。如:把函数经过 平移得到函 yfx,，(24)数的图象。 (,)hka(3)、会结合向量的平移，理解按照向量=平移的意义。 ,,,,,,P(x,y)a,(h,k)P(x,y)设点按向量平移后得到点，则,+a或OPOP 第6讲 常用的初等函数 ,1y,f(x)6)与关于直线对称。 (y,xy,f(x) 1、一元一次函数:，当时，是增函数;当时，是减函数; y,ax，b(a,0)a,0a,0(7)、伸缩变换(具体参照三角函数的图象变换。) 2、一元二次函数: y,af(x),(a,0)y,f(x)?的图象，可将的图象上的每一点的纵坐 2一般式:;对称轴方程是 ;顶点为 ; y,ax，bx，c(a,0) (a,1)(0,a,1)标 或 到原来的 倍。 两点式:;对称轴方程是 ;与轴的交点为 ; y,a(x,x)(x,x)x12 y,f(ax),(a,0)y,f(x)?的图象，可将的图象上的每一点的横坐 2顶点式:;对称轴方程是 ;顶点为 ; y,a(x,k)，h (0,a,1)(a,1)标 或 到原来的 倍。 ?一元二次函数的单调性: y,f(x)f(4,x)例:(1)已知函数的图象过点(1，1)，则的反函数的图象当时:在 上为增函数;在 上为减函数;当时: a,0a,0 过点 。 在 上为增函数;在 上为减函数; 1x (2)由函数的图象，通过怎样的变换得到的图象, yx,logy,()22?二次函数求最值问题:首先要采用配方法，化为的形式， y,a(x,k)，h2 y,f(x)如:的图象如图，作出下列函数图象: ?、若顶点的横坐标在给定的区间上，则 时:在 处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得; a,0 y=f(x) y a,0时:在顶点处取得最大值，最小值在 处取得; ?、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则 y,f(,x)(1); a,0时:最小值在 处取得，最大值在 O (2,0) x y,,f(x)(2); (0,-1 处取得; ) y,f(|x|)(3); (4); y,|f(x)|a,0时:最大值在 处取得，最小值在 处取得; y,f(2x)y,f(x，1)(5); (6); y,f(x)，1(7); (8); y,,f(,x)2?二次方程实数根的分布问题: 设实系数一元二次方程的两f(x),ax，bx，c,0 ,1(9)。 y,f(x)根为;则: x,x12 x 3、指数函数:y,a(a,0,a,1)x,x,kx,x,kx,k,x根的分布 121212 1、指数运算法则: ; ; 。 x图像 2、指数函数:，定义域 ，值域 。 y,a(a,0,a,1) 3、?图象恒过点 ， 当,，,时， ，,时， 。 1yy00axx 当,,，,时， ，,时， 。 1yy000axx充要条件 x?单调性:当,1时，指数函数是 ; y,a(a,0,a,1)a x内又且仅有在(,)kk当,,1时，指数函数是 ; 0y,a(a,0,a,1)a12、 (,)kkxx,,,, ,kxkxk根的分布 121211223 一个根 4、对数函数: y,logx(a,0,a,1)a 指数运算法则: ; ; ; 图像 对数函数:，定义域 ， 值域 。 y,logx(a,0,a,1)a 111?图象恒过点 ， 当,，,时， ，,,时， 。 y0yaxx 111当,,，,时， ，,,时， 。 0y0yaxx 充要条件 1?单调性:当,时，对数函数在 上y,logx(a,0,a,1)aa 1是 ;当0,,时，对数函数在 上y,logx(a,0,a,1)aa 是 。 [m,n]f(x),0注意:若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开区间 x注意:(1)与的图象关系是 ; y,logxy,aa(m,n)上实根分布的情况，得出结果，在令和检查端点的情况。 x,nx,m (2)比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数，若底数2axbxc，，R?,0的解集是 ,不相同时转化为同底数的指数或对数，还要注意与1比较或与0比较。 2axbxc，，R,0的解集是 , 2(3)已知函数的定义域为R，求的取值范围。 kf(x),log(x，kx，2)1 2 2已知函数的值域为R，求的取值范围。 kf(x),log(x，kx，2)1 2 第7讲 补充 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 k1、的图象: y,x，(k,0)x 定义域: ;值域: ; 奇偶性: ; 单调性: 是增函数; 是减函数。 2、抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型: f(x),kx(k,0) ?正比例函数 f(x，x),f(x)，f(x),1212 ?; ; f(x，x),f(x),f(x)f(x,x),f(x),f(x),12121212 x1f(),f(x),f(x)?; ; ,f(x,x),f(x)，f(x)121212x2 x，xx,x1212?()()2()() ; fx，fx,f,f,1222