高中数学压轴题二

高中数学压轴题二 备战2013 高考 地理事物空间分布特征语文高考下定义高考日语答题卡模板高考688高频词汇高考文言文120个实词 数学――压轴题跟踪演练系列二 1. (本小题满分12分) nn已知常数a > 0, n为正整数，f ( x ) = x – ( x + a) ( x > 0 )是关于x的函数. n (1) 判定函数f ( x )的单调性，并 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 你的结论. n (2) 对任意n , a , 证明f`( n + 1 ) < ( n + 1 )f`(n) n + 1 n n – 1 n – 1 n – 1 n – 1解: (1) f `( x ) = nx – n ( x + a)= n [x – ( x + a) ] , n ?a > 0 , x > 0, ? f `( x ) < 0 , ? f ( x )在(0，+?)单调递减. 4分 n n nn(2)由上知:当x > a>0时, f ( x ) = x – ( x + a)是关于x的减函数, n nn nn ? 当n , a时, 有:(n + 1 )– ( n + 1 + a), n – ( n + a). 2分 n n 又 ?f`(x ) = ( n + 1 ) [x–( x+ a )] , n + 1 n n nnn?f`( n + 1 ) = ( n + 1 ) [(n + 1 )–( n + 1 + a )] < ( n + 1 )[ n – ( n + a)] = ( n + 1 )[ n – ( n n + 1 n – 1 + a )( n + a)] 2分 n – 1 n – 1n n – 1( n + 1 )f`(n) = ( n + 1 )n[n – ( n + a) ] = ( n + 1 )[n – n( n + a) ], 2分 n ?( n + a ) > n , ?f`( n + 1 ) < ( n + 1 )f`(n) . 2分 n + 1 n 2. (本小题满分12分) 已知:y = f (x) 定义域为,–1，1,，且满足:f (–1) = f (1) = 0 ，对任意u ,v,[–1，1,，都有|f (u) – f (v) | ? | u –v | . 2(1) 判断函数p ( x ) = x – 1 是否满足题设条件, 1,[1,0]，,,xx,(2) 判断函数g(x)=，是否满足题设条件, ,1,[0,1],,xx, 22解: (1) 若u ,v , [–1，1]， |p(u) – p (v)| = | u – v |=| (u + v )(u – v) |， 31取u = ,[–1，1]，v = ,[–1，1], 42 5则 |p (u) – p (v)| = | (u + v )(u – v) | = | u – v | > | u – v |， 4 所以p( x)不满足题设条件. (2)分三种情况讨论: 01. 若u ,v , [–1，0]，则|g(u) – g (v)| = |(1+u) – (1 + v)|=|u – v |，满足题设条件; 02. 若u ,v , [0，1]， 则|g(u) – g(v)| = |(1 – u) – (1 – v)|= |v –u|，满足题设条件; 03. 若u,[–1，0]，v,[0，1]，则: |g (u) –g(v)|=|(1 – u) – (1 + v)| = | –u – v| = |v + u | ?| v – u| = | u –v|，满足题设条件; 0 4若u,[0，1]，v,[–1，0], 同理可证满足题设条件. 综合上述得g(x)满足条件. 3. (本小题满分14分) x222已知点P ( t , y )在函数f ( x ) = (x , –1)的图象上，且有t – cat + 4c = 0 ( c , 0 ). x，1 (1) 求证:| ac | , 4; (2) 求证:在(–1，+?)上f ( x )单调递增. (3) (仅理科做)求证:f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 证:(1) ? t,R, t , –1, 222422 ? ? = (–ca) – 16c = ca – 16c , 0 ， 22 ? c , 0, ?ca , 16 , ?| ac | , 4. 1 (2) 由 f ( x ) = 1 – , x，1 x,x1112法1. 设–1 < x < x, 则f (x) – f ( x) = 1– –1 + = . 1221x，1x，1(x，1)(x，1)2121 ? –1 < x < x, ? x – x < 0, x + 1 > 0, x + 1 > 0 , 121212 ?f (x) – f ( x) < 0 , 即f (x) < f ( x) , ?x , 0时，f ( x )单调递增. 2121 1 法2. 由f ` ( x ) = > 0 得x , –1, 2(x，1) ?x > –1时，f ( x )单调递增. 4(3)(仅理科做)?f ( x )在x > –1时单调递增，| c | , > 0 , |a| 4 44|a| ?f (| c | ) , f () = = 4|a||a|，4，1|a| |a|4|a|4f ( | a | ) + f ( | c | ) = + > +=1. |a|，1|a|，4|a|，4|a|，4 即f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 4((本小题满分15分) 432fxaxaxaxaxa(),，，，，a设定义在R上的函数(其中?R，i=0,1,2,3,4)，当 i01234 2x= ,1时，f (x)取得极大值，并且函数y=f (x+1)的图象关于点(,1，0)对称( 3 (1) 求f (x)的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式; (2) 试在函数f (x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间 ，，,2,2上; ，， nn,,4212(13)fxfy,,()().(3) 若，求证: xyn,,,,(N)nn+nnnn323 13解:(1)…………………………5分 fxxx().,,3 ,,,,22 (2)或…………10分 0,0,2,,0,0,2,.,，，，，,,,,,,,,33,,,, 4fxfyff,,,,, (3)用导数求最值，可证得……15分 ()()(1)(1).nn35((本小题满分13分) 22xy设M是椭圆上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对称点，N为椭C:1，,124 圆C上异于M的另一点，且MN?MQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹 方程( 解:设点的坐标MxyNxyxyExy(,),(,)(0),(,),, 112211 PxyQxyTxy(,),(,),(,),,,,,则……1分 111111 22,xy11，,1,(1),,124 ………………………………………………………3分 ,22xy,22，,1.(2),,124 1kk,,, 由(1),(2)可得………………………………6分 .MNQN3 xy11 又MN?MQ，所以 1,,.k,kkk,,,,,MNMQMNQN3xy11 yx11 直线QN的方程为，又直线PT的方程为……10分 yxxy,，,()yx,,.11y3x11 11xxyy,,,2,2. 从而得所以 xxyy,,,,.111122 2x2此即为所求的轨迹方程.………………13分 代入(1)可得，,,yxy1(0),3 6((本小题满分12分) 2x,4y过抛物线上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点， PA,PB,0. (1)求点P的轨迹方程; 2FA,FB，,(FP),0,,(2)已知点F(0，1)，是否存在实数使得,若存在，求出的值，若不存 在，请说明理由. 22xx12解法(一):(1)设 A(x,),B(x,),(x,x)121244 x'2由得:y, x,4y,2 xx12,？,, kkPAPB22 ？PA,PB,0,？PA,PB,？xx,,4………………………………3分 12 22xxxxx1111直线PA的方程是:即 ? y,,(x,x)y,,12442 2xxx22同理，直线PB的方程是: ? y,,24 ，xx,12,x,2由??得: (,,)xxR,12xx12,,,,1,y4, ?点P的轨迹方程是……………………………………6分 y,,1(x,R). 22x，xxx1212P(,,1)(2)由(1)得: FA,(x,,1),FB,(x,,1),12244 x，x12FP,(,,2),xx,,4 122 2222xxx，x1212(1)(1)2 …………………………10分 FA,FB,xx，,,,,,12444 222(x，x)x，x21212 (FP),，4,，244 2FA,FB，(FP),0所以 2FA,FB，,(FP),0,故存在=1使得…………………………………………12分 PA,PB,0,解法(二):(1)?直线PA、PB与抛物线相切，且 ?直线PA、PB的斜率均存在且不为0，且 PA,PB,设PA的直线方程是 y,kx，m(k,m,R,k,0) y,kx，m,2由得: x,4kx,4m,0,2x,4y, 22即…………………………3分 ？,,16k，16m,0m,,k 2y,kx,k即直线PA的方程是: 11y,,x,同理可得直线PB的方程是: 2kk 21,,,ykxk,,,x,k,,R由得: 11,,ky,,x,2,,y,,1,kk, 故点P的轨迹方程是……………………………………6分 y,,1(x,R). 2112A(2k,k),B(,,),P(k,,,1)(2)由(1)得: 2kkk 212FA,(2k,k,1),FB,(,,,1) 2kk 1FP,(k,,,2) k 1122FA,FB,,，k,,,,,k，4(1)(1)2()………………………………10分 22kk 11222FP,,k，,，k，()()42() 2kk 2FA,FB，,(FP),0故存在,=1使得…………………………………………12分 7((本小题满分14分) 1,xf(x),，lnx设函数在上是增函数. [1,，,)ax (1) 求正实数的取值范围; a 1a，ba，b,ln,.(2) 设，求证: b,0,a,1a，bbb ax,1'f(x),,0解:(1)对恒成立， x,[1,，,)2ax 1？a,对恒成立 x,[1,，,)x 1,1？a,1又 为所求.…………………………4分 x a，ba，bx,？a,1,b,0,？,1(2)取，， bb 1,xf(x),，lnx一方面，由(1)知在上是增函数， [1,，,)ax a，b？f(),f(1),0 b a，b1,a，bb？，ln,0 a，bba,b a，b1ln,即……………………………………8分 ba，b 另一方面，设函数 G(x),x,lnx(x,1) 1x,1'G(x),1,,,0(？x,1) xx x,x?在上是增函数且在处连续，又 G(x)(1,，,)G(1),1,00 ?当x,1时， G(x),G(1),0 a，ba，b,ln? 即 x,lnxbb 1a，ba，b综上所述，,ln,.………………………………………………14分 a，bbb 8((本小题满分12分) y A如图，直角坐标系中，一直角三角形，，ABCxOy，,C90 BD、在轴上且关于原点对称，在边上，，COBCBDDC,3x EBA的周长为12(若一双曲线以、为焦点，且经过、!ABCC xDOBCD两点( E(1) 求双曲线的方程; E(为非零常数)的直线与双曲线(2) 若一过点lPm(,0)m M相交于不同于双曲线顶点的两点、N，且，问在轴上是否存在定点G，使xMPPN,, BCGMGN,,(),,若存在，求出所有这样定点G的坐标;若不存在，请说明理由( 22xyyE解:(1) 设双曲线的方程为， ,,,,1(0,0)ab22abA则( BcDaCc(,0),(,0),(,0), 由BDDC,3，得，即ca,2( caca，,,3() xDOBC222,||||16,ABACa,,,? (3分) ||||124,ABACa，,,, ,||||2.ABACa,,, 解之得a,1，?cb,,2,3( 2y2E?双曲线的方程为( (5分) x,,13 BCGMGN,,(),(2) 设在轴上存在定点，使( xGt(,0) y l设直线的方程为，( MxyNxy(,),(,)xmky,,1122 由，得( yy，,,0MPPN,,12 GBCy1x,,,即 ? (6分) OPy2N?BC,(4,0)， M GMGNxtxtyy,,,,，,,,,,(,)， 1212 BCGMGN,,(),?( ,,,,xtxt,()12 即( ? (8分) kymtkymt，,,，,,()12 把?代入?，得 ? (9分) 2()()0kyymtyy，,，,1212 2y2把代入并整理得 x,,1xmky,,3 222 (31)63(1)0kykmym,，，,, 12222其中且，即且( ,,0k,310k,,31km，,3 2,,63(1)kmm ( (10分) yyyy，,,,1212223131kk,, 代入?，得 26(1)6()kmkmmt,, ， ,,0223131kk,, 化简得 kmtk,( 1当时，上式恒成立( t,m 1因此，在轴上存在定点，使BCGMGN,,(),( (12分) G(,0)xm 9((本小题满分14分) *已知数列各项均不为0，其前项和为，且对任意都有(为大于1apS(1),,,pSppann,N,,nnnn 12n1CCC，，，，aaannnn12的常数)，记( fn(),n2Sn (1) 求; an p，1*(2) 试比较与fn()的大小(); fn(1)，n,N2p 21n,，，,,pp11，，*(3) 求证:，()( (21)()(1)(2)(21)1nfnfffn,，，，,,剟n,N,,,,pp12,,,,,，， 解:(1) ?， ? (1),,,pSppann ?( ? (1),,,pSppann，，11 ?,?，得 ， (1),,,，papapannn，，11 即( (3分) apa,nn，1 n,1在?中令，可得( ap,1 np?a是首项为，公比为的等比数列，ap,( (4分) ap,,,n1n nnpppp(1)(1),,(2) 由(1)可得( S,,n11,,pp 12n122nnnn( 1CCC，，，，aaa,，，，，,，,，1CCC(1)(1)pppppnnnn12nnn 12nn1CCC，，，，aaapp,，1(1)nnnn12?， (5分) ,,fn(),nnnpp2(1),2Sn n，1pp,，1(1),,( fn(1)，nn，，11pp2(1), n，1p，1pp,，1(1)而,,，且， fn()p,1nn，，11ppp2(),2p nn，，11?，( ppp,,,,10p,,10 p，1*，()( (8分) ?fn(),fn(1)，n,N2p p，1p，1*(3) 由(2)知 ，，()( f(1),fn(),fn(1)，n,N2p2p pppp，，，，111121nn,n…2?当时，( fnfnfnf()(1)()(2)()(1)(),,,,,,,2222pppp 221n,,,,,ppp，，，111? fffn(1)(2)(21)，，，,，，，„,,,,222ppp,,,, 21n,，，,,pp11，，， (10分) 1,,,,,,pp12,,,,,，， (当且仅当n,1时取等号)( n…2另一方面，当，时， kn,,1,2,,21 knk2,，，ppp,，，1(1)(1) fkfnk()(2)，,,，,,kknknk22,,ppp2(1)2(1),,，， knk2,ppp,，，1(1)(1)…,,2 kknknk22,,ppp2(1)2(1),, npp,，12(1)1 ,,2,nknkppp2(1)(1),, npp,，12(1)1( ,,22,nnknkpppp21,,，knkn2,2222nknknnn,?ppp，…2，?pppppp,,，,，,,121(1)„( npp,，12(1)fkfnkfn()(2)2()，,,,…kn,?，(当且仅当时取等号)((13分) nnpp2(1), 212121nnn,,,1fkfkfnkfnnfn,，,,,…()[()(2)]()(21)()n,1?((当且仅当时取等号)( ,,,2kkk,,,111 21n,，，21n,,,pp11，，*综上所述，，()((14分) (21)()()1nfnfk,,剟n,N,,,,,k,1pp12,,,,,，，